Funciones multilineales y determinantes

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CAP´ıTULO 9

Funciones multilineales y determinantes

En este cap´ıtulo generalizamos el concepto de transformaci´on lineal, permitiendo que en el dominio de la funci´on hayan varias variables.

1. Definiciones generales

Definición 9.1. Sean V1, . . . , Vn, W espacios vectoriales y b : V1 × · · · ×Vn → W una función. Decimos que b es multilneal si, fijando todas las variables menos la variable i-ésima, la función Vi → W que se obtiene es lineal. Por ejemplo, si fijamos todas las variables menos la primera, obtenemos que la función v Ãb(v, v0

2, . . . , v0n) : V1 → W es

una transformaci´on lineal – estamos considerando v0

2, . . . , v0n fijos.

Llamamos Mult(V1, . . . , Vn;W) al conjunto de todas las transformaciones multilinea-les con dominio enV1, . . . , Vny codominioW. En el caso en que el codominio es el cuerpo de base, i.e., si W =k, decimos que b :V1× · · · ×Vn→k es una forma multilineal.

Observaci´on 9.2. (1) Por ejemplo, si n = 2 entonces las condiciones para que b ∈

Mult(V1, V2;W) son las siguientes:b(αv+βv0, w) =αb(v, w)+αb(v0, w) ;b(v, γw+δw0) =

γb(v, w) +δb(v, w0_{) para todo} _{α, β, γ, δ}_∈_k _y _{v, v}0 _∈_V

1 y w, w0 ∈V2. Si compactificamos

ambas f´ormulas en una sola tenemos:

b(αv+βv0_{, γw}₊_δw0_{) =} _{αγb(v, w) +}_{αδb(v, w}0_{) +}_βγb(v0_{, w) +}_βδb(v0_{, w}0₎_.

(2) De la misma manera que se prueba que si V y W son espacios vectoriales, entonces Hom(V, W) es un espacio vectorial con las operaciones realizadas punto a punto, se puede probar que Mult(V1, . . . , Vn;W) es un espacio vectorial con las operaciones realizadas punto a punto.

Definición 9.3. (1) Una transformación multilineal b ∈Mult(V, . . . , V;W) se dice simétrica si cuando se intercambian dos vectores de posición el resultado es el mismo. O sea si para todo 1 ≤i < j≤n, se tiene que

b(v1, . . . , vi−1,vi, vi+1, . . . , vj−1, vj, vj+1, . . . , vn) =

b(v1, . . . , vi−1, vj, vi+1, . . . , vj−1, vi, vj+1, . . . , vn).

Llamamos Sim(V, . . . , V;W) al conjunto de todas las transformaciones multilineales sim´etricas. Si W =kdenotamos Sim(V, . . . , V;k) = Simn(V).

(2) Una trasnformación multilineal b ∈Mult(V,. . . , V;W), se dice antisimétrica o alter-nada si cuando se intercambian dos vectores de posición el resultado es opuesto. O sea si para todo 1≤i < j ≤n, se tiene que

b(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vn) = −b(v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vn).

Llamamos Alt(V, . . . , V;W) al conjunto de todas las transformaciones lineales alter-nadas. Si W =k denotamos Alt(V, . . . , V;k) = Altn(V).

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Observaci´on 9.4. (1) Es f´acil ver que Sim(V, . . . , V;W) ⊂ Mult(V, . . . , V;W) y Alt(V, . . . , V;W)⊂Mult(V, . . . , V;W), son subespacios. En particular, Simn(V) y Altn(V) son espacios vectoriales de un modo natural.

