Carlos Ivorra Castillo L ´OGICA Y TEOR´IA DE CONJUNTOS

Carlos Ivorra Castillo

L ´ OGICA Y TEOR´ IA DE

CONJUNTOS

No puedes encontrar la verdad con la l´ ogica si no la has encontrado ya sin ella.

G.K. Chesterton

´ Indice General

1 L´ ogica de primer orden 1

Introducci´ on a la l´ ogica matem´ atica 3

Cap´ıtulo I: Lenguajes formales de primer orden 17

1.1 Introducci´ on a los lenguajes formales . . . . 17

1.2 Definici´ on de lenguaje formal . . . . 23

1.3 Expresiones, t´erminos y f´ ormulas . . . . 26

1.4 Variables libres y ligadas . . . . 30

1.5 Sustituci´ on de variables . . . . 32

1.6Consideraciones finales . . . . 35

Cap´ıtulo II: Sistemas deductivos formales 39 2.1 El c´ alculo deductivo de primer orden . . . . 40

2.2 Reglas derivadas de inferencia . . . . 45

2.3 T´ecnicas de deducci´ on . . . . 53

2.4 Teor´ıas axiom´ aticas . . . . 59

2.5 Descriptores . . . . 66

2.6Forma prenexa . . . . 6 9 2.7 Consideraciones finales . . . . 71

Cap´ıtulo III: Modelos 73 3.1 Conceptos b´ asicos . . . . 73

3.2 Verdad y validez l´ ogica . . . . 81

3.3 Consistencia . . . . 89

Cap´ıtulo IV: La completitud sem´ antica 95 4.1 Completitud sint´ actica . . . . 96

4.2 La prueba del teorema de completitud . . . 100

4.3 Consecuencias del teorema de completitud . . . 106

4.4 Consideraciones finales . . . 116

Cap´ıtulo V: Teor´ıa de la recursi´ on 119 5.1 Funciones recursivas . . . 120

5.2 Relaciones recursivas . . . 124

5.3 Conjuntos recursivos . . . 127

v

5.4 N´ umeros de G¨ odel . . . 128

5.5 Funciones parciales . . . 137

5.6M´ aquinas de Turing . . . 139

5.7 La tesis de Church-Turing . . . 145

5.8 Consideraciones finales . . . 150

Cap´ıtulo VI: Teor´ıas aritm´ eticas 153 6.1 Definici´ on y propiedades b´ asicas . . . 153

6.2 Algunos teoremas en teor´ıas aritm´eticas . . . 156

6.3 Expresabilidad y representabilidad . . . 163

Cap´ıtulo VII: Incompletitud 175 7.1 El primer teorema de incompletitud . . . 175

7.2 El segundo teorema de incompletitud . . . 180

7.3 El teorema de Rosser . . . 184

7.4 El teorema de Tarski . . . 186

7.5 Otros resultados afines . . . 188

7.6El teorema de Church . . . 190

7.7 Ecuaciones diof´ anticas . . . 192

2 La l´ ogica de la teor´ıa de conjuntos 213 Introducci´ on a la teor´ıa axiom´ atica de conjuntos 215 Cap´ıtulo VIII: Los axiomas de la teor´ıa de conjuntos 223 8.1 La teor´ıa de conjuntos de von Neumann-Bernays-G¨ odel . . . 223

8.2 La teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . . . 236

8.3 Los axiomas restantes de NBG y ZF . . . 242

8.4 Los n´ umeros naturales . . . 246

8.5 Eliminaci´ on de descriptores . . . 251

Cap´ıtulo IX: Modelos de la teor´ıa de conjuntos 253 9.1 La consistencia de ZFC–AI . . . 253

9.2 Consis NBG implica Consis ZFC . . . 254

9.3 Consis ZFC implica Consis NBG . . . 257

Cap´ıtulo X: La formalizaci´ on de la l´ ogica en teor´ıa de conjuntos 265 10.1 Lenguajes formales . . . 265

