Matrices
Matrices - 1a parte
Ver ´onica Brice ˜no V.
En esta Presentaci ´on...
En esta Presentaci ´on veremos:
Definici ´on de matriz.
Definiciones de matrices especiales.
Operatoria con matrices. Ejemplos.
En esta Presentaci ´on...
En esta Presentaci ´on veremos:
Definici ´on de matriz.
Definiciones de matrices especiales.
En esta Presentaci ´on...
En esta Presentaci ´on veremos:
Definici ´on de matriz.
Definiciones de matrices especiales.
Operatoria con matrices.
Ejemplos.
En esta Presentaci ´on...
En esta Presentaci ´on veremos:
Definici ´on de matriz.
Definiciones de matrices especiales.
Operatoria con matrices.
Sistemas de Ecuaciones L´ıneales
La principal aplicaci ´on que tienen las matrices se presenta en los Sistemas de Ecuaciones L´ıneales.
Ejemplo:
5x −2y +z = 0
3x+4z = 0
Sistemas de Ecuaciones L´ıneales
La principal aplicaci ´on que tienen las matrices se presenta en los Sistemas de Ecuaciones L´ıneales.
Ejemplo:
5x −2y +z = 0
Sistemas de Ecuaciones L´ıneales
La principal aplicaci ´on que tienen las matrices se presenta en los Sistemas de Ecuaciones L´ıneales.
Ejemplo:
5x −2y+z = 0
3x+4z = 0
Matrices - Definici ´on
Dadosn,m∈N, se define una matriz de ordenn×m,
como un arreglo de n ´umeros dispuestos ennfilas ym
columnas, se escribe:
A=
a11 a12 · · · a1m a21 a22 · · · a2m a31 a32 · · · a3m
..
. ... · · · ...
an1 an2 · · · anm
Matrices - Definici ´on
Dadosn,m∈N, se define una matriz de ordenn×m,
como un arreglo de n ´umeros dispuestos ennfilas ym
columnas, se escribe:
A=
a11 a12 · · · a1m a21 a22 · · · a2m a31 a32 · · · a3m
..
. ... · · · ...
an1 an2 · · · anm
Matrices - Definici ´on
En forma reducida escribimos:(aij)n×m, tambi ´en es com ´un
denotar las matrices con letras may ´usculas como: A, B, C, etc.
Notar queaij representa el elemento de la matrizA
ubicado en la filaiy la columnaj.
Los elementosaij (tambi ´en llamados coeficientes) son
n ´umeros que pueden pertenecer a cualquier conjunto
n ´umerico, como por ejemploRoC.
As´ı, denotamos,Mn×m(R)oM(n×m,R), al conjunto de
todas las matrices de ordenn×m, cuyos coeficientes
pertenecen aR.
Matrices - Definici ´on
En forma reducida escribimos:(aij)n×m, tambi ´en es com ´un
denotar las matrices con letras may ´usculas como: A, B, C, etc.
Notar queaij representa el elemento de la matrizA
ubicado en la filaiy la columnaj.
Los elementosaij (tambi ´en llamados coeficientes) son
n ´umeros que pueden pertenecer a cualquier conjunto
n ´umerico, como por ejemploRoC.
As´ı, denotamos,Mn×m(R)oM(n×m,R), al conjunto de
todas las matrices de ordenn×m, cuyos coeficientes
pertenecen aR.
Analogamente se define:Mn×m(C)oM(n×m,C).
Matrices - Definici ´on
En forma reducida escribimos:(aij)n×m, tambi ´en es com ´un
denotar las matrices con letras may ´usculas como: A, B, C, etc.
Notar queaij representa el elemento de la matrizA
ubicado en la filaiy la columnaj.
Los elementosaij (tambi ´en llamados coeficientes) son
n ´umeros que pueden pertenecer a cualquier conjunto
n ´umerico, como por ejemploRoC.
As´ı, denotamos,Mn×m(R)oM(n×m,R), al conjunto de
todas las matrices de ordenn×m, cuyos coeficientes
pertenecen aR.
Matrices - Definici ´on
En forma reducida escribimos:(aij)n×m, tambi ´en es com ´un
denotar las matrices con letras may ´usculas como: A, B, C, etc.
Notar queaij representa el elemento de la matrizA
ubicado en la filaiy la columnaj.
Los elementosaij (tambi ´en llamados coeficientes) son
n ´umeros que pueden pertenecer a cualquier conjunto
n ´umerico, como por ejemploRoC.
As´ı, denotamos,Mn×m(R)oM(n×m,R), al conjunto de
todas las matrices de ordenn×m, cuyos coeficientes
pertenecen aR.
Analogamente se define:Mn×m(C)oM(n×m,C).
Matrices - Definici ´on
En forma reducida escribimos:(aij)n×m, tambi ´en es com ´un
denotar las matrices con letras may ´usculas como: A, B, C, etc.
Notar queaij representa el elemento de la matrizA
ubicado en la filaiy la columnaj.