(2) Es claro que si b es una funci´on multilineal alternada, como

b(v1, . . . , v, . . . , v, . . . , vn) = −b(v1, . . . , v, . . . , v, . . . , vn)

deducimos que b(v1, . . . , v, . . . , v, . . . , vn) = 0. Tambi´en se prueba el rec´ıproco de la si-guiente forma. Si para todo b(v1, . . . , v, . . . , v, . . . , vn) = 0, obtenemos

0 =b(v1, . . . , v+w, . . . , v+w, . . . , vn) =b(v1, . . . , v, . . . , v, . . . , vn)+

b(v1, . . . , v, . . . , w, . . . , vn) +b(v1, . . . , w, . . . , v, . . . , vn)+ b(v1, . . . , w, . . . , w, . . . , vn),

de donde deducimos que b(v1, . . . , v, . . . , w, . . . , vn) = −b(v1, . . . , w, . . . , v, . . . , vn). 2. Formas bilineales, matrices asociadas

Consideremos el caso particular en que tenemos formas bilineales. Se usa la notaci´on Bil(V, W) para indicar Mult(V ×V, W;k).

Ejemplo 9.5. (1) SeaA∈Mn×muna matriz arbitraria. Definimos una forma bilineal BLA: kn×km →k de la siguiente forma: BLA(v, w) =vtAw donde vt indica el vector fila obtenido transponiendo el vector columna v. De esta forma construimos una función BL :Mn×m →Bil(kn,km). Es fácil ver que BLA es una forma bilineal y que la función BL :Mn×m →Bil(kn,km) es una transformación lineal.

(2) Procediendo en forma semejante a como se procedi´o en el caso de transformaciones lineales se puede probar que BL es un isomorfismo.

Definici´on9.6. SeanV yW espacios vectoriales de dimensi´on finita y{e1, . . . , en}= B ⊂ V y {f1, . . . , fm}=C ⊂ W respectivas bases. La matriz

¡

b(ei, fj)

¢

1≤i≤n

1≤j≤m ∈Mn×m se llama la matriz asociada a la forma bilineal b en las bases B y C. Esa matriz se denota como _B[b]_C.

Lema 9.7. La matriz asociada a una borma bilineal b en las bases B y C verifica: b(v, w) = cB(v)t_B[b]_CcC(w).

Demostraci´on. Si escribimosv =Pn_i₌₁αiei y w=

P_m j=1βjfj tenemos que b(v, w) = X i,j αiβjb(ei, fj) = X i,j (α1, . . . , αn)b(ei, fj)   β1 ... βm  ₌_cB_(v)t B[b]CcC(w). ¤ Otra forma de interpretar la proposici´on anterior es la siguiente.

Lema 9.8. Sean V y W espacios vectoriales de dimensi´on finita y sean B ⊂ V,

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3. DETERMINANTES 73

entonces el diagrama de abajo es conmutativo.

V ×W b // cB×cC ²² k kn_×_km BL_B[b]_C 66 n n n n n n n n n n n n n n

Demostraci´on. Es claro que el enunciado de este lema es una reformulaci´on del

lema anterior. ¤

Observación 9.9. (1) En caso de que b sea bilineal b:V ×V →ky B ⊂V es una base de V, tenemos que b∈Sim2(V) si y sólo si _B[b]_C es una matriz simétrica.

Analóga-mente, b ∈ Alt2(V) si y sólo si _B[b]_C es una matriz antisimétrica. Esta demostración

queda como ejercicio para el lector.

(2) En particular usando que una matriz arbitraria cuadrada se descompone en una ma-triz simétrica y una antisimétrica, se puede probar que una forma bilineal se descompone como una simétrica y otra alternada. Esta demostración queda como ejercicio para el lector.

Corolario9.10. (1) SiV yW son espacios vectoriales de dimensi´ondyd0_{, entonces} dim Bil(V, W) =dd0_.

(2) Si V es un espacio vectorial de dimensi´on d, entonces dim Bil(V) =d2_.

3. Determinantes Sea A = µ a b c d ¶

una matriz cuadrada dos por dos. Se define el determinante de la matriz A como det(A) = ad −bc. Podemos interpretar det : k2 _× _k2 _→ _k _como

funci´on de las dos columnas de la matriz. En ese caso se puede probar directamente que det ∈ Alt2(k2). Esto nos lleva a considerar el espacio siguiente donde consideramos a

“todos los determinantes”.

Definici´on 9.11. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n. Los elementos de Altn(V) se llaman determinantes en V.

