Resumen de teora de contacto 1/??
Contacto entre curvas
Consideremos dos curvas param´etricasC1 y C2 que pasan por un punto P0. Sea P0 un punto de C1 y P00 un punto de C2 tal que la diferencia del valor del par´ametro natural para P0 y P0 enC1, as´ı como la diferencia de valores del par´ametro natural de P00 yP0 en C2 son iguales a h. Esto significa que los arcos P0P0 y P0P00 tienen longitud |h|y P0 y P00 est´an ambos situados respecto a P0 en la direcci´on del crecimiento del par´ametro en las correspondiente curvas si h > 0 o ambos est´an en la direcci´on decreciente del par´ametro si h <0.
Con estas notaciones se tiene la siguiente
Definici´on 1 Dos curvas param´etricas C1 y C2 regulares de clase Ck tienen un contacto de orden p en un punto regular P0 si y s´olo si, para sus representaciones naturales, el vector lim
h→0
−−−→P0P00
hp = 0, pero lim
h→0
−−−→P0P00 hp+1 6= 0.
La siguiente proposici´on nos permite calcular el orden de contacto de dos curvas cuando ambas vienen dadas por parametrizaciones naturales:
Proposici´on 1 Dos curvas param´etricas C1 yC2 de claseCk tienen un contacto de orden p exactamente en un punto regular P0 si y s´olo si para sus representaciones naturales
~α(s), ~β(σ), se tienen las siguientes relaciones en P0
~α(s0) =β(σ~ 0), ~α(s˙ 0) =~β(σ˙ 0),· · ·,
−
→(p)
α(s0) =
−
→(p)
β(σ0),
−−→(p+1)
α (s0)6=
−−→(p+1)
β (σ0).
La siguiente proposici´on nos permite calcular el orden de contacto de dos curvas dadas por parametrizaciones arbitrarias:
Proposici´on 2 Sean −→α : I → IR3 , −→
β : J → IR3 dos representaciones param´etricas regulares de clase Ck de dos curvas C1 y C2, satisfaciendo las condiciones:
i) ~α(t0) = β(u~ 0) =−−→
OP0 ii) ~α(r)(t0) = β~(r)(u0) (r≤p < k).
Para que el contacto deC1, C2 sea de orden p exactamente en el punto P0 es necesario
y suficiente que n
~α(p+1)(t0)−β~(p+1)(u0), ~α 0(t0)o sean vectores independientes.
Geometra Diferencial. Angel Montesdeoca. 2006
Resumen de teora de contacto 2/??
La siguiente proposici´on nos permite calcular el orden de contacto de dos curvas cuando una de ellas viene dada en forma impl´ıcita:
Proposici´on 3 Sean −→α :I →IR3 una representaci´on param´etrica de una curva regular C1 de clase Ck que pasa por P0 (~α(t0) = −−→
OP0), U un entorno de P0, f : U → IR y g :U →IR funciones de clase Ck e independientes y C2 la curva regular pasando por P0 impl´ıcitamente definida por las ecuaciones:
f(x, y, z) =f(P0) g(x, y, z) =g(P0).
Para que C1 y C2 tengan un contacto de orden p exactamente en P0 (0 ≤ p ≤ k), es necesario y suficiente que las funciones F y G definidas en un entorno de t0 por
F(t) = f(~α(t)) G(t) = g(~α(t))
verifiquen F(r)(t0) = 0, G(r)(t0) = 0 (r ≤p) y (F(p+1)(t0)6= 0 o G(p+1)(t0)6= 0).
Contacto entre curvas y planos o esferas
SeaP0 un punto com´un de una curva C con un plano Π, y seaP un punto variable de la curva tal que la longitud de arco entre P0 y P seah. Denotaremos por dh la distancia de P al plano Π.
Definici´on 2 Una curva y el plano tienen un contacto de orden al menos p en P0 si
h→0lim dh hp = 0.
Definici´on 3 Una esfera tiene un contacto de orden p al menos con una curva en un punto com´un P si lim
h→0
dh
hp = 0, siendo dh la distancia de un punto de la curva de abscisa curvil´ınea h a la esfera.
Proposici´on 4 Si ~α= ~α(t) es una parametrizacin de una curva C y f(x, y, z) = 0 es la ecuacin de una superficie (plano o esfera), si P0 es un punto regular de la curva y de la superficie, ~α(t0) =−−→
OP0 y
F(t) =f(~α(t)),
la condicin necesaria y suficiente para que la curva y la superficie tengan un contacto de orden p exactamente es que se verifique:
F(t0) =F0(t0) = F00(t0) =· · ·=F(p(t0) = 0, F(p+1(t0)6= 0.
A. Montesdeoca.- Apuntes de Geometra Diferencial de Curvas y Superficies. Direccin General de Universidades e Investigacin. Gobierno de Canarias.
http://webpages.ull.es/users/amontes/apuntes/gth.pdf
Geometra Diferencial. Angel Montesdeoca. 2006
