1.1. Definici´ on de Espacio Vectorial

(1)

Espacios Vectoriales.

1.1. Definici´ on de Espacio Vectorial

Notas 1.1.1. Denotaremos porN, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los n´umeros Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.

Definición 1.1.2. Sea Rel conjunto de los números reales. Un espacio vectorialsobre Rconsta de un conjunto no vac´ıoV, una ley de composición interna sobreV, ‘+’, y una aplicación deR×V enV, ‘·’, (ley externa), verificando las siguientes propiedades:

(1) (V,+)es un grupo abeliano, esto es, para todo⃗u, ⃗v, ⃗w∈V,

• (1.1)⃗u+⃗v=⃗v+⃗u. (Conmutativa).

• (1.2)⃗u+ (⃗v+w) = (⃗⃗ u+⃗v) +w. (Asociativa).⃗

• (1.3) Existe⃗0∈V tal que para todo⃗u∈V,⃗0 +⃗u=⃗u. (Elemento neutro).

• (1.4) Para todo⃗u∈V, existe ⃗u^′ ∈V tal que⃗u+⃗u^′=⃗0(opuesto de⃗u).

(2) Para todo⃗u, ⃗v∈V y para todoα, β∈R,

• (2.1) α·(⃗u+⃗v) =α·⃗u+α·⃗v.

• (2.2) (α+β)·⃗u=α·⃗u+β·⃗u.

• (2.3) α·(β·⃗u) = (α·β)·⃗u.

• (2.4) 1·⃗u=⃗u.

(2)

Notas 1.1.3.

(1) Los elementos deV se denominar´an vectores y los deRescalares.

(2) El elemento u^′ cuya existencia asegura (1.4) es ´unico y se notar´a por−⃗u.

Ejemplos 1.1.4. Son espacios vectoriales sobreR:

M(n×m,R). (Conjunto de las matrices con coeficientes en R con n filas y m co- lumnas).

Un conjunto con un ´unico elemento {⃗0} es un espacio vectorial que llamaremos espacio vectorial trivial.

El conjunto R[X]de los polinomios en X, de grado menor o igual que n, con coefi- cientes en Res un espacio vectorial sobre R.

Proposici´on 1.1.5. Sea V un espacio vectorial sobre R. Para todo ⃗u, ⃗v ∈ V y todo α, β∈Rse verifica que:

(1) α·⃗0 =⃗0.

(2) 0·⃗u=⃗0.

(3) α·(⃗u−⃗v) =α·⃗u−α·⃗v.

(4) (α−β)·⃗u=α·⃗u−β·⃗u.

(5) (−α)·⃗u=−α·⃗u.

Definición 1.1.6. Llamaremos espacio numérico sobreR, de dimensiónn, al conjunto:

Rⁿ={(a1, . . . , an)| ai∈R, i= 1, . . . , n} EnRⁿ definimos las siguientes operaciones:

(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1+b1, . . . , an+bn).

a·(a₁, . . . , a_n) = (a·a₁, . . . , a·a_n).

Nota 1.1.7. Los elementos de Rⁿ se denominan vectores y los notaremos por⃗u, ⃗v, . . ..

Proposici´on 1.1.8. Rⁿ es un espacio vectorial sobreR.

(3)

1.2. Subespacios vectoriales

Definici´on 1.2.1. SeaV un espacio vectorial sobre R. Diremos queL⊂V (L̸=∅) es un subespacio vectorial (o una variedad lineal) deV sobreRsiL, con las leyes de composici´on interna y externa deV, es un espacio vectorial.

Proposici´on 1.2.2. L⊂V es subespacio vectorial deV si y s´olo si.

(a) ∀⃗u, ⃗v∈L⇒⃗u+⃗v∈L.

(b) ∀⃗u∈L,∀α∈R⇒α·⃗u∈L.

Condiciones que se pueden resumir en una sola:

∀α, β∈R,∀⃗u, ⃗v∈L ⇒ α·⃗u+β·⃗v∈L.

1.3. Dependencia lineal

Definici´on 1.3.1. Diremos que⃗v∈V es combinaci´on lineal de⃗v1, . . . , ⃗vn ∈V si existen α1, . . . , αn∈R tales que:

⃗

v=α1·⃗v1+· · ·+αn·⃗vn

Ejemplos 1.3.2. .

(1)⃗0es combinaci´on lineal de cualquier conjunto de vectores.

(2)⃗ues combinaci´on lineal de cualquier conjunto que contenga a⃗u.

(3) EnR[x]todo polinomio de grado menor o igual anes combinaci´on lineal de los polinomios{1, x, x², . . . , xⁿ}.

Definici´on 1.3.3. Sea A ⊂ V. Se llama subespacio vectorial engendrado por A, y se designa por L(A), al conjunto de todas las combinaciones lineales de un n´umero finito de elementos deA. SiA=∅, se define L(∅) ={⃗0}.