Ya hemos observado que sid yd0 _{son determinantes en}_V _entonces_d₊_d0 _{es un} deter-minante y tambi´en αd es un determinante siα ∈k, en otras palabras, los determinantes forman un espacio vectorial.

Observaci´on 9.12. Si d es un determinante en k2 _y _{_e

1, e2} es la base can´onica

tenemos que si v =αe1+βe2 y w=γe1+δe2 entonces

d(v, w) = d(αe1+βe2, γe1+δe2) =αγd(e1, e1) +αδd(e1, e2) +βγd(e2, e1) +βδd(e2, e2).

Comodes alternada, concluimos qued(e1, e1) =d(e2, e2) = 0 y adem´as qued(e1, e2) = −d(e2, e1). Entoncesd(v, w) = (αδ−βγ)d(e1, e2). Esto muestra la ´ıntima relaci´on entre

las funciones que m´as arriba llamamos determinantes y el determinante de una matriz (tal cual est´a definido usualmente).

Definición 9.13. Sea V un espacio vectorial de dimensiónn; se considera la trans-formación lineal ∆ : Altn(V)→k definida de la siguiente forma: ∆(d) =d(e1, . . . , en).

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A continuaci´on estudiaremos al mapa ∆. Nuestro prop´osito es probar que ∆ es un isomorfismo (eso lleva su tiempo).

A continuación realizaremos un cálculo que resultará útil en varias ocasiones.

Observaci´on 9.14. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n y {e1, . . . , en} una

base. Si v1, . . . , vn ∈ V son n vectores de V, queremos calcular d(v1, . . . , vn). Para ello escribimos vi = P jiαijieji y d(v1, . . . , vn) =d( X j1 α1j1ej1, . . . , X jn αnjnejn) = X j1,...,jn α1j1. . . αnjnd(ej1, . . . , ejn)

A priori, el conjunto {j1, . . . , jn} puede tener elementos repetidos; si los tuviera, como d es alternada tenemos que d(ej1, . . . , ejn) = 0. Consecuentemente, en la expresi´on

anterior solo “sobreviven” los t´erminos que tienen los sub´ındices {j1, . . . , jn} diferentes,

o sea si {j1, . . . , jn} es una permutaci´on del conjunto {1, . . . , n}.

Luego, si consideramos σ ∈ Sn, σ(i) = ji para i= 1, . . . , n, tenemos que d(v1, . . . , vn) =d( X j1 α1j1ej1, . . . , X jn αnjnejn) = X σ∈Sn α1σ(1). . . αnσ(n)d(eσ(1), . . . , eσ(n))

Por otro lado, al ser {σ(1), . . . , σ(n)} una reordenaci´on de los elementos {1, . . . , n}, tenemos que

d(eσ(1), . . . , eσ(n)) =±d(e1, . . . , en). (3.1)

El número ± que aparece en la expresión anterior lo calcularemos más adelante. d(v1, . . . , vn) = ¡ X σ∈Sn ±α1σ(1). . . αnσ(n) ¢ d(e1, . . . , en) (3.2)

Lema 9.15. SiV es un espacio vectorial de dimensi´onn, la funci´on∆ : Altn(V)→k

es inyectiva (ver la Definici´on 9.13).

Demostraci´on. Si d ∈ Altn(V) es tal que ∆(d) = 0, aplicando los resultados de la Observaci´on 9.14 concluimos que d(v1, . . . , vn) =

¡P σ∈Sn±α1σ(1). . . αnσ(n) ¢ ∆(d) = 0. Deducimos que d(v1, . . . , vn) = 0. ¤ 4. Permutaciones

En la construcci´on de los determinantes el conjunto Sn juega un papel relevante, queremos estudiarlo m´as en detalle.

Observaci´on 9.16. (1) Sn ⊂[n][n] es un conjunto con n! elementos.

