Representaci´ on de n´ umeros
en los sistemas binario y hexadecimal
Agradezco a Linda Estrella L´opez Rodr´ıguez por encontrar y corregir varios errores ma- tem´aticos que yo hab´ıa cometido en los ejemplos de este tema.
1. Sistemas posicionales. Cuando un n´umero se escribe en un sistema posicional, el
“peso” de cada d´ıgito depende de su posici´on. Por ejemplo, en el sistema decimal 371.28 = 3 · 102+ 7 · 101+ 1 + 2 · 10−1+ 8 · 10−2.
En el sistema binario los pesos de los d´ıgitos son potencias de 2.
Conversi´ on de binario a decimal
2. Ejemplo.
10112 = 8 + 2 + 1 = 11;
1110100012 = 256 + 128 + 64 + 16 + 1 = 465;
101.11012 = 4 + 1 + 1 2 +1
4 + 1
16 = 513
16 = 5.8125.
3. Conversi´on de binario a decimal en el caso de n´umeros grandes. Se usa la misma idea que en la divisi´on sint´etica. Por ejemplo, transformemos en binario el n´umero
1110100011.010112. Primero consideramos la parte entera:
1 1 1 0 1 0 0 0 1 1
2 1 3 7 14 29 58 116 232 465 931
Luego la parte fraccionaria 0.010112 (los d´ıgitos se escriben en el orden inverso):
1 1 0 1 0 0
0.5 1 1.5 0.75 1.375 0.6875 0.34375
Fracciones binarias peri´ odicas
5. Ejemplo. Escribir como una fracci´on el n´umero binario x = 10.1(110)2. Soluci´on. Esta notaci´on significa que los d´ıgitos 101 forman un per´ıodo:
x = 10.1110110110 . . .
2. Notemos que
x = 2 + 1 2+ 6
24 + 6 27 + 6
210 + . . . .
Hagamos algunas transformaciones y apliquemos la f´ormula de la suma de una serie geom´etrica:
x = 2 + 1 2+ 3
23
1 + 1
23 + 1 26 + . . .
= 2 + 1 2+ 3
8· 1 1 −18
= 2 + 1 2+ 3
8· 8
7 = 2 + 1 2 +3
7 = 213 14.
Conversi´ on del sistema decimal al binario
6. Ejemplo. Convertir el n´umero 41.1875 en binario.
Soluci´on. Para convertir en binario la parte entera, la dividimos sucesivamente entre 2 y apuntamos los restos. Para convertir la parte fraccionaria, la multiplicamos sucesivamente por 2 y sacamos las partes enteras.
41 1 20 0 10 0 5 1 2 0 1 1
.1875 0 .375 0 .75 1 .5 1 .0
Conversi´ on de un n´ umero racional en una fracci´ on binaria peri´ odica
7. Ejemplo. Convertir el n´umero 3
28 en una fracci´on binaria peri´odica.
Soluci´on.
3/28 0 3/14 0 3/7 0 6/7 1 5/7 1 3/7 0 6/7 . . . . Respuesta:
3
28 = 0.00(011)2.
Para comprobaci´on, vamos a convertir la fracci´on binaria peri´odica obtenida en un n´umero racional.
0.00(011)2 = 0.00 011
|{z}
011
|{z}
011
|{z}
. . .2
= 1 24 + 1
25
+ 1
27 + 1 28
+
1 210 + 1
211
+ . . .
= 3 25 + 3
28 + 3 211 + . . .
= 3 25
1 + 1
23 + 1 26 + . . .
= 3 25 · 1
1 −213
= 3 25 · 23
7 = 3 28.
8. Ejercicio. Convierta el n´umero 7
5 en una fracci´on binaria peri´odica y haga la compro- baci´on.
9. Ejemplo. Convertir el n´umero 0.3 en binario.
Soluci´on.
.3 0 .6 1 .2 0 .4 0 .8 1 .6 1 .2 0 .4 0 .8 1 .6 1 .2 . . . .
Ya es obvio que los d´ıgitos binarios 1001 forman un per´ıodo. Respuesta:
0.3 = 0.0(1001)2 = 0.0100110011001 . . .
10. Ejercicios: decimal a binario. 7, 30, 72, 3.75, 5.6.
Sistema hexadecimal
11. El sistema posicional con base 16 se llama sistema hexadecimal. En este sistema los d´ıgitos son entre 0 y 15. Los d´ıgitos con valores 10, 11, 12, 13, 14, 15 se denotan por A, B, C, D, E, F.
12. Ejemplo: binario a hexadecimal. Es f´acil ver que cada cuatro d´ıgitos en el sistema binario corresponden a un d´ıgito en el sistema hexadecimal:
1011110.0112 = 0101
| {z } 1110
| {z } . 0110
| {z }
2
= (0 · 23+ 1 · 22+ 0 · 21+ 1 · 20) · 161+ (1 · 23+ 1 · 22+ 1 · 21+ 0 · 20) · 160 + (0 · 23+ 1 · 22+ 1 · 21+ 0 · 20) · 16−1
= 5E.616.
13. Ejemplo: binario a hexadecimal.
1010110011.101112 = 0010
| {z } 1011
| {z } 0011
| {z } . 1011
| {z } 1000
| {z }
2 = 2B3.B816.
14. Ejemplo: hexadecimal a binario. Convertamos un n´umero hexadecimal a un binario:
3E.9F16= 0011
| {z } 1110
| {z } . 1001
| {z } 1111
| {z }
2 = 111110.100111112.
15. Ejercicio: conversi´on de decimal a binario y viceversa en un sistema de
´
algebra computacional. En Wolfram Mathematica u otra sistema de ´algebra compu- tacional busque funciones que conviertan n´umeros de una base a otra. Compruebe los resultados de los primeros ejercicios.