Los elementosaij (tambi ´en llamados coeficientes) son
n ´umeros que pueden pertenecer a cualquier conjunto
n ´umerico, como por ejemploRoC.
As´ı, denotamos,Mn×m(R)oM(n×m,R), al conjunto de
todas las matrices de ordenn×m, cuyos coeficientes
Ejemplos
1 A=
1 −8 0
2 0 3
de orden 2×3 coeficientes reales.
Por tanto,A∈ M2×3(R)
2 B =
−1 0
0 i
5 0
de orden 3×2 coeficientes complejos.
Por tanto,B ∈ M3×2(C)
3 C =
1,234 −5 x 0,234
280 0 x2+2 1,22
de orden 2×4.
El conjunto al que perteneceCdepender ´a del valor dex.
Ejemplos
1 A=
1 −8 0
2 0 3
de orden 2×3 coeficientes reales.
Por tanto,A∈ M2×3(R)
2 B =
−1 0
0 i
5 0
de orden 3×2 coeficientes complejos.
Por tanto,B ∈ M3×2(C)
3 C =
1,234 −5 x 0,234
280 0 x2+2 1,22
de orden 2×4.
Ejemplos
1 A=
1 −8 0
2 0 3
de orden 2×3 coeficientes reales.
Por tanto,A∈ M2×3(R)
2 B =
−1 0
0 i
5 0
de orden 3×2 coeficientes complejos.
Por tanto,B ∈ M3×2(C)
3 C =
1,234 −5 x 0,234
280 0 x2+2 1,22
de orden 2×4.
El conjunto al que perteneceCdepender ´a del valor dex.
Ejemplos
1 A=
1 −8 0
2 0 3
de orden 2×3
coeficientes reales.
Por tanto,A∈ M2×3(R)
2 B =
−1 0
0 i
5 0
de orden 3×2 coeficientes complejos.
Por tanto,B ∈ M3×2(C)
3 C =
1,234 −5 x 0,234
280 0 x2+2 1,22
de orden 2×4.
Ejemplos
1 A=
1 −8 0
2 0 3
de orden 2×3 coeficientes reales.
Por tanto,A∈ M2×3(R)
2 B =
−1 0
0 i
5 0
de orden 3×2 coeficientes complejos.
Por tanto,B ∈ M3×2(C)
3 C =
1,234 −5 x 0,234
280 0 x2+2 1,22
de orden 2×4.
El conjunto al que perteneceCdepender ´a del valor dex.
Ejemplos
1 A=
1 −8 0
2 0 3
de orden 2×3 coeficientes reales.
Por tanto,A∈ M2×3(R)
2 B =
−1 0
0 i
5 0
de orden 3×2 coeficientes complejos.
Por tanto,B ∈ M3×2(C)
3 C =
1,234 −5 x 0,234
280 0 x2+2 1,22
de orden 2×4.
Ejemplos
1 A=
1 −8 0
2 0 3
de orden 2×3 coeficientes reales.
Por tanto,A∈ M2×3(R)
2 B=
−1 0
0 i
5 0
de orden 3×2
coeficientes complejos.
Por tanto,B ∈ M3×2(C)
3 C =
1,234 −5 x 0,234
280 0 x2+2 1,22
de orden 2×4.
El conjunto al que perteneceCdepender ´a del valor dex.
Ejemplos
1 A=
1 −8 0
2 0 3
de orden 2×3 coeficientes reales.
Por tanto,A∈ M2×3(R)
2 B=
−1 0
0 i
5 0
de orden 3×2
coeficientes complejos.
Por tanto,B ∈ M3×2(C)
3 C =
1,234 −5 x 0,234
280 0 x2+2 1,22
de orden 2×4.
Ejemplos
1 A=
1 −8 0
2 0 3
de orden 2×3 coeficientes reales.
Por tanto,A∈ M2×3(R)
2 B=
−1 0
0 i
5 0
de orden 3×2 coeficientes complejos.
Por tanto,B ∈ M3×2(C)
3 C =
1,234 −5 x 0,234
280 0 x2+2 1,22
de orden 2×4.
El conjunto al que perteneceCdepender ´a del valor dex.
Ejemplos
1 A=
1 −8 0
2 0 3
de orden 2×3 coeficientes reales.
Por tanto,A∈ M2×3(R)
2 B=
−1 0
0 i
5 0
de orden 3×2 coeficientes complejos.
Por tanto,B∈ M3×2(C)
3 C =
1,234 −5 x 0,234
280 0 x2+2 1,22
de orden 2×4.
Ejemplos
1 A=
1 −8 0
2 0 3
de orden 2×3 coeficientes reales.
Por tanto,A∈ M2×3(R)
2 B=
−1 0
0 i
5 0
de orden 3×2 coeficientes complejos.
Por tanto,B∈ M3×2(C)
3 C =
1,234 −5 x 0,234
280 0 x2+2 1,22
de orden 2×4.
