ALGEBRA LINEAL Y GEOMETR´ ´ IA
(31-1-2018)
• Grado en Matem´aticas Curso 2017–18
Hoja 1
Espacios eucl´ıdeos y herm´ıticos I.
Formas bilineales y sesquilineales. Productos escalares. Normas inducidas por productos escalares.
1.Decide de manera razonada si las siguientes funcionesϕ:V×V →Kson formas bilineales sim´etricas, o sesquilineales herm´ıticas, seg´un corresponda, en los espacios vectoriales V sobreKcon K=R,C.
a)V =M2(K), conϕ(A, B) = traza(A+B);
b)V =M2(K), conϕ(A, B) = traza(AB);
c)V =M2(K), conϕ(A, B) = traza(AB)−traza(A)traza(B);
d)V ={f :R→R:f es diferenciable}, conϕ(f, g) =R1
0 f0(t)g(t)dt;
e)V ={f :R→R:f es continua}, conϕ(f, g) =R1
0 f(x)g(x)(x2+ 1)dx;
f )V ={f :R→R:f es continua}, conϕ(f, g) =R1
0 f(x)g(x−1)dx;
g)V =K2, conϕ((x1, y1),(x2, y2)) = (x1+y1)2−x2y2.
2. Considera la base est´andar B={e1, e2, e3} deR3. Escribe la matrizMB(ϕ) de las siguientes formas bilineales:
a)ϕ((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = 2x1y1−3x1y3+ 2x2y2−5x2y3+ 4x3y1; b)ϕ((x1, x2, x3),(y1, y2, y3) = 3x1y1+ 2x2y2+x3y3.
3.Considera ahora la baseB0={(1,2,3),(−1,1,2),(1,2,1)}deR3y denotamos por (x01, y10, z01),(x02, y02, z20) las coordenadas de dos vectores deR3respecto a la baseB0. Escribe la expresi´on en t´erminos de las coor- denadas anteriores de las formas bilineales del ejercicio 2.
4.Se dice que una forma bilineal (resp. sesquilineal)ϕ:V×V →Kes antisim´etrica (resp. antiherm´ıtica) si para todo par de vectoresu, v∈V se tiene queϕ(u, v) =−ϕ(v, u) (resp. ϕ(u, v) =−ϕ(v, u)).
a)Encuentra una forma bilineal antisim´etricaϕ:R2×R2→R;
b) Sea B ={v1, . . . , vn} una base de V y sea ϕ una forma bilineal (resp. sesquilineal) enV. Da una condici´on necesaria y suficiente sobreMB(ϕ) para queϕsea antisim´etrica (resp. antiherm´ıtica);
c)Demuestra que toda forma bilineal (respectivamente, sesquilineal)ϕenV se puede escribir como la suma de una forma bilineal sim´etrica (resp. herm´ıtica) y una antisim´etrica (resp. antiherm´ıtica) .
5. Para cadaα∈Rconsidera enR3la aplicaci´on bilineal
φα((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = (x1, x2, x3)
1 −1 0
−1 α 1
0 1 α
y1
y2 y3
.
Calcula los valores deαpara los queφαes un producto escalar.
6. Considera la aplicaci´onφ:M3(R)×M3(R)→Rdada porφ(A, B) = traza (ABT).
a)Demuestra queφes un producto escalar enM3(R).
b)¿Cu´al ser´ıa el producto escalar an´alogo enM3(C)?
7. Para cadaα, β∈Rconsidera enR3 la aplicaci´on bilineal
φα,β((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = (x1, x2, x3)
β α 0
α 1 0
0 0 α
y1
y2 y3
.
Describe el subconjunto deR2determinado por los pares (α, β) para los queφα,β es un producto escalar.
8. Sea V =C3 y sea B= {e1, e2, e3} la base est´andar. Sea ϕ: V ×V →C la forma sesquilineal cuya matriz asociada respecto aBes:
1 i 0
−i 2 1 +i 0 1−i 3
Demuestra queϕes un producto herm´ıtico.
9. Sea (V,h,i) un espacio vectorial herm´ıtico.
a)Demuestra laIdentidad del paralelogramo:Para todo par de vectoresu, v∈V,
ku+vk2+ku−vk2= 2(kuk2+kvk2).
b) Demuestra laIdentidad de polarizaci´on:Para todo par de vectores u, v∈V,
4hu, vi=ku+vk2− ku−vk2+iku+ivk2−iku−ivk2. c) Demuestra que para todo par de vectoresu, v∈V,
2hu, vi=ku+vk2+iku+ivk2−(1 +i)kuk2−(1 +i)kvk2.
d)¿Cu´ales ser´ıan las identidades de los apartados anteriores siV fuera un espacio vectorial eucl´ıdeo?
10.Seak(x, y)k=|x|+|y|definida enR2. Demuestra quek · kes una norma enR2, pero que no proviene de ning´un producto escalar porque no satisface la identidad del paralelogramo.
11. SeaV un espacio vectorial eucl´ıdeo o herm´ıtico. Demuestra que six, y∈V se tiene kx−yk ≥
kxk − kyk .
Teorema:Sea V un espacio vectorial sobreR yk · k:V →Runa norma enV. Si k · ksatisface:
ku+vk2+ku−vk2= 2(kuk2+kvk2), (Identidad del paralelogramo) entonces la forma bilineal
φ(u, v) =ku+vk2− ku−vk2
4 ,
define un producto escalar enV que cumple
φ(u, u) =kuk2.
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