(2) Si σ : [n]→[n] es una funci´on biyectiva, entonces, σ−1 _{: [n]}_→_{[n] (la funci´on inversa}

de σ) es también una función bijectiva, o sea que si σ ∈ Sn entonces σ−1 ∈ Sn. Es claro también que la función identidad 1n = Id : [n] → [n] es una permutación. Si σ, τ ∈ Sn

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4. PERMUTACIONES 75

son permutaciones tambi´en lo esσ◦τ – muchas veces omitimos el s´ımbolo◦y escribimos simplemente στ. Tambi´en a menudo omitiremos el sub´ındice en 1n y escribimos 1∈ Sn. De esta forma, hemos probado que el conjunto de todas las permutaciones de n elementos forman un grupo.

(3) Las permutaciones se escriben frecuentemente de la siguiente forma σ =

µ

1 2 . . . n σ(1) σ(2) . . . σ(n)

¶

(4) Por ejemplo, el grupo S3 tiene seis elementos que son:

1 = µ 1 2 3 1 2 3 ¶ σ = µ 1 2 3 2 1 3 ¶ τ = µ 1 2 3 3 2 1 ¶ ν = µ 1 2 3 1 3 2 ¶ ντ = µ 1 2 3 2 3 1 ¶ τ ν = µ 1 2 3 3 1 2 ¶

Definición 9.17. Una transposición es una permutación σ ∈ Sn con la siguiente propiedad: existen 1 ≤i6=j ≤n tales que σ(i) =j , σ(j) =i , σ(k) =k , para todok 6= i, j.

Observaci´on 9.18. Observar que si τ es una transposici´on, entonces τ2 _{= 1, o sea}

que τ =τ−1_.

En el ejemplo deS3 presentado m´as arriba,σ, τ, ν son transposiciones. EnS2 la ´unica

permutaci´on diferente de 1 es una transposici´on.

En el caso de S3 se observa que toda permutaci´on es producto de transposiciones.

Por ejemplo, la identidad 1 = σ2_{. Por otro lado esta descomposici´on no es ´unica pues}

por ejemplo: 1 = σ2 ₌_τ2_{. El teorema que sigue que no demostraremos, d´a informaci´on}

sobre este tipo de descomposiciones.

Teorema9.19. Siσ ∈ Snes una permutación, existen transposicionesτ1, . . . , τl ∈ Sn tales que σ = τ1τ2· · ·τl. Además, si tenemos otra descomposición de la forma σ = ν1ν2· · ·νs con νi transposición para i= 1, . . . , s, entonces s−l es un número par.

El teorema anterior garantiza que toda permutación se escribe como producto de transposiciones, de forma no necesariamente única, y que en dos descomposiciones dife-rentes de la misma permutación, la diferencia de las longitudes de ambas descomposicio-nes es un número par.

Por ejemplo, no ser´ıa posible descomponer, σ de dos formas diferentes, σ=τ1τ2τ3 =

ν1ν2 donde τ1, τ2, τ3, ν1, ν2 son transposiciones.

Definici´on 9.20. Si σ ∈ Sn es una permutaci´on y σ =τ1τ2. . . τl, se define el signo de σ como ε(σ) = (−1)l_.

Observación 9.21. (1) El Teorema 9.19 nos garantiza que la definición anterior es correcta, o sea que ε(σ) no depende de la descomposición elegida de σ en términos de transposiciones.

(2) Si consideramos ε como una funci´on, tenemos que ε: Sn → {−1,1}. Es claro que el conjunto {−1,1} es un grupo con la operaci´on de producto. Con esa estructura ε es un homomorfismo de grupos, es decir que ε(στ) =ε(σ)ε(τ).

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5. Unicidad de los determinantes. Determinantes de matrices Comenzamos calculando el signo ± que aparece en la ecuaci´on (3.2).