10.2 Modelos . . . 269

10.3 L´ ogica de segundo orden . . . 270

10.4 El lenguaje de la teor´ıa de conjuntos . . . 276

10.5 Los teoremas de incompletitud . . . 279

10.6Modelos que son clases propias . . . 284

´INDICE GENERAL vii

3 La teor´ıa de conjuntos 289

Introducci´ on a la teor´ıa de conjuntos 291

Cap´ıtulo XI: N´ umeros ordinales 301

11.1 La construcci´ on de los ordinales . . . 301

11.2 Inducci´ on y recursi´ on transfinita . . . 307

11.3 Funciones normales . . . 313

11.4 La aritm´etica ordinal . . . 314

11.5 La forma normal de Cantor . . . 319

Cap´ıtulo XII: Relaciones bien fundadas 323 12.1 Conceptos b´ asicos . . . 324

12.2 Inducci´ on y recursi´ on transfinita . . . 327

12.3 Conjuntos regulares . . . 333

12.4 ´ Atomos . . . 337

Cap´ıtulo XIII: N´ umeros cardinales 341 13.1 El axioma de elecci´ on . . . 341

13.2 Cardinalidad . . . 345

13.3 La aritm´etica cardinal . . . 353

13.4 Sumas y productos infinitos . . . 361

13.5 Cofinalidad . . . 366

Cap´ıtulo XIV: La exponenciaci´ on cardinal 373 14.1 La exponenciaci´ on en ZFC . . . 373

14.2 La hip´ otesis de los cardinales singulares . . . 379

14.3 Cardinales fuertemente inaccesibles . . . 384

Cap´ıtulo XV: Conjuntos cerrados no acotados 397 15.1 Conjuntos cerrados no acotados . . . 397

15.2 Conjuntos estacionarios . . . 401

15.3 Un teorema de Silver . . . 406

15.4 Cardinales de Mahlo . . . 411

Ap´ endice A: Conceptos elementales de la teor´ıa de conjuntos 415 Ap´ endice B: Complementos sobre aritm´ etica 421 B.1 Hechos elementales . . . 421

B.2 Divisibilidad . . . 424

B.3 Congruencias . . . 426

B.4 Cuerpos cuadr´ aticos . . . 429

Bibliograf´ıa 433

´ Indice de Materias 435

Primera parte

L´ ogica de primer orden

1

Introducci´ on a la l´ ogica matem´ atica

La l´ ogica y su historia Tradicionalmente se ha dicho que la l´ ogica se ocupa del estudio del razonamiento. Esto hoy en d´ıa puede considerarse desbordado por la enorme extensi´ on y diversidad que ha alcanzado esta disciplina, pero puede servirnos como primera aproximaci´ on a su contenido.

Un matem´ atico competente distingue sin dificultad una demostraci´ on co- rrecta de una incorrecta, o mejor dicho, una demostraci´ on de otra cosa que aparenta serlo pero que no lo es. Sin embargo, no le pregunt´ eis qu´e es lo que en- tiende por demostraci´ on, pues —a menos que adem´ as sepa l´ ogica— no os sabr´ a responder, ni falta que le hace. El matem´ atico se las arregla para reconocer la validez de un argumento o sus defectos posibles de una forma improvisada pero, al menos en principio, de total fiabilidad. No necesita para su tarea contar con un concepto preciso de demostraci´ on. Eso es en cambio lo que ocupa al l´ ogico:

El matem´ atico demuestra, el l´ ogico estudia lo que hace el matem´ atico cuando demuestra.

Aqu´ı se vuelve obligada la pregunta de hasta qu´ e punto tiene esto inter´es y hasta qu´e punto es una p´erdida de tiempo. Hemos dicho que el matem´ atico se las arregla solo sin necesidad de que nadie le vigile los pasos, pero entonces,

¿qu´e hace ah´ı el l´ ogico? Posiblemente la mejor forma de justificar el estudio de la l´ ogica sea dar una visi´ on, aunque breve, de las causas hist´ oricas que han dado a la l´ ogica actual tal grado de prosperidad.