Proposici´on 1.3.4. .

(1) L(A)es un subespacio vectorial deV.

(4)

(2) L(A)⊃A.

(3) Si A⊂B ⇒ L(A)⊂L(B).

(4) Si Aes un subespacio vectorial de V, entoncesL(A) =A.

(5) L(L(A)) =L(A).

Definición 1.3.5. Diremos queV es un espacio vectorial de dimensión finita si existe un número finito de elementos de V,⃗u₁, . . . , ⃗u_n, tales que:

V =L(⃗u1, . . . , ⃗un)

Un tal conjunto diremos que es un sistema de generadores de V. Ejemplos 1.3.6. .

(1) Rⁿ es de dimensi´on finita.

(2)R[x](polinomios en la indeterminadaxcon coeficientes enR) no es de dimensi´on finita.

(3) El conjunto de los polinomios en la indeterminadax, de grado menor o igual que n, con coeficientes en R, s´ı es un espacio vectorial de dimensi´on finita.

Definici´on 1.3.7. Sean⃗u₁, . . . , ⃗u_n∈V.

(1)⃗u1, . . . , ⃗unson linealmente dependientes si existenα1, . . . , αn∈R,no todos nulos, tales que:

α1·⃗u1+· · ·+αn·⃗un=⃗0 (2)⃗u₁, . . . , u_n son linealmente independientes si:

α₁·⃗u₁+· · ·+α_n·⃗u_n=⃗0 ⇒ α₁=· · ·=α_n = 0

Ejemplos 1.3.8. .

(1) Si⃗0∈ {⃗u1, . . . , ⃗un}, entonces⃗u1, . . . , ⃗un son linealmente dependientes

(2) Si a un conjunto de vectores linealmente dependientes se le a˜naden cualesquiera otros vectores, resulta un conjunto de vectores linealmente dependientes.

(5)

(3) Cualquier subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independientes es un conjunto de vectores linealmente independientes.

Proposici´on 1.3.9. Si⃗ves combinaci´on lineal de⃗v1, . . . , ⃗vn, entonces el conjunto{⃗v, ⃗v1, . . . , ⃗vn} es linealmente dependiente.

Demostraci´on:

Por hip´otesis existenα1, . . . , αn ∈Rtales que:

⃗

v=α₁·⃗v₁+· · ·+α_n·⃗v_n Entonces:

(−1)⃗v+α1·⃗v1+· · ·+αn·⃗vn=⃗0 y no todos los coeficientes son nulos, porque el primero es−1.

Proposición 1.3.10. Si los vectores⃗v1, . . . , ⃗vn son linealmente dependientes, alguno de ellos es combinación lineal de los demás.

1.4. Bases y dimensi´ on

Definici´on 1.4.1. Decimos queB={⃗u₁, ⃗u₂, . . . , ⃗u_n} ⊂V es una base deV si se verifica:

(1) V = L{⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗un}. Esto es, {⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗un} es un sistema de generadores deV.

(2) {⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗un} son linealmente independientes.

Ejemplo 1.4.2. {(1, . . . ,0),(0,1, . . . ,0), . . . ,(0, . . . ,1)} es una base deRⁿ.

Teorema 1.4.3. Todo espacio vectorial de dimensi´on finita tiene una base.

Teorema 1.4.4. En un espacio vectorial de dimensi´on finita todas las bases tienen el mismo n´umero de elementos.

(6)

Definición 1.4.5. Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensión finita. Se llama dimensión de V, dim(V), al número de elementos de cualquier base de V. Si V ={⃗0}, convenimos en que tiene dimensión cero.

Ejemplo 1.4.6. dim(Rⁿ) =n.

Corolario 1.4.7. SeaV un espacio vectorial con dim(V) =n.

(1) Todo conjunto de nvectores linealmente independiente es una base.

(2) Todo conjunto con m´as den vectores es linealmente dependiente.

(3) Todo sistema de generadores de V tiene al menosn elementos.

(4) Todo sistema de generadores con nelementos es una base.

(5) Todo subespacio de V es de dimensi´on finita y tiene dimensi´on menor o igual quen.

(6) Toda base de un subespacio deV puede ampliarse a una base deV.

