Examen de Geometría y Álgebra Lineal 2

Examen de Geometr´ıa y ´ Algebra Lineal 2

S´abado 14 de Julio de 2012.

No. Examen

Apellido y Nombre C´edula de Identidad

Ejercicios de desarrollo

Ejercicio 1. (20 puntos)

Se considera R⁴ con el producto interno usual y el subespacio S = [(1, 0, 1, 0), (1, 2, −1, 0)]. Se define T : R⁴→ R⁴ tal que T (v) = 2v − P_S⊥(v) ∀v ∈ R⁴ siendo P_S⊥ la proyecci´on ortogonal sobre S^⊥:

1. Hallar una base ortonormal de S^⊥ (complemento ortogonal de S).

S^⊥= [(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)]. Por lo tanto una base ortonormal de S^⊥es B = {1/√

3(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}.

2. Hallar valores propios y subespacios propios de T . Uniendo bases ortonormales de S y S^⊥ se obtiene:

A = {v1, v2, v3, v4} = { 1

√2(1, 0, 1, 0), 1

√6(1, 2, −1, 0), 1

√3(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}

una base (ortonormal) de R⁴ tal que:

T (v1) = 2v1− P_S⊥(v1) = 2v1 pues v1∈ S T (v2) = 2v2− P_S⊥(v2) = 2v2 pues v2∈ S T (v3) = 2v3− P_S⊥(v3) = v3 pues v3∈ S^⊥ T (v4) = 2v4− P_S⊥(v4) = v4 pues v4∈ S^⊥

Es f´acil ver entonces que los valores propios son 1 doble y 2 doble y los subespacios propios son S₁= S^⊥ y S₂= S. Adem´as la matriz asociada a T en esta base es:

M =A((T ))A=











2 0 0 0

0 2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1











de donde tambi´en es posible deducir cuales son los valores y subespacios propios.

3. Probar que existe un subespacio U , invariante bajo T , tal que R⁴= U ⊕ U^⊥.

Por la parte anterior S1 = S es invariante bajo T (por ser subespacio propio) entonces podemos elegir U = S. Y como se sabe que S ⊕ S^⊥ = V para cualquier S subespacio de V , entonces U cumple lo pedido.

4. ¿Es T autoadjunto? Justificar.

T es autoajdunto pues M matriz asociada en una base ortonormal es sim´etrica. Tambi´en es posible deducirlo de observar que T diagonalizable en una base ortonormal.

5. Sea A =_C((T ))_C donde C es la base can´onica de R⁴.

a) ¿Existen D diagonal y P ortogonal tal A = P DP^t? Justificar y en caso afirmativo hallar las matrices D y P .

T es autoadjunta entonces A es sim´etrica y por lo tanto existen tales matrices P y D donde:

D =











2 0 0 0

0 2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1











P =













√1 2

√1 6 −^√1

3 0 0 ^√2

6

√1 3 0

√1

2 −^√1₆ ^√1₃ 0

0 0 0 1













Observar que las columnas de P son los vectores de la base ortonormal formada por vectores propios de T .

b) Clasificar la forma cuadr´atica f (X) = X^tAX con X ∈ R⁴.

Q es definida positiva pues A tiene cuatro valores propios positivos (2 doble y 1 doble).

Ejercicio 2. (20 puntos)

Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita sobre K = R con producto interno y sea T : V → V un operador lineal.

1. Definir operador ortogonal.

Ver Te´orico.

2. a) Probar que si T lleva una base ortonormal en una base ortonormal (esto es existe {v1, v2, . . . , vn} base ortonormal de V tal que {T (v₁), T (v₂), . . . , T (v_n)} es base ortonormal de V ) entonces T preserva el producto interno.

Sean v y w dos vectores cuales quiera, y A = {v1, v2, . . . , vn} una base ortonormal tal que T (A) = {T (v₁), T (v₂), . . . , T (v_n)} es tambi´en base ortonormal. Entonces v y w se pueden escribir como combinaci´on lineal de A

v =

n

Xαv y w =

n

Xβ v

Entonces por ser A ortonormal, resutla que:

hv, wi =

* _n X

i=1

αivi,

n

X

i=1

βivi

+

=

n

X

i=1

αiβi

Por otra parte

hT (v), T (w)i =

* _n X

i=1

T (αivi),

n

X

i=1

T (βivi) +

=

* _n X

i=1

αiT (vi),

n

X

i=1

βiT (vi) +

=

n

X

i=1

αiβi

Donde nuevamente en la ´ultima igualdad se utiliza que T (A) es ortonormal.

Se deduce entonces que

hT (v), T (w)i =

n

X

i=1

αiβi= hv, wi ∀v, w

y por lo tanto T preserva el producto interno.

b) Probar que si T lleva una base ortonormal en una base ortonormal entonces T es invertible y T^∗= T⁻¹ (sugerencia: usar la parte anterior).