Lema 9.22. De acuerdo con las notaciones de la ecuaci´on (3.1) tenemos que d¡eσ(1), . . . , eσ(n)

¢

=ε(σ)d(e1, . . . , en)

Demostraci´on. Escribimos σ = τ1. . . τl donde τi, i = 1, . . . , l son transposicio-nes. Si abreviamos σ0 ₌ _τ

1. . . τl−1 tenemos que σ = σ0τl. Luego, d

¡ eσ(1), . . . , eσ(n) ¢ = d¡eσ0_τ_l₍₁₎, . . . , e_σ0_τ_l₍_n₎ ¢ =−d¡eσ0₍₁₎, . . . , e_σ0₍_n₎ ¢

. La ´ultima igualdad se deduce del hecho de que d es alternada. Hemos visto que al reducir σ = τ1. . . τl a σ0 = τ1. . . τl−1 el signo se

cambia una vez. Si seguimos con ese procedimiento, y eliminamos todos los t´erminos del producto σ =τ1. . . τl uno por uno, realizaremos en la expresi´on de d, (−1)l cambios de

signo. En definitiva, concluimos que d¡eσ(1), . . . , eσ(n)

¢

=ε(σ)d(e1, . . . , en). ¤

Definici´on9.23. Dada una matriz,A∈Mndefinimos su determinante por la f´ormu-la det(A) = P_σ∈S_nε(σ)α1σ(1). . . αnσ(n).

Podemos interpretar la igualdad de la ecuaci´on (3.2) como

d(v1, . . . , vn) = det(A)d(e1, . . . , en) (5.1) La función det : Mn → k la podemos pensar también como una función det : kn×

· · · × kn _→ _k_{. Si} _B ₌ _{_e

1, . . . , en}, la f´ormula anterior (5.1) se puede escribir de la siguiente manera: d(v1, . . . , vn) = det ¡ cB(v1), . . . ,cB(vn) ¢ d(e1, . . . , en) (5.2) Hemos probado que el diagrama de abajo conmuta.

V × · · · ×V cB×···×cB ²² d _// k kn_{× · · · ×}_kn d(e1,...,en) det 55 l l l l l l l l l l l l l l l l

Teorema 9.24. La funci´ondet : (kn₎n ₌_kn_{× · · · ×}_kn_→_k _{es una forma multilineal} alternada.

Demostraci´on. Queremos probar que det es multilineal y alternada. Si

c1 =     a11 a21 ... an1    , . . . , cn=     a1n a2n ... ann    ∈kn, entonces det(c1, . . . , cn) = P σ∈Snε(σ)a1σ(1). . . anσ(n). Si i < j, entonces det(c1, . . . , cj, . . . , ci, . . . , cn) = X σ∈Sn ε(σ)a1σ(1). . . aiσ(j). . . ajσ(i). . . anσ(n) = X σ∈Sn ε(σ)a1στ(1). . . aiστ(i). . . ajστ(j). . . anστ(n),

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6. DETERMINANTES DE TRANSFORMACIONES LINEALES 77

donde τ es la transposici´on que intercambia i con j y deja el resto de los elementos del conjunto [n] fijos. Si hacemos en la sumatoria el cambio de variables ν = στ tenemos que det(c1, . . . , cj, . . . , ci, . . . , cn) = X ν∈Sn ε(ντ)a1ν(1). . . aiν(i). . . ajν(j). . . anν(n) = − X ν∈Sn ε(ν)a1ν(1). . . aiν(i). . . ajν(j). . . anν(n) = det(c1, . . . , ci, . . . , cj, . . . , cn).

En la prueba anterior hemos usado que ε(ντ) =ε(ν)ε(τ) = −ε(ν). ¤

Observaci´on 9.25. Es claro que si probamos que det :kn_{×· · ·×}_kn _→_k_∈_Alt n(kn), del diagrama anterior se concluye inmediatamente que

d(v1, . . . , vn) = det(cB(v1), . . . ,cB(vn))∈Altn(V).

Teorema 9.26. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n y sea B = {e1, . . . , en} una base fija.

(1) Sea d el elemento de Altn(V) definido por la f´ormula d(v1, . . . , vn) = det

¡

cB(v1), . . . ,cB(vn)

¢

. Si ∆ : Altn(V)→k es como antes, entonces ∆(d) = 1. (2) El espacio Altn(V) tiene dimensi´on uno.