Teorema 1.4.8. Si B={⃗u₁, . . . , ⃗u_n} es una base deV, entonces para cada⃗v∈V existe un ´unico(α₁, . . . , α_n)∈Rⁿ tal que:

⃗v=α1·⃗u1+· · ·+αn·⃗un

Este elemento deRⁿ se denomina coordenadas de⃗v respecto deB y lo notaremos por:

⃗

v_B= (α₁, . . . , α_n)

(7)

1.5. Ejercicios resueltos

1.- El vector (2,1,−3) es combinaci´on lineal de los vectores (1,−1,1),(1,0,0),(1,1,0), ya que existenα1, α2, α3∈Rtales que:

(2,1,−3) =α1(1,−1,1) +α2(1,0,0) +α3(1,1,0) = (α1+α2+α3,−α1+α3, α1)

de donde se obtiene el sistema:









α1+α2+α3 = 2

−α1+α3 = 1

α1 = −3

cuya soluci´on esα1=−3, α2= 7, α3=−2. Por tanto, existenα1, α2, α3∈Rtales que: (2,1,−3) =−3(1,−1,1) + 7(1,0,0)−2(1,1,0).

2.- En el espacio vectorial R³, los vectores (1,−1,1),(1,0,0),(1,1,0) son linealmente independientes, ya que la ´unica forma de expresar el vector nulo como combinaci´on lineal de los tres es con todos los escalares iguales a cero. Es decir, si:

α1(1,−1,1) +α2(1,0,0) +α3(1,1,0) = (α1+α2+α3,−α1+α3, α1) = (0,0,0)

se obtiene el sistema:









α1+α2+α3 = 0

−α1+α3 = 0

α1 = 0

que es compatible determinado y cuya

´

unica soluci´on es la trivialα1=α2=α3= 0, luego los tres vectores son linealmente independientes.

3.- El conjunto de vectores (1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) forman una base deR³.

Tenemos que comprobar que esos vectores son linealmente independientes y que forman un sistema de generadores de R³.

En primer lugar, son linealmente independientes ya que si disponemos esos vectores en forma matricial, resulta :A=







1 0 0 1 1 0 1 1 1





y se verifica querango(A) = 3, por lo que los tres vectores que conforman la matriz son linealmente independientes.

Por ´ultimo, comprobamos que constituyen un sistema de generadores de R³: Para comprobarlo, se escribe el vector (a, b, c)∈R³ como combinaci´on lineal de los tres:

(a, b, c) =α₁(1,1,1) +α₂(0,1,1) +α₃(0,0,1) = (α₁, α₁+α₂, α₁+α₂+α₃)

(8)









α1 = a

α1+α2 = b α₁+α₂+α₃ = c

⇐⇒







1 0 0 1 1 0 1 1 1











 α1

α2

α₃





=





 a b c







Es un sistema lineal con variables α₁, α₂, α₃ y términos independientes a, b, c. La matriz del sistema tiene rango 3 como se vio anteriormente y coincide con el rango de la matriz ampliada, por lo que el sistema tiene solución única. Esa solución es el conjunto de escalares que nos permite escribir la combinación lineal.

4.- El conjunto A={(x, y)∈R² : x+y = 1} no es un subespacio vectorial de R² ya que (0,0)∈/ A.

5.- El conjuntoA={(x, y, z)∈R³ : x+y+z= 0}es un subespacio vectorial deR³. Para comprobarlo, aplicamos la condici´on necesaria y suficiente de subespacio vectorial:

∀⃗u, v∈A, ∀α, β∈R : α⃗u+β⃗v∈A.

Si⃗u= (u1, u2, u3), ⃗v= (v1, v2, v3)∈A, entoncesu1+u2+u3= 0, v1+v2+v3= 0, por lo que:

α⃗u+βbf v=α(u1, u2, u3) +β(v1, v2, v3) = (αu1+βv1, αu2+βv2, αu3+βv3).

Para que α⃗u, β⃗v∈Ase debe cumplir:

αu1+βv1+αu2+βv2+αu3+βv3= 0, en efecto:

αu1+βv1+αu2+βv2+αu3+βv3=α(u1+u2+u3)+β(v1+v2+v3) =α·0+β·0 = 0,

∀α, β∈R, por tanto,Aes un subespacio vectorial deR³.

6.- El conjuntoA={(x, y, z)∈R³ : x·y= 0}no es un subespacio vectorial deR³. A pesar de que (0,0,0)∈A, comprobaremos con un contraejemplo que no se verifica la condici´on necesaria y suficiente de subespacio vectorial.

Los vectores⃗u= (1,0,1), ⃗v= (0,1,1)∈Adado que, en ambos casosx·y = 1·0 = 0·1 = 0, pero⃗u+⃗v= (1,1,2)∈/A, puesx·y= 1·1 = 1̸= 0.

(9)

7.- Sea el subespacio A∈R³, generado por los vectores ⃗u= (1,0,1) y⃗v = (1,1,1), es decirA=⟨(1,0,1),(1,1,1)⟩. Determinar una base, unas ecuaciones param´etricas y unas ecuaciones impl´ıcitas de A.

a) A=⟨⃗u, v⟩=⟨(1,0,1),(1,1,1)⟩.