El conjunto al que perteneceCdepender ´a del valor dex.
Ejemplos
1 A=
1 −8 0
2 0 3
de orden 2×3 coeficientes reales.
Por tanto,A∈ M2×3(R)
2 B=
−1 0
0 i
5 0
de orden 3×2 coeficientes complejos.
Por tanto,B∈ M3×2(C)
3 C =
1,234 −5 x 0,234
280 0 x2+2 1,22
de orden 2×4.
Ejemplos
1 A=
1 −8 0
2 0 3
de orden 2×3 coeficientes reales.
Por tanto,A∈ M2×3(R)
2 B=
−1 0
0 i
5 0
de orden 3×2 coeficientes complejos.
Por tanto,B∈ M3×2(C)
3 C =
1,234 −5 x 0,234
280 0 x2+2 1,22
de orden 2×4.
El conjunto al que perteneceCdepender ´a del valor dex.
Matriz Columna / Matriz Fila
Una matriz de ordenn×1 se llama matriz columna o vector
columna.
Tiene la forma:
a11 a21 a31
.. .
an1
Una matriz de orden 1×mse llama matriz fila o vector fila.
Tiene la forma:
Matriz Columna / Matriz Fila
Una matriz de ordenn×1 se llama matriz columna o vector
columna. Tiene la forma:
a11 a21 a31
.. .
an1
Una matriz de orden 1×mse llama matriz fila o vector fila.
Tiene la forma:
(a11a12· · ·a1m)
Matriz Columna / Matriz Fila
Una matriz de ordenn×1 se llama matriz columna o vector
columna. Tiene la forma:
a11 a21 a31
.. .
an1
Una matriz de orden 1×mse llama matriz fila o vector fila.
Tiene la forma:
Matriz Columna / Matriz Fila
Una matriz de ordenn×1 se llama matriz columna o vector
columna. Tiene la forma:
a11 a21 a31
.. .
an1
Una matriz de orden 1×mse llama matriz fila o vector fila.
Tiene la forma:
(a11a12· · ·a1m)
Matriz Columna / Matriz Fila
Una matriz de ordenn×1 se llama matriz columna o vector
columna. Tiene la forma:
a11 a21 a31
.. .
an1
Una matriz de orden 1×mse llama matriz fila o vector fila.
Tiene la forma:
Matriz Nula
La matrizA= (aij)n×m, tal queaij =0,∀i =1,· · · ,ny
∀j=1,· · ·,mse llama Matriz Nula de ordenn×m, se denota
A= (0)n×m. Esto es,
(0)n×m =
0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0
..
. ... · · · ... 0 0 · · · 0
Matriz Nula
La matrizA= (aij)n×m, tal queaij =0,∀i =1,· · · ,ny
∀j=1,· · ·,mse llama Matriz Nula de ordenn×m, se denota
A= (0)n×m. Esto es,
(0)n×m =
0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0
..
. ... · · · ... 0 0 · · · 0
Matrices Cuadradas
Una matriz de ordenn×nesto es, igual n ´umero de filas y
columnas, se dice matriz cuadrada de ordenn.
SeaA= (aij)n×n, una matriz cuadrada.
Los coeficientesaii, parai=1,· · ·,n, forman la Diagonal
Principal de la matriz A.
Los coeficientesai,n+1−i, parai =1,· · ·,n, forman la
Diagonal Secundaria de la matriz A.
Matrices Cuadradas
Una matriz de ordenn×nesto es, igual n ´umero de filas y
columnas, se dice matriz cuadrada de ordenn.
SeaA= (aij)n×n, una matriz cuadrada.
Los coeficientesaii, parai=1,· · ·,n, forman la Diagonal
Principal de la matriz A.
Los coeficientesai,n+1−i, parai =1,· · ·,n, forman la
Matrices Cuadradas
Una matriz de ordenn×nesto es, igual n ´umero de filas y
columnas, se dice matriz cuadrada de ordenn.
SeaA= (aij)n×n, una matriz cuadrada.
Los coeficientesaii, parai=1,· · ·,n, forman la Diagonal
Principal de la matriz A.
Los coeficientesai,n+1−i, parai =1,· · ·,n, forman la
Diagonal Secundaria de la matriz A.
Matrices Cuadradas
Una matriz de ordenn×nesto es, igual n ´umero de filas y
columnas, se dice matriz cuadrada de ordenn.
SeaA= (aij)n×n, una matriz cuadrada.
Los coeficientesaii, parai=1,· · ·,n, forman la Diagonal
Principal de la matriz A.
Los coeficientesai,n+1−i, parai =1,· · ·,n, forman la
Diagonal Principal y Secundaria
Diagonal Principal: a11 ∗
a22 . .. ∗ ann Diagonal Secundaria:
∗ a1n
a2,n−1 . . .
an1 ∗
Diagonal Principal y Secundaria
Diagonal Principal:
a11 ∗
a22
. ..
