1. Sem´ antica de la l´ ogica de predicados

L´ ogica Computacional, 2017-1

Nota 06. Sem´ antica de la l´ ogica de predicados. ^*

No´ e Salom´ on Hern´ andez S´ anchez

1. Sem´ antica de la l´ ogica de predicados

Definici´on 1. Sea F un conjunto de s´ımbolos de funciones y P un conjunto de s´ımbolos de predicado. Un modelo M del par (F , P) consiste de:

1. Un conjunto no vac´ıo A, el universo de valores concretos;

2. para cada s´ımbolo de funci´on nula, i.e., s´ımbolo de constante, c ∈ F , un elemento concreto c^M de A;

3. para cada s´ımbolo f ∈ F con aridad n > 0, una funci´on concreta f^M : Aⁿ→ A; y

4. para cada P ∈ P con aridad n > 0, un subconjunto P^M ⊆ Aⁿ de tuplas de n elementos sobre A.

Interpretamos f´ormulas con relaci´on a un ambiente.

Definici´on 2. Un ambiente para un universo A es una funci´on l : var → A del conjunto de variables var en A. Para dicha l, denotamos por l[x 7→ a] el ambiente en el que a x le corresponde a, y a cualquier otra variable y le corresponde l(y).

Definici´on 3. Dado un modelo M para un par (F , P) y un ambiente l, definimos la relaci´on de satisfacci´on M |=_lϕ, para cada f´ormula ϕ definida sobre el par (F , P) y ambiente l, por inducci´on sobre ϕ como se ilustra abajo. Si se cumple M |=_l ϕ, decimos que ϕ se eval´ua a > en el modelo M con respecto al ambiente l.

*El material aqu´ı presentado se basa el libro de Huth y Ryan, Logic in Computer Science; y en las notas del prof. Francisco Hern´andez Q.

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P : Si ϕ es de la forma P (t₁, . . . , t_n), entonces interpretamos los t´erminos t₁, . . . , t_n en el universo A al reemplazar todas las variables por sus valores correspondientes en l.

As´ı encontramos valores concretos a₁, . . . , a_n de A para cada uno de estos t´erminos.

De modo que M |=_l P (t₁, . . . , t_n) se satisface syss (a₁, . . . , a_n) est´a en el conjunto P^M

∀x: La relaci´on M |=_l ∀x ϕ se satisface syss M |=_l[x7→a]ϕ se satisface para toda a ∈ A.

∃x: La relaci´on M |=l ∃x ϕ se satisface syss M |=l[x7→a]ϕ se satisface para alguna a ∈ A.

¬: La relaci´on M |=l ¬ϕ se satisface syss no es el caso que M |=l ϕ se satisface.

∨: La relaci´on M |=_l ϕ₁∨ ϕ₂ se satisface syss M |=_l ϕ₁ o M |=_l ϕ₂ se satisface.

∧: La relaci´on M |=_l ϕ₁∧ ϕ₂ se satisface syss M |=_l ϕ₁ y M |=_l ϕ₂ se satisfacen.

→: La relaci´on M |=_l ϕ₁ → ϕ₂ se satisface syss M |=_l ϕ₁ se satisface siempre que M |=_l ϕ₂ se satisface.

↔: La relaci´on M |=l ϕ1 ↔ ϕ2 se satisface syss ambos M |=l ϕ1 y M |=l ϕ2 se satisfacen o ambos no se satisfacen.

Se puede demostrar por inducci´on estructural que M |=_l ϕ syss M |=_l⁰ ϕ, siempre que l y l⁰ sean dos ambientes id´enticos sobre el conjunto de variables libres de ϕ. Si ϕ no tiene variables libres, llamamos entonces a ϕ enunciado; con tal ϕ concluimos que M |=_lϕ se satisface, o no, sin importar la elecci´on de l. As´ı que para enunciados ϕ excluimos al ambiente l, ya que es irrelevante, y escribimos M |= ϕ.

2. Consecuencia l´ ogica

Definici´on 4. Sea Γ un conjunto posiblemente infinito de f´ormulas en l´ogica de predicados y ψ una f´ormula en dicha l´ogica.

1. La consecuencia l´ogica Γ |= ψ se cumple syss para todo modelo M y ambiente l, si M |=_lϕ se satisface para toda ϕ ∈ Γ, entonces tambi´en M |=l ψ se satisface.

2. La f´ormula ψ es satisfacible syss hay un modelo M y un ambiente l tal que M |=l ψ se satisface.

3. La f´ormula ψ es verdadera en M syss para todo ambiente l se satisface M |=_l ψ.

4. La f´ormula ψ es v´alida syss M |=_lψ se satisface para todos los modelos M y ambientes l en los cuales podemos darle sentido a ψ.

5. El conjunto Γ es consistente o satisfacible syss existe un modelo M y un ambiente l tal que M |=l ϕ se satisface para todo ϕ ∈ Γ.

Observe que el s´ımbolo |= est´a sobrecargado: denota la satisfacci´on de una f´ormula por alg´un modelo ‘M |= ϕ’ y la consecuencia l´ogica ‘ϕ₁, . . . , ϕ_n |= ψ’.

Definici´on 5. Sean M un modelo y ψ una f´ormula de la l´ogica de predicados. Decimos que ψ es falsa en M syss ¬ψ es verdadera en M.

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As´ı, una f´ormula ψ es no verdadera si es insatisfacible en alg´un ambiente. Pero para afirmar que ψ es falsa tendr´ıamos que demostrar que ¬ψ es satisfacible en todos los ambientes posibles.

Por lo tanto, la noci´on de falsedad es m´as fuerte que la noci´on de no ser verdadera.

Validez en l´ogica de predicados: Dada una f´ormula ϕ en l´ogica de predicados, ¿se satisface |= ϕ, s´ı o no?

Teorema 1. El problema de decisi´on de la validez en l´ogica de predicados es indecidible: no existe un programa tal que, dada cualquier ϕ, decida si |= ϕ.

Es importante notar que el sistema de deducci´on natural para la l´ogica de predicados (ver Nota 05) es correcto y completo.

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