Formas bilineales y cuadr´ aticas.

Tema 4

Formas bilineales y cuadr´ aticas.

4.1. Introducci´ on.

Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicaci´on lineal, matriz de una aplicaci´on lineal y diagonalizaci´on, estudiaremos en este tema dos familias de funciones que tienen notable inter´es por sus aplicaciones en ´algebra lineal y en geometr´ıa anal´ıtica. Son funciones valoradas en el espacio de escalares K y por ello se les llama formas. La primera, las formas bilineales, son funciones definidas sobre pares de vectores, es decir, son funciones de dos variables vectoriales. Salvando las distancias, las formas bilineales tienen analog´ıas con las aplicaciones lineales:

fijada una base se pueden definir mediante matrices. Si se cambia de base, cambia la matriz y la nueva se calcula a partir de la matriz de cambio de base. Las matrices de la misma forma bilineal tienen el mismo rango, etc..

La otra familia, la de las formas cuadr´aticas, est´a formada por funciones de una variable y muy emparentada con una subfamilia de las bilineales. Tambi´en se definen mediante una matriz para cada base del espacio y todas las matrices de la misma forma cuadr´atica tienen algunos invariantes que identifican a la forma cuadr´atica.

Como ´unico requisito previo para el estudio de este tema pondremos el que se

conozcan bien los conceptos estudiados en los temas anteriores.

4.2. Formas Bilineales.

Consideremos un espacio vectorial V sobre el cuerpo K de los n´umeros reales o de los n´umeros complejos. Denotaremos V × V al conjunto de pares ordenados de vectores de V .

Una aplicaci´on f que a cada par de vectores (u, v) ∈ V × V asocia un escalar f (u, v) ∈ K se dice que es una forma forma bilineal si es lineal en cada una de sus dos variables; es decir si cumple:

f (αu 1 + βu ₂ , v) = αf (u ₁ , v) + βf (u ₂ , v) y f (u, γv ₁ + µv ₂ ) = γf (u, v ₁ ) + µf (u, v ₂ ) para todo u, u ₁ , u ₂ , v, v ₁ , v ₂ ∈ V y todo α, β, γ, µ ∈ K.

Alg´un ejemplo. La siguiente es forma bilineal en R ³ (compruebese como ejer- cicio).

f (x, y) = 2x 1 y 1 − x 1 y 2 + 4x 1 y 3 + 3x 2 y 1 − 5x 2 y 3 + 7x 3 y 1 − 5x 3 y 2 − 4x 3 y 3 , x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ), y = (y ₁ , y ₂ , y ₃ ).

Es f´acil ver que toda forma bilineal f verifica que f (0, y) = f (x, 0) = 0 y f (−x, y) = f (x, −y) = −f (x, y). Adem´as, la suma de dos formas bilineales en V y el producto de una forma bilineal en V por un escalares son tambi´en formas bilineales en V. El conjunto de todas las formas bilineales de V es un espacio vectorial sobre K.

Hay dos tipos distinguidos de formas bilineales. Una forma bilineal f se dice que es bilineal sim´etrica si f (u, v) = f (v, u), ∀u, v ∈ V.

Una forma g se dice bilineal antisim´etrica si g(u, v) = −g(v, u), ∀u, v ∈ V.

No toda forma bilineal es sim´etrica o antisim´etrica, por ejemplo la siguiente es una forma bilineal en R ² y no es sim´etrica ni antisim´etrica:

f (x, y) = 3x ₁ y ₁ + x ₁ y ₂ − 2x ₂ y ₂ , x = (x ₁ , x ₂ ), y = (y ₁ , y ₂ ).

Sin embargo, como se propone en las cuestiones y problemas, toda forma bilineal

es suma de una sim´etrica y una antisim´etrica.

Fijada una base B _V = {v ₁ , v ₂ , . . . , v _n }, toda forma bilineal f tiene asociada una

´unica matriz B ∈ M _n , que es la definida por:

B =



 

 



f (v ₁ , v ₁ ) f (v ₁ , v ₂ ) · · · f (v ₁ , v _n ) f (v ₂ , v ₁ ) f (v ₂ , v ₂ ) · · · f (v ₂ , v _n )

· · · · · · · · · · · · f (v _n , v ₁ ) f (v _n , v ₂ ) · · · f (v _n , v _n )



 

 

 .