En el sentido m´ as general de la palabra, el estudio de la l´ ogica se remonta al siglo IV a.C., cuando Arist´ oteles la puso a la cabeza de su sistema filos´ ofico como materia indispensable para cualquier otra ciencia. La l´ ogica aristot´elica era bastante r´ıgida y estrecha de miras, pero con todo pervivi´ o casi inalterada, paralelamente al resto de su doctrina, hasta el siglo XVI. A partir de aqu´ı, mientras su f´ısica fue sustituida por la nueva f´ısica de Galileo y Newton, la l´ ogica simplemente fue ignorada. Se mantuvo, pero en manos de fil´ osofos y en parte de los matem´ aticos con inclinaciones filos´ oficas, aunque sin jugar ning´ un papel relevante en el desarrollo de las ciencias. Leibniz le dio cierto impulso, pero sin abandonar una postura conservadora. A principios del siglo XIX, los trabajos de Boole y algunos otros empezaron a relacionarla m´ as directamente con la matem´ atica, pero sin obtener nada que la hiciera especialmente relevante

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(aunque los trabajos de Boole cobraran importancia m´ as tarde por motivos quiz´ a distintos de los que ´el mismo ten´ıa in mente).

As´ı pues, tenemos que, hasta mediados del siglo XIX, la l´ ogica era poco m´ as que una curiosidad que interesaba a quienes sent´ıan alguna inquietud por la filosof´ıa de la matem´ atica o del pensamiento en general. La l´ ogica como hoy la entendemos surgi´ o b´ asicamente con los trabajos de Frege y Peano. En principio

´estos eran, al igual que los anteriores, nuevos ensayos sobre el razonamiento, si bien m´ as complejos y ambiciosos. Lo que les dio importancia fue que no aparecieron como productos de mentes inquietas, sino como culminaci´ on del proceso de formalizaci´ on que la matem´ atica ven´ıa experimentando desde los tiempos de Newton y Leibniz.

En efecto, el c´ alculo infinitesimal que ´estos trazaron con tanta imaginaci´ on y que despu´es desarrollaron Cauchy, Gauss y otros, tuvo que ser precisado a medida que se manejaban conceptos m´ as generales y abstractos. Dedekind, Riemann, Weierstrass, fueron sistematizando la matem´ atica hasta el punto de dejarla construida esencialmente a partir de los n´ umeros naturales y de las pro- piedades elementales sobre los conjuntos. La obra de Frege y de Peano pretend´ıa ser el ´ ultimo eslab´ on de esta cadena. Trataron de dar reglas precisas que de- terminaran completamente la labor del matem´ atico, explicitando los puntos de partida que hab´ıa que suponer as´ı como los m´etodos usados para deducir nuevos resultados a partir de ellos.

Si s´ olo fuera por esto, probablemente este trabajo habr´ıa acabado como una curiosidad de presencia obligada en las primeras p´ aginas de cada libro introduc- torio a la matem´ atica y que continuar´ıa interesando tan s´ olo a los matem´ aticos con inclinaciones filos´ oficas. Pero sucedieron hechos que confirmaron la necesi- dad de la l´ ogica como herramienta matem´ atica. A finales del siglo XIX, Georg Cantor cre´ o y desarroll´ o la parte m´ as general y m´ as abstracta de la matem´ atica moderna: la teor´ıa de conjuntos. No pas´ o mucho tiempo sin que el propio Can- tor, junto con otros muchos, descubriera descaradas contradicciones en la teor´ıa, es decir, se obten´ıan demostraciones de ciertos hechos y de sus contrarios, pero de tal forma que burlaban el ojo cr´ıtico del matem´ atico, tan de fiar hasta enton- ces. Se obten´ıan pares de pruebas de forma que cada una por separado parec´ıa irreprochable pero que ambas juntas eran inadmisibles.