Demostraci´on. (1) ∆(d) = d(e1, . . . , en) = det(f1, . . . , fn), donde {f1, . . . , fn} es

la base can´onica de kn_{. Las entradas de la matriz correspondiente a la base can´onica} son δij,1 ≤ i, j ≤ n, donde δij = 0 si i 6= j y δii = 1. Calculando expl´ıcitamente: det(f1, . . . , fn) =

P

σ∈Snε(σ)δ1σ(1). . . δiσ(i). . . δnσ(n). En la suma anterior, el ´unico

su-mando que no es cero es el que corresponde a σ(1) = 1, . . . , σ(i) = i, . . . , σ(n) =n; o sea el que corresponde a σ = 1. En definitiva tenemos que

det(f1, . . . , fn) =

X

σ∈Sn

ε(σ)δ1σ(1). . . δiσ(i). . . δnσ(n)=ε(1)δ11. . . δii. . . δnn = 1. (2) Hemos probado que la transformaci´on lineal ∆ no es nula; luego dim Altn(V)6= 0. Por otro lado, deducimos del Lemma 9.15 que dim Altn(V)≤1, luego dim Altn(V) = 1. ¤

Corolario 9.27. Si V es un espacio de dimensión n y B = {e1, . . . , en} es una base dada, existe una y sólo una función n-lineal alternada d definida en V tal que d(e1, . . . , en) = 1.

6. Determinantes de transformaciones lineales

En esta secci´on definimos el determinante de una transformaci´on lineal de un espacio en s´ı mismo.

Lema 9.28. Sea V un espacio vectorial y T : V → V una transformaci´on lineal. Si d ∈Altn(V)y definimos dT :V × · · · ×V →k por la siguiente f´ormula: dT(v1, . . . , vn) =

d¡T(v1), . . . , T(vn)

¢

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Demostraci´on. Es claro que dT(v1, . . . , vn) =d ¡ T(v1), . . . , T(vn) ¢ es multilineal y alternada si d lo es. ¤

Definición 9.29. Si V es un espacio vectorial y T : V →V es una transformación lineal, se define T] _{: Altn}_→_Altn _{por la fórmula} _T]_{(d) =} _dT_.

Observaci´on 9.30. (1) Es f´acil verificar queT]_{: Alt}

n →Altn es una transformaci´on lineal.

(2) (T S)]₌_S]_T]_{. Efectivamente, como}_T]_{(d) =} _d_◦_(T_{×· · ·×}_T_{), tenemos que (T S)}]_{(d) =} d◦(T S× · · · ×T S) = T]_(d)_◦_(S_{× · · · ×}_{S) = (S}]_T]_)(d).

(3) Id]= IdAltn(V).

(4) (aT)] ₌_an_T]_.

Observación 9.31. En la situación anterior, es claro que siT, S :W →W entonces, aT S = aTaS. Efectivamente, T S(w) = T(aSw) = aST(w) = aSaTw. Como además T S(w) =aT Sw, deducimos nuestro resultado.

Definición 9.32. Sea V un espacio vectorial de dimensión n y T : V → V una transformación lineal. Se define det(T) ∈ k como el único escalar que verifica que para todo d∈Altn(V), T]_{(d) = det(T}_)d.

Observación 9.33. (1) La definición anterior tiene sentido porque Altn(V) tiene dimensión uno. En efecto, recordar que si W es un espacio vectorial de dimensión uno y T : W → W es una transformación lineal, entonces existe aT ∈ k tal que para todo w∈W, T(w) =aTw.

(2) En otras palabras, det(T) es el ´unico escalar que verifica que para todo d∈Altn(V) se tiene que dT = det(T)d.

Lema 9.34. (1) Si T, S : V → V son dos transformaciones lineales, entonces det(T S) = det(T) det(S).

(2) det(IdV) = 1.

(3) Si T es invertible, entonces det(T)6= 0 y det(T−1_{) = 1/}_det(T_).

(4) det(aT) = an_det(T_).

Demostraci´on. (1) Esta propiedad se deduce inmediatamente de la Observaci´on 9.31.

(2) dIdV =d.

(3) SiT es invertible, tenemos queT−1_T _{= Id, de donde deducimos que det(T}−1_{) det(T}_{) =}

1.

(4) Como (aT)] ₌_an_T] _{concluimos el resultado deseado.}

¤ A continuaci´on relacionamos el determinante de una transformaci´on lineal con el determinante de su matriz asociada.