∗ ann
Diagonal Secundaria:
∗ a1n
a2,n−1 . . .
an1 ∗
Matriz Diagonal
Una matriz cuadrada de ordenn, se dice Matriz Diagonal
si todos los elementos fuera de la diagonal principal son nulos.
IMPORTANTE: Los elementos de la diagonal no necesariamente son distintos de cero.
Una matriz diagonal de ordenn, se llama Matriz Identidad,
si todos los elementos de la Diagonal Principal son iguales a 1.
Notaci ´on:In
Matriz Diagonal
Una matriz cuadrada de ordenn, se dice Matriz Diagonal
si todos los elementos fuera de la diagonal principal son nulos.
IMPORTANTE: Los elementos de la diagonal no necesariamente son distintos de cero.
Una matriz diagonal de ordenn, se llama Matriz Identidad,
si todos los elementos de la Diagonal Principal son iguales a 1.
Matriz Diagonal
Una matriz cuadrada de ordenn, se dice Matriz Diagonal
si todos los elementos fuera de la diagonal principal son nulos.
IMPORTANTE: Los elementos de la diagonal no necesariamente son distintos de cero.
Una matriz diagonal de ordenn, se llama Matriz Identidad,
si todos los elementos de la Diagonal Principal son iguales a 1.
Notaci ´on:In
Matriz Diagonal
Una matriz cuadrada de ordenn, se dice Matriz Diagonal
si todos los elementos fuera de la diagonal principal son nulos.
IMPORTANTE: Los elementos de la diagonal no necesariamente son distintos de cero.
Una matriz diagonal de ordenn, se llama Matriz Identidad,
si todos los elementos de la Diagonal Principal son iguales a 1.
Matriz Identidad
Esto es,In =
1 0 · · · 0
0 1 0
..
. 0 . .. 0
0 · · · 1
Veamos algunos ejemplos en la pizarra...I2,I3...
Matriz Identidad
Esto es,In =
1 0 · · · 0
0 1 0
..
. 0 . .. 0
0 · · · 1
Matriz Triangular Inferior y Superior
Sea A una matriz cuadrada de ordenn,A= (aij).
Si se verifica que todos los elementos sobre su diagonal principal son ceros (no importan los dem ´as) se dice que A es una Matriz Triangular Inferior.
Si se verifica que todos los elementos bajo su diagonal principal son ceros (no importan los dem ´as) se dice que A es una Matriz Triangular Superior.
Entonces, qu ´e forma tienen estas matrices?
Matriz Triangular Inferior y Superior
Sea A una matriz cuadrada de ordenn,A= (aij).
Si se verifica que todos los elementos sobre su diagonal principal son ceros (no importan los dem ´as) se dice que A es una Matriz Triangular Inferior.
Si se verifica que todos los elementos bajo su diagonal principal son ceros (no importan los dem ´as) se dice que A es una Matriz Triangular Superior.
Matriz Triangular Inferior y Superior
Sea A una matriz cuadrada de ordenn,A= (aij).
Si se verifica que todos los elementos sobre su diagonal principal son ceros (no importan los dem ´as) se dice que A es una Matriz Triangular Inferior.
Si se verifica que todos los elementos bajo su diagonal principal son ceros (no importan los dem ´as) se dice que A es una Matriz Triangular Superior.
Entonces, qu ´e forma tienen estas matrices?
Matriz Triangular Inferior y Superior
Sea A una matriz cuadrada de ordenn,A= (aij).
Si se verifica que todos los elementos sobre su diagonal principal son ceros (no importan los dem ´as) se dice que A es una Matriz Triangular Inferior.
Si se verifica que todos los elementos bajo su diagonal principal son ceros (no importan los dem ´as) se dice que A es una Matriz Triangular Superior.
Matriz Triangular Inferior y Superior
Matriz Triangular Inferior:
∗ 0 0 0
∗ ∗ 0 0
∗ ∗ . .. 0
∗ ∗ ∗ ∗
Matriz Triangular Superior:
∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗
0 0 . .. ∗
0 0 0 ∗
Analiticamente, c ´omo podemos definir estas matrices?
Matriz Triangular Inferior:aij =0 sii<j
Matriz Triangular Superior:aij =0 sii >j
Matriz Triangular Inferior y Superior
Matriz Triangular Inferior:
∗ 0 0 0
∗ ∗ 0 0
∗ ∗ . .. 0
∗ ∗ ∗ ∗
Matriz Triangular Superior:
∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗
0 0 . .. ∗
0 0 0 ∗
Analiticamente, c ´omo podemos definir estas matrices?
Matriz Triangular Inferior:aij =0 sii<j
Matriz Triangular Inferior y Superior
Matriz Triangular Inferior:
∗ 0 0 0
∗ ∗ 0 0
∗ ∗ . .. 0
∗ ∗ ∗ ∗
Matriz Triangular Superior:
∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗
0 0 . .. ∗
0 0 0 ∗
Analiticamente, c ´omo podemos definir estas matrices?
