1 Funciones de Varias Variables y Diferenciabilidad

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Funciones de Varias Variables y Diferenciabilidad

Rm, donde Ω es un abierto enRn, yx0∈Ω. Decimos quef es diferenciable enx0si existe una matriz A,m×n, tal que

f(x0+h) =f(x0) +Ah+θ(h) donde la funci´onθ(h) satisface

l´ım h→0

||θ(h)|| ||h|| = 0

en caso de existir llamaremos aAla derivada def o matriz jacobiana enx0 y denotamos A=Df(x0) =f0(x0)

(b) Propiedad: Operaciones Sea un conjunto Ω ⊆ Rn abierto, una funci´on f, g : Ω → Rm y x0 ∈ Ω, α, β ∈ R. Supongamos quef yg son diferenciables enx0 entonces

• La funci´onαf+βg: Ω→Rm es diferenciable enx0y

D(αf+βg)(x0) =αDf(x0) +βDg(x0) • Sim= 1 la funci´onf·g: Ω→Rmes diferenciable enx0 y se tiene que

D(f ·g)(x0) =Df(x0)g(x0) +f(x0)Dg(x0)

(c) Definici´on:Derivadas Direccionales y ParcialesSea una funci´on diferenciablef : Ω⊆Rn→Rm, donde Ω es un abierto en_Rn_{, yx}

0∈Ω. Entonces para todobv∈R

n_{\{0} con||} b v||= 1, la funci´ont7→f(x0+tbv) es diferenciable en t= 0, y se cumple que ∂f ∂_bv(x0) =f 0_(x0; b v) := d dtf(x0+tv)|t=0b = l´ım_t→0 f(x0+t_bv)−f(x0) t =Df(x0)bv

se denomina derivada direccional en x0 en la direcci´on _bv, en caso particular que _bv sea una base can´onica vj = (0,0, ...,1, ...0) se llamar´a derivada parcial. As´ı, laj-´esima derivada parcial def se define como

∂f ∂xj(x0)

La interpretaci´on de esta derivada corresponde a derivar dicha variablej-´esima dejando el resto de las variables como constantes.

(d) Propiedad: Sea una funci´on f : Ω ⊆ Rn → Rm, donde Ω es un abierto en Rn, y x0 ∈ Ω. Supongamos que f = (f1, ..., fm) es diferenciable enx0. Tenemos que la componentei, j-´esima de la matriz jacobiana puede escribirse como

Df(x0)ij = ∂fi

∂xj(x0) i= 1, ..., m, j= 1, ..., n

(e) Propiedad:Condici´on suficiente de DiferenciabilidadSea una funci´onf : Ω⊆Rn→Rm, donde Ω es un abierto enRn, yx0∈Ω. Supongamos que las derivadas parciales

∂f

∂xj(x) ∀x∈Ω, j= 1, ..., n y que adem´as las funciones

∂f

∂xj : Ω→R

m_{, x7→} ∂f ∂xj(x) son continuas enx0. Entoncesf es diferenciable enx0

(f) Definici´on:Hiperplano tangenteEs el conjunto de puntos (x, xn+1) que satisfacen xn+1=f(x0) +∇f(x0)·(x−x0)

tal quexn+1=f(x) y∇f(x0) el gradiente de la funci´on. Otra notaci´on es ∇f(x0) −1 , x xn+1 − x0 f(x0) = 0 2

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Regla de la Cadena en varias variables

Rm,f : Ω→Rm,g: Λ→Rk. Supongamos quef es diferenciable enx0, quef(x)∈Λ ∀x∈Ω, y queges diferenciable en f(x0). Entonces la composici´on

g◦f : Ω⊆_Rn_→ Rk

es diferenciable enx0 y adem´as

D(g◦f)(x0) =Dg(f(x0))Df(x0)

(b) Propiedad Seanf yg como en la propiedad 1, tales quef(x) = (f1(x), ..., fm(x)). Entonces si

h(x) =g(f1(x), ..., fm(x)) se tiene que ∂h ∂xj (x0) = m X i=1 ∂g ∂yj (f(x0))∂fi ∂xj (x0)

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Regla de Schwartz y Polinomios de Taylor

Rdiferenciable sobre todo Ω. Seanx, y∈Ω

puntos tales que el segmento entrexey est´a contenido en Ω, esto es [x, y] ={x+t(y−x)|t∈[0,1]} ⊆Ω Existe entoncesξ∈]0,1[ tal que

f(y)−f(x) =∇f(x+ξ(y−x))·(y−x)

(b) Definici´on:Derivadas parciales sucesivasSea Ω⊆Rn abierto,f : Ω→Rmy que la derivada parcial

∂f ∂xj

(x)

existe∀x∈Ω. Consideremos la funci´on

∂f ∂xj

(x) : Ω→_Rm_{, , x7→} ∂f

∂xj

(x)

Se denota la derivada parcial respecto axi en un punto x0 tal como

∂ ∂xi _∂f ∂xj (x0) = ∂2_f ∂xi∂xj (x0) y sii=j, ∂2f ∂xi∂xj (x0) =∂ 2_f ∂x2 i (x0)

(c) Propiedad:Teorema de SchwartzSea Ω⊆_Rn _{abierto,f : Ω→}

Rmy que las segundas derivadas parciales

∂2f ∂xi∂xj (x0), ∂ 2_f ∂xj∂xi (x0)

existen∀x∈Ω y definen funciones continuas enx0∈Ω. Entonces

∂2_f ∂xi∂xj (x0) = ∂2_f ∂xj∂xi (x0)

(d) Definici´on:Polinomios de TaylorSea Ω⊆Rnabierto,f : Ω→R. Supongamos quef es de claseCmen Ω,m≥1.