Lema 9.35. Sea A∈Mn y consideremos LA:kn _→_kn_{. En esa situaci´on} _{det(LA) =} det(A).

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7. C ´ALCULOS DE DETERMINANTES, MENORES 79

Demostraci´on. Consideremos det∈Altn(kn). Entonces det(LA) verifica la siguien-te igualdad:L]_A(det) = det(LA) det. Si evaluamos el lado izquierdo de la igualdad anterior en la matriz identidad tenemos que L]_A(det)(e1, . . . , en) = det(Ae1, . . . , Aen) = det(A). Si evaluamos el lado derecho tenemos: det(LA) det(e1, . . . , en) = det(LA). De esa forma

concluimos que det(LA) = det(A). ¤

Corolario 9.36. Si V es un espacio vectorial de dimensi´on n con base B, entonces det(T) = det(_B[T]_B).

Demostraci´on. Llamemos A = _B[T]_B. Es claro que si d ∈ Altn(V) es tal que d(e1, . . . , en) = 1 entonces el diagrama de abajo conmuta.

V × · · · ×V cB×cB ²² T×···×T _// V × · · · ×V cB×···×cB ²² d _// k kn_{× · · · ×}_kn LA×···×LA // _kn_{× · · · ×}_kn d(e1,...,en) det 55 l l l l l l l l l l l l l l l l

Usando las definiciones de determinante de T y deLAel diagrama anterior puede ser sustituido por el que sigue

V × · · · ×V cB×···×cB ²² det(T)d _// k kn_{× · · · ×}_kn det(LA) det 55 l l l l l l l l l l l l l l l l

En otras palabras: det(T)d = det(LA) det(cB × · · · ×cB), y como tambi´en sabemos qued= det(cB×· · ·×cB), concluimos que det(T) = det(LA) = det(A) = det(_B[T]_B). ¤

Corolario 9.37. Si A, B ∈Mn entonces, det(AB) = det(A) det(B).

Demostraci´on. Como LAB = LALB, deducimos que det(AB) = det(LAB) =

det(LALB) = det(LA) det(LB) = det(A) det(B). ¤

7. C´alculos de determinantes, menores En esta secci´on nos concentraremos en determinantes de matrices.

Lema 9.38. Si A∈Mn entonces det(A) = det(At).

Demostraci´on. Queremos probar que si A= (aij)1≤i,j≤n entonces

X σ∈Sn ε(σ)a1σ(1). . . anσ(n) = X σ∈Sn ε(σ)aσ(1)1. . . aσ(n)n.

(10)

Si escribimos en la segunda sumatoria i=σ¡σ−1_(i)¢ _{tenemos la siguiente cadena de} igualdades: X σ∈Sn ε(σ)aσ(1)1. . . aσ(n)n = X σ∈Sn ε(σ)aσ(1)σ−1₍_σ₍₁₎₎. . . a_σ₍_n₎_σ−1₍_σ₍_n₎₎ = X σ∈Sn ε(σ)a1σ−1₍₁₎. . . a_nσ−1₍_n₎ = X σ∈Sn ε(σ)a1σ(1). . . anσ(n).

La pen´ultima igualdad se obtiene simplemente cambiando el orden de los facto-res aσ(i)σ−1₍_σ₍_i₎₎, con i = 1, . . . , n de modo que queden ordenados en orden creciente {1, . . . , n}. La ´ultima igualdad se obtiene haciendo en la sumatoria un cambio de varia-bles de σ porσ−1_{, y al} _σ _recorrer _S

n lo mismo pasa con σ−1. ¤

Definici´on9.39. (1) SeaA∈Mnuna matriz cuadrada. Fijados un par de sub´ındices 1≤i, j ≤n se considera una matrizmij(A)∈Mn−1, que se obtiene a partir de la matriz

Aeliminando la columnaiy la filaj. La matrizmij(A) se llama elmenor (si es necesario aclararlo el n−1 menor) (i, j) de la matriz A.