Matriz Triangular Inferior:aij =0 sii<j
Matriz Triangular Superior:aij =0 sii >j
Matriz Triangular Inferior y Superior
Matriz Triangular Inferior:
∗ 0 0 0
∗ ∗ 0 0
∗ ∗ . .. 0
∗ ∗ ∗ ∗
Matriz Triangular Superior:
∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗
0 0 . .. ∗
0 0 0 ∗
Analiticamente, c ´omo podemos definir estas matrices?
Matriz Triangular Inferior:aij =0 sii<j
Matriz Triangular Inferior y Superior
Matriz Triangular Inferior:
∗ 0 0 0
∗ ∗ 0 0
∗ ∗ . .. 0
∗ ∗ ∗ ∗
Matriz Triangular Superior:
∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗
0 0 . .. ∗
0 0 0 ∗
Analiticamente, c ´omo podemos definir estas matrices?
Matriz Triangular Inferior:aij =0 sii<j
Matriz Triangular Superior:aij =0 sii >j
Traza
Se llama Traza de una matrizA= (aij)n×na la suma de los
elementos de la diagonal principal.
Esto es,tr(A) =Pn
i=1aii
Observaci ´on:
Traza
Se llama Traza de una matrizA= (aij)n×na la suma de los
elementos de la diagonal principal.
Esto es,tr(A) =Pn
i=1aii
Observaci ´on:
tr(A+B) =tr(A) +tr(B)
Traza
Se llama Traza de una matrizA= (aij)n×na la suma de los
elementos de la diagonal principal.
Esto es,tr(A) =Pn
i=1aii
Observaci ´on:
Algebra
Igualdad de Matrices:
SeanA= (aij)yB= (bij)dos matrices.
Se dice queA=B, si las matrices son del mismo orden, y
adem ´asaij =bij,∀i,j
Suma de Matrices:
SiA= (aij)yB= (bij)son dos matrices de ordenn×m.
Se defineA+B= (aij +bij), de ordenn×m.
Multiplicaci ´on por escalar:
SiA= (aij)n×myα∈RoC, entoncesαA= (αaij)n×m.
Multiplicaci ´on de dos matrices: SeaA= (aij)n×m yB= (bij)m×p.
Entonces se define la matrizCde ordenn×p, como
C =A·B, donde los coeficientescij se obtienen:
cij = m
X
k=1
aik·bkj
Algebra
Igualdad de Matrices:
SeanA= (aij)yB= (bij)dos matrices.
Se dice queA=B, si las matrices son del mismo orden, y
adem ´asaij =bij,∀i,j Suma de Matrices:
SiA= (aij)yB= (bij)son dos matrices de ordenn×m.
Se defineA+B= (aij+bij), de ordenn×m.
Multiplicaci ´on por escalar:
SiA= (aij)n×myα∈RoC, entoncesαA= (αaij)n×m.
Multiplicaci ´on de dos matrices: SeaA= (aij)n×m yB= (bij)m×p.
Entonces se define la matrizCde ordenn×p, como
C =A·B, donde los coeficientescij se obtienen:
cij = m
X
k=1
Algebra
Igualdad de Matrices:
SeanA= (aij)yB= (bij)dos matrices.
Se dice queA=B, si las matrices son del mismo orden, y
adem ´asaij =bij,∀i,j Suma de Matrices:
SiA= (aij)yB= (bij)son dos matrices de ordenn×m.
Se defineA+B= (aij+bij), de ordenn×m.
Multiplicaci ´on por escalar:
SiA= (aij)n×myα∈RoC, entoncesαA= (αaij)n×m.
Multiplicaci ´on de dos matrices: SeaA= (aij)n×m yB= (bij)m×p.
Entonces se define la matrizCde ordenn×p, como
C =A·B, donde los coeficientescij se obtienen:
cij = m
X
k=1
aik·bkj
Algebra
Igualdad de Matrices:
SeanA= (aij)yB= (bij)dos matrices.
Se dice queA=B, si las matrices son del mismo orden, y
adem ´asaij =bij,∀i,j Suma de Matrices:
SiA= (aij)yB= (bij)son dos matrices de ordenn×m.
Se defineA+B= (aij+bij), de ordenn×m.
Multiplicaci ´on por escalar:
SiA= (aij)n×myα∈RoC, entoncesαA= (αaij)n×m.
Multiplicaci ´on de dos matrices: SeaA= (aij)n×m yB = (bij)m×p.
Entonces se define la matrizCde ordenn×p, como
Ejemplos Operatoria
1 −5 b
2 0 x2+2
=
1 −5 3
2 a 11
Entonces,a=0,b=3, yx =3 ox =−3
SeaA=
5 −1
2 0
0 4
yB =
1 3
1 −7
−1 0
Entonces,A+B=
6 2
3 −7
−1 4
SeaA=
2 0 2
−1 1 34
yα=−4.