Los vectores que generan el subespacio son linealmente independientes, ya que rg





 1 1 0 1 1 1





= 2, por lo que forman una base deAydim(A) = 2.

b) Ecuaciones paramétricas: escribimos un vector genérico⃗x= (x, y, z)∈Acomo combinación lineal de los vectores de la base:

(x, y, z) =λ(1,0,1) +µ(1,1,1) = (λ+µ, µ, λ+µ)

de d´onde obtenemos las ecuaciones param´etricas.









x = λ+µ

y = µ

z = λ+µ

λ, µ ∈ R. Aparecen dos par´ametros igual a la dimensi´on deA.

c) Para las ecuaciones impl´ıcitas consideramos que ∀(x, y, z) ∈ A, los vectores (x, y, z),(1,0,1),(1,1,1) son linealmente dependientes y que el rango de la matriz que forman debe coincidir con la dimensi´on deA:

rg







x 1 1

y 0 1

z 1 1





= 2⇐⇒

x 1 1

y 0 1

z 1 1

= 0⇐⇒z−x= 0

Luego el subespacio Atiene una ecuaci´on impl´ıcita A={(x, y, z)∈R³ : z−x= 0}.

8.- Calcular la dimensi´on, una base, unas ecuaciones impl´ıcitas y unas ecuaciones param´etricas del subespacio deR³:A={(x, y, z)∈R³ :x+y+z= 0,−x+y+z= 0} a) Comenzamos con las ecuaciones impl´ıcitas. El rango de la matriz del sistema

formado por las ecuaciones que definen aAes dos:

rg



 1 1 1

−1 1 1



= 2

por lo que las dos ecuaciones que definenAson un par de ecuaciones impl´ıcitas.

(10)

b) Para obtener las ecuaciones param´etricas deA resolvemos el sistema:





x+y+z = 0

−x+y+x = 0.

Dado que el rango de la matriz del sistema es 2, como se vio anteriormente, y que un menor principal de la matriz es

1 1

−1 1

, le damos a la variablez el valor de un par´ametro, z=λy resolvemos el sistema:





x+y = −λ

−x+y = −λ que tiene por soluci´on:x=−λ, y= 0, z=λ, que son las ecuaciones param´etricas del subespacioA.

c) Para obtener una base deAusamos las ecuaciones param´etricas:

∀(x, y, z)∈A: (x, y, z) = (−λ,0, λ) =λ(−1,0,1),

por lo que cualquier vector de Aest´a generado por (−1,0,1) que es una base deA. Por tanto, la dimensi´on deA es 1.

1.6. Ejercicios Propuestos

1.- Hallar t ∈R para que el vector ⃗x = (3,8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores ⃗u= (1,2,3), ⃗v= (1,3,−1).

2.- Determinaraybpara que el vector (1,4, a, b) sea combinaci´on lineal de (1,2,−1,−2) y de (0,1,2,1).

3.- Demostrar que los vectores⃗u1 = (1,1,0), ⃗u2 = (1,0,1), ⃗u3 = (0,1,1) forman una base de (R³,+,·), y encontrar las coordenadas de los vectores de la base can´onica respecto de dicha base.

4.- Determinar qu´e conjuntos son subespacios vectoriales de (R³.+.·):

A={(x, y, z) : x−y+z= 0}, B={(x, y, z) : x+ 2y+z= 1},

(11)

C={(x, y, z) : x−y= 0, x−z= 0,}, D={(x, y, z) : x−y+z= 0, y+z= 1}, E={(x, y, z) : x= 0, y=z}, F ={(x, y, z) : x·y= 0}

5.- Demostrar que el conjunto E={(a,0, b, a), a, b∈R}es un subespacio vectorial de (R⁴,+,·). En caso afirmativo, h´allese una base del mismos.

6.- Calcular una base, unas ecuaciones param´etricas, unas ecuaciones impl´ıcitas y la dimensi´on de los siguientes subespacios vectoriales:

a) H1=⟨(1,0,1),(−1,1,0)⟩

b) H2=⟨(1,1,1),(−1,0,1),(0,1,2)⟩ c) H₃={(x, y, z)∈R³ : x=y−z

d) H₄={(x, y, z)∈R³ : x+y+z= 0, x−2z= 0

7.- Sea P₃[x] el Espacio vectorial de los polinomios en la indeterminada x de grado menor o igual que 3.

Probar que sip(x) es un polinomio de grado 3, entonces {

p(x), p^′(x), p^′′(x), p^′′′(x) }

es una base.

T´omesep(x) =x³−3x, y h´allense las coordenadas deq(x) =x³+x−2 respecto de dicha base.

8.- Sean los conjuntos:

F[x] = {

p(x)∈P₃[x] : p(0) +p^′(0) = 0 }

, G[x] = {

p(x)∈P₃[x] : p^′′(x) = 0 }

.

Demostrar queF[x] yG[x] son subespacios vectoriales deP3[x], y encontrar sendas bases para cada uno de ellos.

(12)