(2) Se define en la misma situaci´on que arriba, para i, j fijados, el escalar cij(A) = (−1)i+j_det(m

ij(A)).

(3) Se define la matriz adjunta de la matriz A de la siguiente forma: ad(A) =¡cij(A) ¢_t 1≤i,j≤n. Ejemplo 9.40. Si A = µ a11 a12 a21 a22 ¶

. En este caso los menores son matrices uno por uno, o sea escalares, escribimos expl´ıcitamente c11 = a22, c12 = −a21, c21 = −a12,

c22=−a22.

El siguiente teorema muestra que un determinante se puede calcular desarrollando por una fila, o por una columna.

Teorema 9.41. Sea A∈Mn una matriz cuadrada.

(1) det(A) = a1ic1i(A) +a2ic2i(A) +· · ·+anicni(A). Esta f´ormula se llama f´ormula del

desarrollo de un determinante por la columna i–´esima.

(2) det(A) = aj1cj1(A) +aj2cj2(A) +· · ·+ajncjn(A). Esta fórmula se llama fórmula del desarrollo de un determinante por la fila j–ésima.

Demostración. Es claro que tomando matrices transpuestas podemos transformar la ecuación (1) en la ecuación (2). Probaremos sólo la segunda.

Llamamos β(A) = aj1cj1(A) + aj2cj2(A) + · · ·+ ajncjn(A). Queremos probar que β ∈ Altn(kn). Si dejamos a todas las columnas fijas y ponemos la columna k–´esima como suma aik =bik+cik, llamamos B a la matriz obtenida sustituyendo la columna k por la formada por los bik y C a la correspondiente matriz para los cik. En el desarrollo aj1cj1(A)+aj2cj2(A)+· · ·+ajncjn(A), cada menorcjl(A) que no sea elcjk, se descompone cjl(A) =cjl(B) +cjl(C). En el lugar j, k tenemos la descomposici´onajk =bjk+cjk.

(11)

7. C ´ALCULOS DE DETERMINANTES, MENORES 81

En definitiva tenemos que aj1cj1(A) + aj2cj2(A) +· · · +ajncjn(A) = aj1(cj1(B) +

cj1(C)) +aj2(cj2(B) +cj2(C)) +· · ·+ (bjk +cjk)cjk(A) +· · ·+ajn(cjn(B) +cjn(C)) = β(B) +β(C).

En forma parecida se demuestra que β es alternada.

Comoβ y det son elementos de Altn(kn), que tiene dimensión uno, será uno múltiplo del otro. Como por otro ladoβ(Idn) = 1 = det(Idn), concluimos la igualdad buscada. ¤

Teorema 9.42. Si A∈Mn, entonces Aad(A) = ad(A)A= det(A) Idn.

Demostraci´on. La entrada k, l de la matriz Aad(A) es P_rakrclr(A). De acuerdo con los resultados anteriores (ver Teorema 9.41) en el caso en que k = r, este escalar es igual a det(A). Si k 6= r formemos una nueva matriz que es igual a la original pero en la que sustituimos la fila k por la fila r. Llamemos A0 _{a esa nueva matriz (que tiene} dos filas iguales). Aplicando los resultados del Teorema a la matriz A0 _{deducimos que} 0 = det(A0_{) =} _a0

k1ck1(A0)+· · ·+a0knckn(A0) = ar1ck1(A)+· · ·+arnckn(A). De esta manera hemos probado el resultado buscado y Aad(A) = det(A) Idn. Para probar la restante igualdad procedemos como sigue. Si aplicamos la propiedad anteriormente probada a At_, tenemos que At_ad(At_{) = det(A}t_{) Id}

n, o equivalentemente

¡

ad(A)A¢t = det(A) Idn. De

ahi deducimos que ad(A)A= det(A) Idn. ¤

Corolario 9.43. Si A ∈ Mn, entonces A es invertible si y sólo si det(A) 6= 0. En ese caso A−1 _{= ad(A)/}_det(A). _¤ Corolario 9.44. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y T :V →V es una transformación lineal, entonces T es invertible si y sólo si det(T)6= 0. ¤