Entonces,α·A=
−8 0 −8
4 −4 −3
Ejemplos Operatoria
1 −5 b
2 0 x2+2
=
1 −5 3
2 a 11
Entonces,a=0,b=3, yx =3 ox =−3
SeaA=
5 −1
2 0
0 4
yB =
1 3
1 −7
−1 0
Entonces,A+B=
6 2
3 −7
−1 4
SeaA=
2 0 2
−1 1 34
yα=−4.
Entonces,α·A=
−8 0 −8
4 −4 −3
Ejemplos Operatoria
1 −5 b
2 0 x2+2
=
1 −5 3
2 a 11
Entonces,a=0,b =3, yx =3 ox =−3
SeaA=
5 −1
2 0
0 4
yB =
1 3
1 −7
−1 0
Entonces,A+B=
6 2
3 −7
−1 4
SeaA=
2 0 2
−1 1 34
yα=−4.
Entonces,α·A=
−8 0 −8
4 −4 −3
Ejemplos Operatoria
1 −5 b
2 0 x2+2
=
1 −5 3
2 a 11
Entonces,a=0,b =3, yx =3 ox =−3
SeaA=
5 −1
2 0
0 4
yB =
1 3
1 −7
−1 0
Entonces,A+B=
6 2
3 −7
−1 4
SeaA=
2 0 2
−1 1 34
yα=−4.
Entonces,α·A=
−8 0 −8
4 −4 −3
Ejemplos Operatoria
1 −5 b
2 0 x2+2
=
1 −5 3
2 a 11
Entonces,a=0,b =3, yx =3 ox =−3
SeaA=
5 −1
2 0
0 4
yB =
1 3
1 −7
−1 0
Entonces,A+B=
6 2
3 −7
−1 4
SeaA=
2 0 2
−1 1 34
yα=−4.
Entonces,α·A=
−8 0 −8
4 −4 −3
Ejemplos Operatoria
1 −5 b
2 0 x2+2
=
1 −5 3
2 a 11
Entonces,a=0,b =3, yx =3 ox =−3
SeaA=
5 −1
2 0
0 4
yB =
1 3
1 −7
−1 0
Entonces,A+B=
6 2
3 −7
−1 4
SeaA=
2 0 2
−1 1 34
yα=−4.
Entonces,α·A=
−8 0 −8
4 −4 −3
Ejemplos Operatoria
1 −5 b
2 0 x2+2
=
1 −5 3
2 a 11
Entonces,a=0,b =3, yx =3 ox =−3
SeaA=
5 −1
2 0
0 4
yB =
1 3
1 −7
−1 0
Entonces,A+B=
6 2
3 −7
−1 4
SeaA=
2 0 2
−1 1 34
yα=−4.
Entonces,α·A=
−8 0 −8
4 −4 −3
Ejemplos Operatoria
1 −5 b
2 0 x2+2
=
1 −5 3
2 a 11
Entonces,a=0,b =3, yx =3 ox =−3
SeaA=
5 −1
2 0
0 4
yB =
1 3
1 −7
−1 0
Entonces,A+B=
6 2
3 −7
−1 4
SeaA=
2 0 2
−1 1 34
yα=−4.
Entonces, ·A
Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
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Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1)
2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
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Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0
2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
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Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1)
0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0
0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
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Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1)
1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
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Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0
1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
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Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
= −1 2 1
3 0 3
1 1 2
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Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2
1
3 0 3
1 1 2
Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
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Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3
0 3
1 1 2
Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0
3
1 1 2
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Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1
1 2
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Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
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2
Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
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yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
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Ejemplos Operatoria
SeaA=
2 1
0 −3
1 −1
yB=
0 1 1
−1 0 −1
Entonces,A·B =
2·0+1·(−1) 2·1+1·0 2·1+1·(−1)
0·0+ (−3)·(−1) 0·1+ (−3)·0 0·1+ (−3)·(−1)
1·0+ (−1)·(−1) 1·1+ (−1)·0 1·1+ (−1)·(−1)
=
−1 2 1
3 0 3
1 1 2
Observaciones
1 C ´omo se define la diferencia?
A−B=A+ (−B)
2 C ´omo se define la divisi ´on?
A
B =A·B
−1
Observaciones
1 C ´omo se define la diferencia?
A−B=A+ (−B)
2 C ´omo se define la divisi ´on?
A
B =A·B
Observaciones
1 C ´omo se define la diferencia?
A−B=
A+ (−B)
2 C ´omo se define la divisi ´on?
A
B =A·B
−1
Observaciones
1 C ´omo se define la diferencia?
A−B=A+ (−B)
2 C ´omo se define la divisi ´on?
A
B =A·B
Observaciones
1 C ´omo se define la diferencia?
A−B=A+ (−B)
2 C ´omo se define la divisi ´on?
A
B =A·B
−1
Observaciones
1 C ´omo se define la diferencia?
A−B=A+ (−B)
2 C ´omo se define la divisi ´on?
A
B =A·B
Propiedades de Operatoria de Matrices
SeanA,B yC matrices (el orden de cada matriz se asume que
es el apropiado para que cada operaci ´on tenga sentido).
