RELACIÓN 1. PRELIMINARES I
1. Demostrar que, en general, el retículo de submódulos de un módulo no es distributivo (sugerencia: considerar ¢ ¢´ ).
2. Demostrar que, en general, el retículo de submódulos de un módulo no es complementado (sugerencia: considerar ¢n).
3. Demostrar que M es un R-módulo finitamente generado si y sólo si existe un epimorfismo :f Rm ®M para algún entero positivo m.
4. Sea R un DIP, M un R-módulo libre f.g. y x MÎ . Demostrar que existe una base de M de la que forma parte x si y sólo si existe un homomorfismo :f M ®R tal que
( ) 1 f x = .
5. Sea u=( , )a b Î ´Z Z. Demostrar que u puede completarse a una base de Z2 si y sólo si a y b son primos relativos. Como aplicación, hallar v tal que {u, v} es una base de
Z2.
6. Sea :f M ®L un homomorfismo de R-módulos y sea N £M . Demostrar que ( )
N Ì Ker f si y sólo si existe un único homomorfismo :g M N ®L tal que f =g po , siendo :p M ®M N la proyección canónica.
7. Sea :f M ®L un homomorfismo entre módulos simples. Demostrar que si f no es nulo, entonces es un isomorfismo. ¿Se puede concluir que End MR( ) es un cuerpo cuando M es simple?
8. Sean :f L®M y :j N ®M homorfismos, con j inyectivo. Demostrar que existe g tal que j go = f si y sólo si Im( )f ÌIm( )j .
9. Sea :f L®M un homomorfismo y sean L’ y N’ submódulos de L y M respectivamente. Demostrar que si ( ')f L Ì M' entonces existe un único homomorfismo g tal que g p q fo = o , siendo p y q las proyecciones canónicas
respectivas. Encontrar condiciones suficientes para que g sea inyectivo, sobreyectivo y biyectivo.
10. Sea M un R-módulo f.g., y sea :f M ®Rn un epimorfirmo, para algún entero positivo n. Demostrar que entonces Ker f( ) también es de tipo finito.