Obs´ervese la analog´ıa entre esta matriz y la de un producto escalar, que vimos en el tema dos. De hecho, todo producto escalar es una forma bilineal sim´etrica.

La matriz define la forma bilineal en el siguiente sentido:

Si X = (x ₁ , x ₂ , · · · , x _n ), Y = (y ₁ , y ₂ , · · · , y _n ) son las coordenadas de dos vecto- res x, y ∈ V entonces su imagen se calcula a trav´es de la matriz por la expresi´on:

f (x, y) = XBY ^t . (4.1)

Si ahora B _V ⁰ es otra base de V y P ∈ M _n la matriz de cambio de base de B _V ⁰ a B _V entonces, denotando X ⁰ = (x ⁰ ₁ , x ⁰ ₂ , · · · , x ⁰ _n ), Y ⁰ = (y ₁ ⁰ , y ₂ ⁰ , · · · , y ⁰ _n ) las coordenadas, respectivamente de los vectores x, y ∈ V se tiene, como es sabido:

X = X ⁰ P, Y = Y ⁰ P, Y ^t = P ^t Y ^0t

As´ı, la expresi´on de la imagen en funci´on de las coordenadas X ⁰ , Y ⁰ ser´a, sustitu- yendo en (4.1):

f (x, y) = X ⁰ P BP ^t Y ^0t

Se obtiene as´ı que la matriz de f referida a la base B _V ⁰ es B ⁰ = P BP ^t .

A dos matrices de la misma forma bilineal en distintas bases se les llama ma-

trices congruentes, y se verifica que dos matrices B, B ⁰ ∈ M _n son congruentes si

y s´olo si existe una matriz regular P ∈ M n , tal que B ⁰ = P BP ^t . Adem´as P es

la matriz de cambio de base entre la base nueva y la antigua. Es sencillo ver que

dos matrices congruentes son equivalentes, y por tanto tienen el mismo rango. Ese

rango es, por definici´on, el de la forma bilineal. Si ese rango no es m´aximo (es

decir, si es menor que la dimensi´on del espacio vectorial) entonces la forma bilineal

se dice degenerada. Es evidente que f es degenerada si y s´olo si el determinante de la matriz de f es nulo. Las formas bilineales no degeneradas se dicen ordinarias.

Ejemplo 4.1. Consideremos la forma bilineal f definida en R ³ × R ³ por:

f (x, y) = 2x 1 y 1 − x 1 y 2 + 4x 1 y 3 + 3x 2 y 1 − 5x 2 y 3 + 7x 3 y 1 − 5x 3 y 2 − 4x 3 y 3 ,

x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ), y = (y ₁ , y ₂ , y ₃ ). Escribe su matriz A respecto de la base can´onica.

Tambi´en su matriz A ⁰ respecto de la base B = {(1, 0, −1), (0, 1, −2), (0, 0, −1)}.

Si v = (2, −1, −2), v = (−1, 0, 1), calcula f (u, v) empleando sucesivamente A y A ⁰ .

Soluci´on. Si denotamos B _c = {e ₁ , e ₂ , e ₃ } la base can´onica, para la matriz hay que calcular f (e ₁ , e ₁ ), f (e ₁ , e ₂ ), · · · , f (e ₃ , e ₃ ). Con ellos la matriz es:

A =



 

2 −1 4

3 0 −5

7 −5 −4



  .

Nota: Respecto de la base can´onica, a partir de la expresi´on de la forma bilineal se puede escribir la matriz directamente, (sin c´alculos) porque atiende a la siguiente

“regla nemot´ecnica”: enumerando las filas con las componentes de x y las columnas con las de y, los elementos de la matriz son los coeficientes del producto de las componentes de x e y. As´ı a ₁₁ es el coeficiente de x ₁ y ₁ , a ₁₂ el coeficiente de x ₁ y ₂ , etc... pero ¡ojo! s´olo es as´ı para la matriz respecto de la base can´onica.

Para calcular la matriz respecto de la base B hay dos v´ıas: calculando direc- tamente las im´agenes de los pares de vectores a partir de la expresi´on de f o a trav´es de la matriz P de cambio de base de B a B _c . Optamos por esta segunda v´ıa.

Real´ıcese como ejercicio por la primera y compru´ebese que se obtiene la misma matriz. La matriz de cambio de base de B a B _c es

P =



 

1 0 −1 0 1 −2 0 0 −1



  .