1 A+B=B+A
2 (A+B) +C=A+ (B+C) 3 A+ (0) =A
4 A+ (−1)·A= (0)
5 α·(A+B) =α·A+α·B 6 (α+β)·A=α·A+β·A 7 (α·β)·A=α(β·A) 8 1·A=A
9 (A·B)·C =A·(B·C) 10 A·(B+C) =A·B+A·C 11 (A+B)·C =A·C+B·C 12 α·(A·B) = (α·A)·B =A(α·B) 13 A∈M
n×m⇒In·A=A=A·Im
Propiedades de Operatoria de Matrices
SeanA,B yC matrices (el orden de cada matriz se asume que
es el apropiado para que cada operaci ´on tenga sentido).
1 A+B=B+A
2 (A+B) +C=A+ (B+C)
3 A+ (0) =A 4 A+ (−1)·A= (0)
5 α·(A+B) =α·A+α·B 6 (α+β)·A=α·A+β·A 7 (α·β)·A=α(β·A) 8 1·A=A
9 (A·B)·C =A·(B·C) 10 A·(B+C) =A·B+A·C 11 (A+B)·C =A·C+B·C 12 α·(A·B) = (α·A)·B =A(α·B) 13 A∈M
Propiedades de Operatoria de Matrices
SeanA,B yC matrices (el orden de cada matriz se asume que
es el apropiado para que cada operaci ´on tenga sentido).
1 A+B=B+A
2 (A+B) +C=A+ (B+C) 3 A+ (0) =A
4 A+ (−1)·A= (0)
5 α·(A+B) =α·A+α·B 6 (α+β)·A=α·A+β·A 7 (α·β)·A=α(β·A) 8 1·A=A
9 (A·B)·C =A·(B·C) 10 A·(B+C) =A·B+A·C 11 (A+B)·C =A·C+B·C 12 α·(A·B) = (α·A)·B =A(α·B) 13 A∈M
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Propiedades de Operatoria de Matrices
SeanA,B yC matrices (el orden de cada matriz se asume que
es el apropiado para que cada operaci ´on tenga sentido).
1 A+B=B+A
2 (A+B) +C=A+ (B+C) 3 A+ (0) =A
4 A+ (−1)·A= (0)
5 α·(A+B) =α·A+α·B 6 (α+β)·A=α·A+β·A 7 (α·β)·A=α(β·A) 8 1·A=A
9 (A·B)·C =A·(B·C) 10 A·(B+C) =A·B+A·C 11 (A+B)·C =A·C+B·C 12 α·(A·B) = (α·A)·B =A(α·B) 13 A∈M
Propiedades de Operatoria de Matrices
SeanA,B yC matrices (el orden de cada matriz se asume que
es el apropiado para que cada operaci ´on tenga sentido).
1 A+B=B+A
2 (A+B) +C=A+ (B+C) 3 A+ (0) =A
4 A+ (−1)·A= (0)
5 α·(A+B) =α·A+α·B
6 (α+β)·A=α·A+β·A 7 (α·β)·A=α(β·A) 8 1·A=A
9 (A·B)·C =A·(B·C) 10 A·(B+C) =A·B+A·C 11 (A+B)·C =A·C+B·C 12 α·(A·B) = (α·A)·B =A(α·B) 13 A∈M
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SeanA,B yC matrices (el orden de cada matriz se asume que
es el apropiado para que cada operaci ´on tenga sentido).
1 A+B=B+A
2 (A+B) +C=A+ (B+C) 3 A+ (0) =A
4 A+ (−1)·A= (0)
5 α·(A+B) =α·A+α·B 6 (α+β)·A=α·A+β·A
7 (α·β)·A=α(β·A) 8 1·A=A
9 (A·B)·C =A·(B·C) 10 A·(B+C) =A·B+A·C 11 (A+B)·C =A·C+B·C 12 α·(A·B) = (α·A)·B =A(α·B) 13 A∈M
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SeanA,B yC matrices (el orden de cada matriz se asume que
es el apropiado para que cada operaci ´on tenga sentido).
1 A+B=B+A
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4 A+ (−1)·A= (0)
5 α·(A+B) =α·A+α·B 6 (α+β)·A=α·A+β·A 7 (α·β)·A=α(β·A)
8 1·A=A
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SeanA,B yC matrices (el orden de cada matriz se asume que
es el apropiado para que cada operaci ´on tenga sentido).
1 A+B=B+A
2 (A+B) +C=A+ (B+C) 3 A+ (0) =A
4 A+ (−1)·A= (0)
5 α·(A+B) =α·A+α·B 6 (α+β)·A=α·A+β·A 7 (α·β)·A=α(β·A) 8 1·A=A
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Propiedades de Operatoria de Matrices
SeanA,B yC matrices (el orden de cada matriz se asume que
es el apropiado para que cada operaci ´on tenga sentido).
