Matem´atica Discreta
Segundo curso del Grado en Matem´aticas, UAM Curso 2011-2012
Hoja 2
1. Pru´ebese la siguiente regla de recurrencia para un coeficiente trin´omico:
n
a, b, c
=
n−1
a−1, b, c
+
n−1
a, b−1, c
+
n−1
a, b, c−1
, dondea+b+c=n. Expl´ıquese el significado combinatorio de esta identidad.
2. Formamos listas de longitudncon tres s´ımbolos,α,β yγ. Digamos que los tres s´ımbolos
“pesan”, respectivamente, las cantidadesA,B yC. El peso total de una lista se define como la suma de los pesos de sus s´ımbolos. Calcula elpeso medio de una lista.
3. Compru´ebese que S(n, n−1) =
n
2
y que S(n, n−2) =
n
3
+1 2
n
2
n−2
2
. H´allese una f´ormula an´aloga paraS(n, n−3).
Por otro lado, sabemos que
S(n,2) = 2n−2 2 . H´allese una f´ormula paraS(n,3).
4. Pru´ebese que
S(n+ 1, m+ 1) =
n
k=m
n
k
S(k, m).
5. Eln´umero de Bell B(n) cuenta el n´umero de particiones de{1, . . . , n}en bloques no vac´ıos:
B(n) =
n
k=1
S(n, k).
Compru´ebese que, si definimosB(0) = 1, se verifica la siguiente relaci´on de recurrencia:
B(n) =
n
j=1
n−1 j−1
B(n−j), esto es, B(n) =
n−1
k=0
n−1 k
B(k) para cadan≥1
6. Consideremos ahora el n´umero de particiones del conjunto{1, . . . , n}en bloques no vac´ıos, de manera que los bloques van numerados (el orden dentro de los bloques sigue siendo irre- levante). A este n´umero lo llamaremosn-´esimon´umero de Bell ordenado, B(n). Compru´ebese que
B(n) =
n
k=1
k!S(n, k).
Pru´ebese que, si definimosB(0) = 1, estos n´umeros verifican la siguiente relaci´on de recurrencia:
B(n) =
n
j=1
n
j
B(n−j) para cadan≥1, o, lo que es lo mismo, B(n) =
n−1
k=0
n
k B(k).
7. Consideremos los conjuntosA={1,2, . . . , n}yB={1,2, . . . , m}, dondem≥n.
(a) Dado unkfijo entre 1 ym, calcula el n´umeroαk de aplicaciones deAenBcuyo conjunto imagen tiene exactamentekelementos.
(b) Calcula el valor de la sumam
k=1αk.
8. Calcula el n´umero de listas de longitud n con k s´ımbolos (donde k ≤ n) en las que se aparecen todos los s´ımbolos (al menos) una vez.
9. Consideramos n ciudades. Durante 2n d´ıas, un viajero va anotando la ciudad en la que pernocta. Al final del viaje, debe haber dormido en todas las ciudades. Teniendo en cuenta que podr´ıa dormir varias veces seguidas (o alternas) en la misma ciudad, ¿cu´antos itinerarios distintos podr´a haber hecho el viajero?
10. Una colecci´on consta de 10 cromos distintos. Durante 20 d´ıas vamos a ir cada ma˜nana al kiosko a comprar uno.
a) ¿Cu´al es la probabilidad de completar la colecci´on?
b) ¿Y de que acabemos la colecci´on justamente (y no antes) el ´ultimo d´ıa?
(Nota:suponemos que los cromos aparecen con la misma probabilidad).
11. Un grupo de 100 personas hacen un examen tipo test que consta de 150 preguntas. A la vista de los resultados obtenidos por cada uno de ellos (entre 0 y 150 puntos), hacemos un ranking de los candidatos: una primera categor´ıa para los de m´axima puntuaci´on, una segunda para los que tengan la siguiente puntuaci´on, etc. N´otese que puede haber varios candidatos en la misma categor´ıa. ¿Cu´antas posibles clasificaciones finales de ´estas podr´a haber?
12. Sea n un entero positivo que es producto de mprimos diferentes. ¿De cu´antas maneras podemos escribirncomo producto dekenteros de la forma
n=n1× · · · ×nk, (con 1< n1<· · ·< nk) ?
•Sobre la funci´on pk(n)en columnas.
13. Comprueba que
p2(n) =n/2.
¿Podr´ıas dar una f´ormula parap3(n)?
14. Comprueba que, parakfijo, pk(n) es una funci´on creciente den.
•Sobre la funci´on pk(n)en l´ıneas paralelas al borde derecho (diagonales).
15. Prueba, con un argumento combinatorio directo, que
pn−2(n) = 2 sin≥4 y que pn−3(n) = 3 sin≥6.
16. Prueba que, paraj fijo, la funci´onpn−j(n) es creciente para todony que es constante a partir de un cierto valor den.