As´ı la matriz A ⁰ de f respecto de la base B es A ⁰ = P AP ^t y vale:

A ⁰ =



 

1 0 −1 0 1 −2 0 0 −1



 



 

2 −1 4

3 0 −5

7 −5 −4



 



 

1 0 0

0 1 0

−1 −2 −1



  =



 

−13 −20 −8

−14 −4 −3

−11 −3 −4



  .

Para calcular f (u, v), en cada caso hay que tener las coordenadas de u y v respecto de las correspondientes bases B c y B, y emplear las respectivas matrices A y A ⁰ . Respecto de B _c , coordenadas y vector coinciden. Por tanto:

f (u, v) = (2, −1, −2)



 

2 −1 4

3 0 −5

7 −5 −4



 



 

−1 0 1



  = 34

Respecto de B, calculando las coordenadas de u y v en la base B obtenemos:

u = (2, −1, 2) _B ; v = (−1, 0, 0) _B . Por tanto

f (u, v) = (2, −1, 2)



 

−13 −20 −8

−14 −4 −3

−11 −3 −4



 



 

−1 0 0



  = 34.

1

Recordemos que una matriz cuadrada se dice sim´etrica si coincide con su tras- puesta y se dice antisim´etrica si coincide con la opuesta de su traspuesta. Hemos de notar que si M ∈ M _n es matriz sim´etrica (o antisim´etrica), cualquier matriz M ⁰ congruente con M es tambi´en matriz sim´etrica (o antisim´etrica). En efecto (lo ha- cemos para sim´etrica, h´agase como ejercicio para antisim´etrica): Si M ⁰ = P MP ^t , con P ∈ M _n matriz regular de congruencia, entonces:

M ^0t = (P MP ^t ) ^t = P ^tt M ^t P ^t = P MP ^t = M ⁰ .

A partir de ello se concluye que, si una forma bilineal tienen matriz sim´etrica

respecto de una base, la tiene respecto de cualquier base (y lo mismo sucede para

antisim´etrica). Adem´as se verifica que una forma bilineal es sim´etrica si y s´olo si su matriz es sim´etrica, (lo mismo para antisim´etrica). En lo que sigue trataremos s´olo con formas bilineales sim´etricas.

Formas bilineales sim´ etricas. Conjugaci´ on. Dada una forma bilineal sim´etri- ca f sobre un espacio vectorial V, dos vectores u, v ∈ V se dicen vectores conju- gados si f (u, v) = 0.

Dos subespacios S, T ⊂ V se dicen subespacios conjugados si f (x, y) = 0 ∀x ∈ S, ∀y ∈ T . Para ello es suficiente que sean conjugados los vectores de una base de uno de los subespacios con los de otra base del otro.

Una base B _V se dice base de vectores conjugados por f si cada vector de la base es conjugado con los dem´as. Es evidente que, respecto de una base de vectores conjugados, la matriz de f es diagonal, y rec´ıprocamente, si la matriz de f es diagonal, entonces la base es de vectores conjugados.

Fijado un vector x, el conjunto de los vectores conjugados con x forman un subespacio vectorial de V que denotaremos x ⁰ . En concreto:

x ⁰ = {y ∈ V : f (x, y) = 0}.

Se llama n´ucleo de f , denotado N(f ) al conjunto de los vectores que son conju- gados con todo vector de V, es decir:

N (f ) = {x ∈ V : f (x, y) = 0, ∀y ∈ V }.

Si A ∈ M _n es la matriz de f (respecto de cualquier base) y si X = (x ₁ , x ₂ , · · · , x _n )

son las coordenadas de un vector de N (f ) entonces se cumplir´a que XAY ^t = 0

para todo Y = (y ₁ , y ₂ , · · · , y _n ) ∈ K ⁿ . Ello s´olo es posible si y s´olo si XA = 0. Esto

nos da una condici´on para obtener los vectores de N (f ). Ser´an aquellos cuyas

coordenadas X verifiquen XA = 0, es decir, las soluciones del sistema de ecuacio-

nes lineales homog´eneo cuya matriz de coeficientes es A. Por lo que sabemos de

esos sistemas, s´olo hay soluciones no nulas si |A| = 0. Se concluye entonces que

una forma bilineal sim´etrica tiene n´ucleo distinto del {0} si y s´olo si es degenerada.