Seanx0∈Ω,htal quex0+th∈Ω para todot∈[0,1]. Entonces se tiene la siguiente expresi´on

f(x0+h) = m−1 X k=0 Tk(h) +Rm(h) dondeT0(h) =f(x0) y parak≥1 Tk(h) = N X i1=1 N X i2=1 · · · N X ik=1 ∂k_f ∂xi1· · ·∂xik (x0)hi1· · ·hik y Rm(h) = 1 m! N X i1=1 N X i12=1 · · · N X im=1 ∂m_f ∂xi1· · ·∂xim (x0+ξh)hi1· · ·him

conξ=ξh∈]0,1[. En el casom= 2 la f´ormula anterior se reduce simplemente a

f(x0+h) =f(x0) + N X i=1 ∂f ∂xi (x0)hi+ 1 2 N X i=1 N X j=1 ∂2_f ∂xi∂xj (x0+ξh)hihj 2

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Matriz Hessiana

(a) Definici´on:Puntos Cr´ıticos, M´aximos y M´ınimos LocalesSea Ω⊆_Rn _{abierto,f : Ω→}

Rdiferenciable sobre

todo Ω. Decimos quex0 es punto cr´ıtico def si

∇f(x0) = 0

x0∈Ω ser´a un m´ınimo local, si existe unδ >0 tal que, tal queB(x0, δ)⊆Ω y

f(x0)≤f(x) ∀x∈B(x0, δ) , es decir f(x0) = m´ın

x∈B(x0,δ)

f(x), an´alogamente x0 ∈ Ω ser´a un m´aximo local, si existe un δ > 0 tal que, tal que

B(x0, δ)⊆Ω y

f(x0)≥f(x) ∀x∈B(x0, δ) , es decirf(x0) = m´ax

x∈B(x0,δ)

f(x)

(b) Propiedad: Sea Ω⊆Rn abierto, f : Ω →R diferenciable sobre todo Ω. Supongamos quex0 es m´ınimo o m´aximo local def. Entonces∇f(x0) = 0

(c) Definici´on:Matrices definidas positivasSea Auna matriz deN×N. Decimos queAes semidefinida positiva si

∀x ∈RNxtAx≥0

por otra parte, decimos queAes definida positiva si

∀x∈_RN_{\{0} x}t_{Ax >0}

Decimos que A es semidefinida negativa si−A es semidefinida positiva yA es definida negativa si −A es definida positiva. En el caso que la matriz sea sim´etrica, ser´a semidefinida positiva si todos sus valores propios son mayores o iguales que 0 y ser´a definida positiva si son mayores estrictos que 0. Por otra parte una matriz ser´a semidefinida negativa si todos sus valores propios son menores o iguales que 0 y ser´a definida positiva si son menores estrictos que 0.

(d) Propiedad:Optimalidad y segundo orden Sea Ω⊆Rn una funci´on claseC2(Ω), Ω abierto, yx0 ∈Ω un punto cr´ıtio def. Se tienen entonces la validez de las siguientes afirmaciones

• Six0es un m´ınimo local def entonces la matriz sim´etricaHf(x0) es semidefinida positiva. Six0es un m´aximo local, entoncesHf(x0) es semidefinida negativa.

• SiHf(x0) es definida positiva, entoncesx0es un m´ınimo local estricto def. Del mismo modo,x0es un m´aximo local estricto siHf(x0) es definida negativa.

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Teoremas de la Funci´

on Inversa e Impl´ıcita

(a) Teorema: Teorema de la Funci´on InversaSea f : Ω⊆_RN _→

RN, una funci´on de clase Ck(Ω) con Ω abierto y x0∈Ω. Supongamos queDf(x0)−1existe. Entonces existeU, un abierto contenido en Ω que contiene ax0, tal que

- V=f(U) es un abierto. - f :U → V es inyectiva.

- f−1_{:V → U es de claseC}k_(V).

- Df−1_{(y) =Df(f}−1_(y))−1 _{para todoy∈ V.}

(b) Definici´on:JacobianoConsideremoskfunciones, conk≤N, f1: Ω⊆RN →R f2: Ω⊆RN →R

.. . fk : Ω⊆RN →R

diferenciables enx0∈Ω, con Ω abierto. Eldeterminante jacobiano def1, f2, . . . fk enx0, con respecto a kvariables

y1, . . . , yk cualquiera, se define como

∂(f1, . . . , fk) ∂(y1, . . . , yk) (x0) := ∂f1 ∂y1 (x0) ∂f1 ∂y2 (x0) · · · ∂f1 ∂yk (x0) ∂f2 ∂y1 (x0) ∂f2 ∂y2 (x0) · · · ∂f2 ∂yk (x0) .. . ... . .. ... ∂fk ∂y1 (x0) ∂fk ∂y2 (x0) · · · ∂fk ∂yk (x0) .

(c) Teorema: Teorema de la Funci´on Impl´ıcitaSea f : Ω⊆_RN+m_→

Rm de clase Ck(Ω) con Ω abierto yx0∈Ω.

Seax= (˜x,y)˜ ∈_RN+m _{con ˜x= (x}

1, . . . , xN)∈RN e ˜y= (y1, . . . , ym)∈Rm. Supongamos quex0∈Ω es tal quef(x0) = 0 y

∂(f1, . . . , fm)

∂(y1, . . . , ym)

(x0)6= 0.

Entonces existen abiertos U ⊆ RN+m y U0 ⊆ RN con x0 = (˜x0,y˜0) ∈ U y ˜x0 ∈ U0, y existe una ´unica funci´on

φ:U0→Rmde claseCk(U0) tal que

{x∈ U |f(x) = 0}={(˜x, φ(˜x))|x˜∈ U0}.

En particular,f(˜x, φ(˜x)) = 0, ∀x˜∈ U0