1 A+B=B+A
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4 A+ (−1)·A= (0)
5 α·(A+B) =α·A+α·B 6 (α+β)·A=α·A+β·A 7 (α·β)·A=α(β·A) 8 1·A=A
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10 A·(B+C) =A·B+A·C 11 (A+B)·C =A·C+B·C 12 α·(A·B) = (α·A)·B =A(α·B) 13 A∈M
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1 A+B=B+A
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4 A+ (−1)·A= (0)
5 α·(A+B) =α·A+α·B 6 (α+β)·A=α·A+β·A 7 (α·β)·A=α(β·A) 8 1·A=A
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SeanA,B yC matrices (el orden de cada matriz se asume que
es el apropiado para que cada operaci ´on tenga sentido).
1 A+B=B+A
2 (A+B) +C=A+ (B+C) 3 A+ (0) =A
4 A+ (−1)·A= (0)
5 α·(A+B) =α·A+α·B 6 (α+β)·A=α·A+β·A 7 (α·β)·A=α(β·A) 8 1·A=A
9 (A·B)·C =A·(B·C) 10 A·(B+C) =A·B+A·C 11 (A+B)·C =A·C+B·C
12 α·(A·B) = (α·A)·B =A(α·B) 13 A∈M
n×m⇒In·A=A=A·Im
Propiedades de Operatoria de Matrices
SeanA,B yC matrices (el orden de cada matriz se asume que
es el apropiado para que cada operaci ´on tenga sentido).
1 A+B=B+A
2 (A+B) +C=A+ (B+C) 3 A+ (0) =A
4 A+ (−1)·A= (0)
5 α·(A+B) =α·A+α·B 6 (α+β)·A=α·A+β·A 7 (α·β)·A=α(β·A) 8 1·A=A
9 (A·B)·C =A·(B·C) 10 A·(B+C) =A·B+A·C
13 A∈M
Propiedades de Operatoria de Matrices
SeanA,B yC matrices (el orden de cada matriz se asume que
es el apropiado para que cada operaci ´on tenga sentido).
1 A+B=B+A
2 (A+B) +C=A+ (B+C) 3 A+ (0) =A
4 A+ (−1)·A= (0)
5 α·(A+B) =α·A+α·B 6 (α+β)·A=α·A+β·A 7 (α·β)·A=α(β·A) 8 1·A=A
9 (A·B)·C =A·(B·C) 10 A·(B+C) =A·B+A·C 11 (A+B)·C =A·C+B·C 12 α·(A·B) = (α·A)·B =A(α·B) 13 A∈M
n×m⇒In·A=A=A·Im
Demostraci ´on de algunas Propiedades
Observaci ´on
IMPORTANTE
El producto matricial no es conmutativo.
Ejemplo: Sea:A=
1 −1
2 1
yB=
1 −1
0 1
IMPORTANTE
Para las matrices, no se verifica que:A·B⇒A=0∨B=0.
Ejemplo: 0 1 0 0 · 0 1 0 0 = 0 0 0 0
Observaci ´on
IMPORTANTE
El producto matricial no es conmutativo.
Ejemplo: Sea:A=
1 −1
2 1
yB=
1 −1
0 1
IMPORTANTE
Para las matrices, no se verifica que:A·B⇒A=0∨B=0.
Observaci ´on
IMPORTANTE
El producto matricial no es conmutativo.
Ejemplo: Sea:A=
1 −1
2 1
yB=
1 −1
0 1
IMPORTANTE
Para las matrices, no se verifica que:A·B⇒A=0∨B=0.
Ejemplo: 0 1 0 0 · 0 1 0 0 = 0 0 0 0
Observaci ´on
IMPORTANTE
El producto matricial no es conmutativo.
Ejemplo: Sea:A=
1 −1
2 1
yB=
1 −1
0 1
IMPORTANTE
Para las matrices, no se verifica que:A·B⇒A=0∨B=0.
Observaci ´on
Qu ´e otras propiedades NO se verifican en las matrices????
IMPORTANTE:
(A+B)26=A2+2AB+B2
IMPORTANTE:
A2−B26= (A+B)(A−B)
Observaci ´on
Qu ´e otras propiedades NO se verifican en las matrices????
IMPORTANTE:
(A+B)26=A2+2AB+B2
IMPORTANTE:
Observaci ´on
Qu ´e otras propiedades NO se verifican en las matrices????
IMPORTANTE:
(A+B)26=A2+2AB+B2
IMPORTANTE:
A2−B26= (A+B)(A−B)
Observaci ´on
Tiene sentido las potencias de matrices???
Solo siAes una matriz cuadrada.
As´ı,
Ak =
In si k =0
A si k =1
A·A·A...A si k >1(k veces)
y sik <0???
Observaci ´on
Tiene sentido las potencias de matrices???
Solo siAes una matriz cuadrada.
As´ı,
Ak =
In si k =0
A si k =1
A·A·A...A si k >1(k veces)
y sik <0???
Veremos esto mas adelante...