Ejemplo 4.2. Consideremos en R ³ la forma bilineal f (x, y) = x ₁ y ₁ + x ₁ y ₂ + 2x ₁ y ₃ + x ₂ y ₁ + x ₂ y ₃ + 2x ₃ y ₁ + x ₃ y ₂ + 3x ₃ y ₃ , x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ), y = (y ₁ , y ₂ , y ₃ ). Escribe su matriz respecto de la base can´onica. Encuentra el subespacio conjugado de u = (1, −2, 0) y de U =< (1, 0, 3), (0, 1, −2) >. Encuentra el rango y el n´ucleo de f y una base de R ³ formada por vectores conjugados para f .

Soluci´on. La matriz de f en la base can´onica es:

A =



 

1 1 2 1 0 1 2 1 3



  .

Ahora el conjugado de u es:

u ⁰ = {X = (x, y, z) ∈ R ³ : (1, −2, 0)AX ^t = 0} = {(x, y, z) ∈ R ³ : − x + y = 0}.

El subespacio conjugado de U estar´a formado por los vectores que sean conjugados simult´aneamente de ambos vectores de la base de U. As´ı, denotando U ⁰ se tendr´a:

U ⁰ = {X = (x, y, z) ∈ R ³ : (1, 0, 3)AX ^t = 0, (0, 1, −2)AX ^t = 0} =

= {(x, y, z) ∈ R ³ : 7x + 4y + 11z = 0, 3x + 2y + 5z = 0}.

El rango de f es el rango de A que es 2. Para el n´ucleo:

N(f ) = {X = (x, y, z) ∈ R ³ : XA = 0} =

= {(x, y, z) ∈ R ³ : x + y + 2z = 0, x + z = 0, 2x + y + 3z = 0} =< (1, 1, −1) > .

Para buscar una base de vectores conjugados, debemos buscar un conjunto de tres

vectores B ⁰ = {v ₁ , v ₂ , v ₃ } que sean linealmente independientes y que cada uno sea

conjugado de los dem´as. Hay infinitas posibilidades, pero para simplificar los bus-

caremos de la forma v ₁ = (1, 0, 0), v ₂ = (α, β, 0), v ₃ = (γ, δ, µ), y determinaremos

los par´ametros para que f (v ₁ , v ₂ ) = 0, f (v ₁ , v ₃ ) = 0, f (v ₂ , v ₃ ) = 0. Empleando

la matriz A, f (v ₁ , v ₂ ) = 0 equivale a la ecuaci´on α + β = 0. Un vector posible es

v ₂ = (1, −1, 0). Las otras dos igualdades f (v ₁ , v ₃ ) = 0, f (v ₂ , v ₃ ) = 0 proporcionan

las ecuaciones:

γ + δ + 2µ = 0 δ + µ = 0

)

Dos soluciones posibles son: v ₂ = (1, −1, 0) y v ₃ = (−1, −1, 1).

Ejercicio: Calcula la matriz de f respecto de la base de vectores conjugados obtenida y comprueba que es

A ⁰ =



 

1 0 0

0 −1 0

0 0 0



  .

1

En el ejercicio anterior se ha proporcionado un modo, si quiera sea como sencillo ejemplo, de encontrar una matriz diagonal congruente con una matriz sim´etrica dada: consiste en encontrar las coordenadas de vectores que formen una base de conjugados para la matriz sim´etrica (que es como decir para la forma bilineal sim´etrica dada). La matriz asociada a la forma bilineal respecto de los vectores conjugados es diagonal y la matriz de congruencia es la matriz de cambio de base de la de conjugados a la base dada. Obtener la matriz diagonal y la matriz de cambio de base es lo que se llama diagonalizar la forma bilineal sim´etrica o diagonalizar por congruencias la matriz sim´etrica dada.

Hay otro m´etodo para diagonalizar por congruencias una matriz A ∈ M _n

cuadrada sim´etrica. Consiste en emplear transformaciones elementales. El m´etodo

es totalmente an´alogo al m´etodo de Gauss para obtener la inversa de una matriz,

que es bien conocido, con la salvedad de que cada transformaci´on que se haga

por filas en la matriz, hay que hacerla tambi´en por columnas y no es necesario

obtener unos en la diagonal principal (s´olo ceros fuera). Las transformaciones que

se hagan por filas (las de por columnas no), han de hacerse tambi´en en la matriz

I _n , identidad de orden n, que al iniciar el proceso se “adosa” a A. Al final se obtiene

la matriz diagonal donde inicialmente estaba A y la matriz P donde inicialmente

estaba I _n . Veamos un ejemplo.