Por parte anterior si T lleva una base ortonormal en una base ortonormal entonces preserva el producto interno, es decir si v y w son vectores cualesquiera se cumple que:

hv, wi = hT (v), T (w)i = hv, T^∗(T (w))i ∀ v ∈ V Por lo tanto,

w = T^∗(T (w)) ∀w ∈ V de donde T es invertible y T⁻¹= T^∗.

3. Sea T : R³→ R³ una transformaci´on lineal tal que:

T (1, 0, 0) = (−1, 0, 0) T (1, 1, 0) = (−1, 0, 1) T (1, 1, 1) = (−1, −1, 1) a) Probar que T es ortogonal.

Basta ver por partes anteriores que lleva una base ortonormal en una base ortonormal.

T (1, 0, 0) = (−1, 0, 0)

T (0, 1, 0) = T (1, 1, 0) − T (1, 0, 0) = (−1, 0, 1) − (−1, 0, 0) = (0, 0, 1) y T (0, 0, 1) = T (1, 1, 1) − T (1, 1, 0) = (−1, −1, 1) − (−1, 0, 1) = (0, −1, 0)

entonces T lleva la base can´onica (ortonormal) en la base {(−1, 0, 0); (0, 0, 1); (0, −1, 0)} tam- bi´en ortonormal.

b) Clasificar T y hallar sus elementos.

La matriz asociada a T en la base can´onica es

A =_C((T ))_C =







−1 0 0

0 0 −1

0 1 0





.

Por lo tanto det(A) = traza(A) = −1, lo que implica que T es una rotaci´on seguida de una simetr´ıa. El eje de rotaci´on es el subespacio propio asociado al valor propio −1 y ´angulo θ tal que

−1 + 2 cos(θ) = −1, esto es θ = π/2. El plano de simet´ıa es el complemento ortogonal de S−1. De la matriz asociada es f´acil ver que S₋₁ = [(1, 0, 0)] y por lo tanto S₋₁^⊥ = [(0, 1, 0), (0, 0, 1)].

Ejercicio 3. (20 puntos)

Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea T : V → V una transformaci´on lineal. Se dice que T es normal si se cumple que T T^∗= T^∗T .

1. Probar que si T es normal entonces ||T (v)|| = ||T^∗(v)|| ∀ v ∈ V (la norma es la inducida por el producto interno en V ).

||T (v)||²= hT (v), T (v)i = hv, T^∗T (v)i = hv, T T^∗(v)i = hT^∗(v), T^∗(v)i = ||T^∗(v)||².

2. a) Probar que si T es autoadjunto entonces T es normal. ¿Es v´alido el rec´ıproco? Probar o dar un contraejemplo.

Si T es autoadjunto T^∗= T entonces T T^∗ = T²= T^∗T y por lo tanto T es normal. El rec´ıproco no es v´alido y un contraejemplo es T : R² → R² tal que T (x) = Ax con A = i 0

0 −i

! . (diagonalizable en una base ortonormal con valores propios complejos).

b) Probar que si T es unitario entonces T es normal. ¿Es v´alido el rec´ıproco? Probar o dar un contraejemplo.

Si T es unitario T^∗= T⁻¹entonces T T^∗= I = T^∗T y por lo tanto T es normal. El rec´ıproco no es v´alido y un contraejemplo es T : R²→ R²tal T (x) = Ax con A = 2 0

0 0

!

(diagonalizable en una base ortonormal con valores propios de m´odulo distinto de 1).

3. Se considera el espacio vectorial C² sobre K = C con el producto interno usual. Sea T : C²→ C² tal que T (x, y) = (x + ay, ix + y) con a ∈ C.

a) Hallar los valores de a para los cuales T es normal.

Sea C = {(1, 0), (0, 1)} base de C²(pues K = C). La matriz asociada a T en esta base es:

A =_C((T ))_C = 1 a i 1

! .

Por ser C una base ortonormal con el producto interno usual, la matriz asociada a T^∗ es:

Por lo tanto T es normal si y s´olo si:

1 a i 1

! 1 −i

a 1

!

= 1 −i

a 1

! 1 a i 1

!

es decir,

1 + |a| −i + a

a + i 2

!

= 2 a − i

i + a 2

!

Entonces T es normal sii 1 + |a| = 2 esto es |a| = 1.

b) ¿Existen valores de a para los cuales T es autoadjunto? ¿Y unitario?

T es autoajdunto sii T = T^∗ sii A = A^tsii a = −i.

Finalmente T es unitario sii T^∗= T⁻¹ sii AA^t= I y no existe ning´un valor de a para el cual se cumpla esta igualdad.

c) Para a = i ¿existe una base ortonormal formada por vectores propios de T ? Justificar y en caso afirmativo hallarla.

Para a = i, T es normal y por teorema espectral existe una base ortonormal formada por vectores propios de T . Los valores propios son λ1= 1 + i y λ2= 1 − i. Los subespacios propios son Sλ₁ = [(1, 1)] y Sλ₂ = [(1, −1)]. Por lo tanto una base ortonormal formada por vectores propios de T es B = {^√1

2(1, 1),^√1

2(1, −1)}