Ejemplo 4.3. Diagonalizar por transformaciones elementales la matriz sim´etrica dada en el ejercicio anterior.

Soluci´on. En lo que sigue indicaremos las transformaciones empleadas:



 

1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 3



 

^Ã



 

1 0 0 1 1 2

−1 1 0 0 −1 −1

0 0 1 2 1 3



 

^Ã



 

1 0 0 1 0 2

−1 1 0 0 −1 −1

0 0 1 2 1 3



 

f3−2f1

Ã



 

1 0 0 1 0 2

−1 1 0 0 −1 −1

−2 0 1 0 −1 −1



 

^Ã



 

1 0 0 1 0 0

−1 1 0 0 −1 −1

−2 0 1 0 −1 −1



 

^Ã



 

1 0 0 1 0 0

−1 1 0 0 −1 −1

−1 −1 1 0 0 0



 

^Ã



 

1 0 0 1 0 0

−1 1 0 0 −1 0

−1 −1 1 0 0 0



 

As´ı se tiene que:

P =



 

1 0 0

−1 1 0

−1 −1 1



  , D =



 

1 0 0

0 −1 0

0 0 0



 

y se tiene que P AP ^t = D.

Una observaci´on: Una misma matriz A ∈ M _n sim´etrica puede tener m´as de una forma diagonal, y la forma bilineal asociada, varias bases de vectores conjugados, pero todas las formas diagonales de A tienen la misma cantidad de elementos no nulos en la diagonal, y en el caso en que los elementos de A sean n´umeros reales (matriz real sim´etrica), dos formas diagonales de A tienen la misma cantidad de t´erminos positivos en la diagonal.

4.3. Formas Cuadr´ aticas.

Consideremos una forma bilineal sim´etrica f sobre un espacio vectorial V . Se

llama forma cuadr´atica asociada a f a la aplicaci´on w : V → K definida por:

w(x) = f (x, x). La aplicaci´on f es conocida como forma polar de w. A la matriz asociada a f en una base B se le llama tambi´en matriz asociada a w en B.

Se cumple que

w(αx) = α ² w(x), ∀x ∈ V, ∀α ∈ K. (4.2) Adem´as, conocida la forma cuadr´atica, se puede deducir la forma polar porque se cumple entre ambas la relaci´on:

2f (x, y) = w(x + y) − w(x) − w(y), ∀x, y ∈ V. (4.3) De hecho se puede definir forma cuadr´atica sobre un espacio vectorial V como:

toda forma sobre V que cumpla (4.2) y al definir f con la expresi´on (4.3) se obtiene una forma bilineal sim´etrica.

Ejemplo 4.4. En el espacio vectorial R ³ se define la forma w(x, y, z) = 2x ² + y ² − 2xz − 3z ² .

Comprueba que es una forma cuadr´atica. Encuentra su matriz respecto de la base can´onica.

Soluci´on. Se tiene que w(αx, αy, αz) = 2(αx) ² + (αy) ² − 2αxαz − 3(αz) ² =

= α ² (2x ² + y ² − 2xz − 3z ² ) = α ² w(x, y, z). Adem´as si definimos:

f (x, y) = 1

2 (w(x + y) − w(x) − w(y)), con x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ), y = (y ₁ , y ₂ , y ₃ ), tras realizar los c´alculos se obtiene: f (x, y) = 2x ₁ y ₁ + x ₂ y ₂ − x ₁ y ₃ − y ₁ x ₃ − 3x ₃ y ₃ . En forma matricial es

f (x, y) = (x ₁ , x ₂ , x ₃ )



 

2 0 −1

0 1 0

−1 0 −3



 



  y ₁ y ₂ y ₃



  .

Claramente es una forma bilineal sim´etrica, por lo que w es forma cuadr´atica, y

respecto de la base can´onica esa es su matriz asociada. 1

Dos vectores x, y ∈ V se dicen conjugados para una forma cuadr´atica w si y s´olo si lo son para su forma polar f . Igual se define la conjugaci´on de subespacios o de bases: son conjugados para para w si y s´olo si lo son para f . Tambi´en se dice que w es forma cuadr´atica degenerada o forma cuadr´atica ordinaria si lo es f . El rango de w se define como el rango de la matriz asociada a w (en cualquier base).

Diagonalizar una forma cuadr´atica es diagonalizar su matriz asociada respecto de una base cualquiera (encontrar la matriz diagonal y una base de vectores conju- gados). Dos matrices diagonales asociadas a la misma forma cuadr´atica pueden tener elementos distintos en la diagonal, pero las dos tienen siempre la misma cantidad de elementos no nulos, y si el cuerpo es R entonces ambas matrices tie- nen la misma cantidad de t´erminos estrictamente positivos (y por tanto la misma cantidad de t´erminos negativos. En lo que sigue nos ocuparemos de estas formas cuadr´aticas, las formas sobre el cuerpo de los n´umeros reales.

Formas Cuadr´ aticas Reales. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n sobre R. La forma cuadr´atica q : V → R se llama forma cuadr´atica real.

Se llama signatura de q a un par de n´umeros enteros no negativos (r, s) que denotan respectivamente la cantidad de t´erminos positivos y la cantidad de t´ermi- nos negativos que aparecen en cualquier matriz diagonal asociada a q. Puesto que para una matriz diagonal el rango coincide con el n´umero de elementos no nulos, de la definici´on se deduce que rang(q) = r + s.

La forma cuadr´atica real q cuyo rango sea k y su signatura (r, s) se dice que es:

definida positiva si q(x) > 0, ∀x 6= 0. Equivalentemente, r = n.

definida negativa si q(x) < 0, ∀x 6= 0. Equivalentemente, s = n.

semidefinida positiva si q(x) ≥ 0, ∀x ∈ V, y q(y) = 0 para alg´un y 6= 0.

Equivalentemente, k = r < n.

semidefinida negativa si q(x) ≤ 0, ∀x ∈ V, y q(y) = 0 para alg´un y 6= 0.

Equivalentemente, k = s < n.

indefinida en cualquier otro caso; es decir, existen x, y ∈ V tales que q(x) <

0, q(y) > 0 o bien q(z) = 0, ∀z ∈ V.

En la pr´actica, para clasificar una forma cuadr´atica real q se puede proceder de alguna de las siguiente formas:

- Obtener una matriz diagonal asociada a q y sobre ella obtener el rango y la signatura.

- Obtener los autovalores de cualquier matriz asociada a q. Es notable recordar que toda matriz real sim´etrica tiene todos sus autovalores en R y es diagonaliza- ble. Adem´as es ortogonalmente diagonalizable. El signo de los autovalores definen tambi´en el rango y la signatura de q. Adem´as la diagonalizaci´on ortogonal, que estudiamos con detalle en el tema anterior, proporciona otro m´etodo para diago- nalizar la forma cuadr´atica. Al aplicarlo, ha de tenerse presente que para seguir creando y empleando la matriz de la forma cuadr´atica por filas, los sistemas de ecuaciones que proporcionan los subespacios propios han de crearse por filas del modo X(A−λI) = 0, siendo X = (x 1 , x 2 , · · · , x n ) y A ∈ M n la matriz de la forma cuadr´atica. Los autovectores asociados al mismo autovalor se tomar´an ortogonales (respecto al producto escalar usual de R ⁿ ). Se normalizar´an y formar´an (por fi- las) la matriz P . Esta matriz ser´a ortogonal (P ⁻¹ = P ^t ), y verificar´a P AP ^t = D, siendo D la matriz diagonal formada por los autovalores de la matriz A. Esta matriz D ser´a matriz de la forma cuadr´atica.

- Estudiando el signo de los menores diagonales de cualquier matriz asociada a q (no necesariamente matriz diagonal). El menor diagonal de orden r de una matriz A ∈ M _n es el menor de A cuya diagonal principal consta de los r primeros elementos de la diagonal principal de A. Si ∆ _i denota el menor diagonal de orden i de A, entonces:

Si ∆ _i > 0 para todo i = 1, 2, · · · , n se tiene que q es definida positiva.

Si ∆ _i > 0 para i par y ∆ _j < 0 para j impar, se tiene que q es definida negativa.

Si alg´un menor de orden par es menor que cero, entonces q es indefinida.

En cualquier otro caso, este m´etodo no decide la clasificaci´on salvo que V sea

de dimensi´on 3 (equivalentemente, cualquier matriz asociada a q es cuadrada de orden 3). En este caso, se tiene un paso m´as: Si ∆ ₁ > 0, ∆ ₂ > 0, ∆ ₃ = 0, la forma es semidefinida positiva. Si ∆ ₁ < 0, ∆ ₂ > 0, ∆ ₃ = 0, la forma es semidefinida negativa.

Ejemplo 4.5. Clasifica la forma cuadr´atica del ejemplo anterior, w(x, y, z) = 2x ² + y ² − 2xz − 3z ² .

Soluci´on. Puesto que obtuvimos la matriz respecto de la base can´onica, si estudia- mos sus menores diagonales encontramos que ∆ 1 = 2, ∆ 2 = 2, ∆ 3 = −7. As´ı que el m´etodo de los menores diagonales no decide. Si calculamos los autovalores, ob- tenemos: 1, −2 − √

11, −2 + √

11. Por tanto el rango es tres y la signatura es (2, 1). As´ı la forma es indefinida y no degenerada. 1

4.4. Producto escalar.

Si se observa la definici´on de producto escalar sobre un espacio vectorial V

dada en el tema 2, es f´acil comprobar que todo producto escalar es una forma

bilineal sim´etrica cuya forma cuadr´atica asociada es real, definida positiva. La

matriz m´etrica de un producto escalar es pues una matriz real sim´etrica cuyos

menores diagonales son todos estrictamente positivos. El rec´ıproco es tambi´en

cierto: toda forma bilineal sim´etrica cuya matriz asociada en cualquier base tenga

todos los menores diagonales estrictamente positivos, es un producto escalar sobre

V , es decir, toda forma bilineal sim´etrica cuya forma cuadr´atica asociada sea real,

definida positiva es un producto escalar en V . De este modo, todo lo dicho para

estas formas, es v´alido para un producto escalar. La definici´on de ortogonalidad

es exactamente la de conjugaci´on para estas formas. As´ı, se tiene que los m´etodos

para obtener una base de vectores conjugados son aplicables para obtener una base

ortogonal y dividiendo por la norma de cada vector obtenido se tiene una base

ortonormal. Tambi´en para el subespacio ortogonal a un vector dado o comprobar si

dos subespacios son ortogonales. Es f´acil probar que, dado un conjunto de vectores P , todos ellos no nulos, si cada uno es ortogonal con los dem´as entonces P es un sistema libre. Se debe recordar el concepto de ´angulo, norma y distancia dados a partir de un producto escalar.

Ejemplo 4.6. En R ³ se considera la forma bilineal definida por

x/y = 2x ₁ y ₁ −x ₁ y ₂ −x ₁ y ₃ −x ₂ y ₁ +x ₂ y ₂ −x ₃ y ₁ +2x ₃ y ₃ , x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ), y = (y ₁ , y ₂ , y ₃ ).

Comprueba que es un producto escalar y encuentra una base ortonormal. Para el subespacio S =< (−1, 2, −1), (0, 3, 1) >, obtener el subespacio de los vectores ortogonales a S. Obtener una base ortogonal de S. Obtener el ´angulo y la distancia entre los vectores dados para generar S.

Soluci´on. Respecto de la base can´onica, la matriz de “/” es:

A =



 

2 −1 −1

−1 1 0

−1 0 2



  .

Que es real y sim´etrica. Los menores diagonales de A valen: 2, 1, 1 Por tanto la forma cuadr´atica asociada es definida positiva. En consecuencia es un producto escalar. Diagonalizando la matriz por transformaciones elementales se obtienen las matrices P y D siguientes:

P =



 

0 1 0 1 1 0 1 1 1



  , D =



 

1 0 0 0 1 0 0 0 1



  .

As´ı, una base ortonormal es B _o = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. N´otese que con este

m´etodo la base que se obtiene habitualmente es una base ortogonal y para la base

ortonormal hay que dividir por la norma de los vectores, que es la ra´ız cuadrada

de los elementos diagonales de la matriz diagonal. En este caso la matriz diagonal

es la identidad, lo que equivale a que los vectores de la base tienen ya norma uno,

es decir la base es ya ortonormal.

Un vector es ortogonal a S si y s´olo si es ortogonal a cada uno de los vectores de la base dada de S. Si S ^⊥ denota el subespacio ortogonal de S, entonces:

S ^⊥ = {(x, y, z) ∈ V : (x, y, z)/(−1, 2, −1) = 0, (x, y, z)/(0, 3, 1) = 0}.

As´ı se tiene que cumplir simultaneamente:

(x, y, z)



 

2 −1 −1

−1 1 0

−1 0 2



 



 

−1 2

−1



  = 0 y (x, y, z)



 

2 −1 −1

−1 1 0

−1 0 2



 



  0 3 1



  = 0.

Se obtiene: S ^⊥ = {(x, y, z) ∈ V : − 3x + 3y − z = 0, −4x + 3y + 2z = 0}.

Para obtener una base ortogonal de S, debemos encontrar dos vectores de S que sean conjugados para “/”. Denotaremos e ₁ , e ₂ a esos vectores Fijamos uno de ellos: e 1 = (−1, 2, −1) y e 2 = (0, 3, 1)−α(−1, 2, −1). (De ese modo aseguramos que ambos vectores est´an en S). Determinando α para que e ₁ y e ₂ sean ortogonales, ser´an tambi´en linealmente independientes y por tanto base. Ahora

e ₁ /e ₂ = 0 ⇔ (−1, 2, −1)/((0, 3, 1) − α(−1, 2, −1)) = 0 ⇔

⇔ α = (−1, 2, −1)/(0, 3, 1)

(−1, 2, −1)/(−1, 2, −1) = 4 5 .

As´ı una base ortogonal de S es B = {−1, 2, −1), (4/5, 7/5, 9/5)}.

La distancia entre los vectores u = (−1, 2, −1) y v = (0, 3, 1) es |u − v| = √ 5 y el ´angulo, arcos

µ u/v

|u||v|

¶

= arcos

µ 8

√ 10 √ 11

¶

= 40,29 ^o

1

4.5. Ejercicios y Cuestiones

1. Muestra que toda matriz cuadrada real A ∈ M _n se puede poner como suma

de una matriz sim´etrica A 1 y una matriz antisim´etrica A 2 , A 1 , A 2 ∈ M n ,

y la descomposici´on es ´unica. Deduce de ello que toda forma bilineal sobre

R ⁿ se puede poner como suma de una forma bilineal sim´etrica y una forma

bilineal antisim´etrica y la descomposici´on es ´unica. (Sugerencia: Define A ₁ =

1/2(A + A ^t ) y A ₂ = 1/2(A − A ^t ) y comprueba que verifican lo que se pide)

2. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n sobre K y f, g aplicaciones lineales de V en K, cuyas matrices respecto de una base B denotamos por M, N ∈ M _n,1 respectivamente. Comprueba que la aplicaci´on h : V × V → K definida por: h(x, y) = f (x)g(y) es una forma bilineal. Encuentra la matriz de h a partir de las matrices de f y g. Indica alguna condici´on sobre f y g para que h sea bilineal sim´etrica.

3. Considera la forma cuadr´atica q : R ³ → R definida por q(x, y, z) = x ² − y ² − 3z ² + 2xz + 4yz. Encontrar la matriz respecto de la base can´onica, encontrar su n´ucleo y el conjugado de (1, 2, 0). Diagonalizarla y clasificarla.

4. Sea ω : R ³ → R la forma cuadr´atica que en una cierta base B = {e ₁ , e ₂ , e ₃ } tiene por matriz asociada 

 

0 1 2

1 0 −1

2 −1 1



 

Sea B ⁰ = {u ₁ , u ₂ , u ₃ } otra base relacionada con la anterior por: e ₁ = −u ₁ − u 2 + u 3 , e 2 = 2u 1 + 2u 2 − u 3 , e 3 = 2u 1 + u 2 − u 3 . Hallar la matriz A ⁰ de ω en la base B ⁰ . Obtener otra base en la cual la matriz de ω sea diagonal. Con ella obtener rango, signatura y clasificaci´on.

5. Sea ω : R ³ → R la forma cuadr´atica real que tiene por ecuaci´on (en la base can´onica):

ω(x, y, z) = αx ² + (α + β)y ² + (1 + β)z ² + 2αxy + 2βyz, α, β ∈ R.

Clasificar ω atendiendo al rango y la signatura, en funci´on de α y β.

´Indice general

4. Formas bilineales y cuadr´ aticas. 1

4.1. Introducci´on. . . . 1

4.2. Formas Bilineales. . . . 2

4.3. Formas Cuadr´aticas. . . . 9

4.4. Producto escalar. . . . 13

4.5. Ejercicios y Cuestiones . . . . 15