El ejemplo m´ as simple de estos resultados fue descubierto por Bertrand Russell al despojar de contenido matem´ atico a otro debido a Cantor: En la teor´ıa cantoriana se puede hablar de cualquier conjunto de objetos con tal de que se especifiquen sus elementos sin ambig¨ uedad alguna. En particular podemos considerar el conjunto R cuyos elementos son exactamente aquellos conjuntos que no son elementos de s´ı mismos. Es f´ acil ver que si R es un elemento de s´ı mismo, entonces por definici´ on no deber´ıa serlo, y viceversa. En definitiva resulta que R no puede ni pertenecerse como elemento ni no hacerlo. Esto contradice a la l´ ogica m´ as elemental.

El lector puede pensar que esto es una tonter´ıa y que basta no preocuparse

de estas cosas para librarnos de tales problemas, sin embargo sucede que contra-

dicciones similares surgen continuamente en la teor´ıa pero afectando a conjuntos

no tan artificiales y rebuscados como pueda parecer el conjunto R, sino a otros

5 que aparecen de forma natural al trabajar en la materia. En cualquier caso estos hechos mostraban que el criterio que confiadamente han venido usando desde siempre los matem´ aticos no es inmune a errores dif´ıciles —por no decir imposibles— de detectar, al menos al enfrentarse a la teor´ıa de conjuntos.

La primera muestra de la importancia de la l´ ogica fue un estrepitoso fracaso.

Frege hab´ıa creado (tras mucho tiempo de cuidadosa reflexi´ on) un sistema que pretend´ıa regular todo el razonamiento matem´ atico, de manera que cualquier resultado que un matem´ atico pudiera demostrar, deber´ıa poder demostrarse si- guiendo las reglas que con tanto detalle hab´ıa descrito. Russell observ´ o que la paradoja antes citada pod´ıa probarse en el sistema de Frege y que, a consecuen- cia de esto, cualquier afirmaci´ on, fuera la que fuera, pod´ıa ser demostrada seg´ un estas reglas, que se volv´ıan, por tanto, completamente in´ utiles.

Este desastre, no obstante, mostraba que la laboriosa tarea de Frege no era en modo alguno trivial, y urg´ıa encontrar una sustituta a su fallida teor´ıa. Con el tiempo surgieron varias opciones. La primera fueron los Principia Mathematica de Whitehead y Russell, de una terrible complejidad l´ ogica, a la que siguieron muchas teor´ıas bastante m´ as simples aunque quiz´ a menos naturales. Destacan entre ellas las teor´ıas de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y de von Neumann- Bernays-G¨ odel (NBG). Ambas constan de unos principios b´ asicos (axiomas) y unas reglas precisas de demostraci´ on que permiten deducir de ellos todos los teoremas matem´ aticos y —hasta donde hoy se sabe— ninguna contradicci´ on.

De esta forma la l´ ogica ha probado ser indispensable a la hora de trabajar en teor´ıa de conjuntos, hasta el punto de que es inconcebible el estudio de ´ esta sin un buen conocimiento de aqu´ ella.

El contenido de la l´ ogica matem´ atica En el apartado anterior hemos mostrado una de las funciones principales de la l´ ogica matem´ atica: servir de fundamento al razonamiento matem´ atico, evitando ambig¨ uedades y contradic- ciones mediante la determinaci´ on absolutamente precisa y rigurosa de lo que es un razonamiento matem´ atico v´ alido. Pero cuando la necesidad obliga al estudio de un determinado campo, el esfuerzo pronto es premiado con nuevos resultados inesperados:

Si uno tiene paciencia o un libro de geometr´ıa a mano, puede coger una regla y un comp´ as y dibujar un pent´ agono regular. Si ahora prueba suerte con un hept´ agono no encontrar´ a ning´ un libro de ayuda y la paciencia servir´ a de muy poco. Puede probarse que es imposible construir un hept´ agono regular sin m´ as ayuda que una regla (no graduada) y un comp´ as, pero, para demostrarlo no basta con coger una regla y un comp´ as y terminar no construy´endolo. Es nece- sario reflexionar sobre qu´e es construir con regla y comp´ as, dar una definici´ on precisa, comprobar que ´esta se corresponde con lo que usualmente se entiende por construir con regla y comp´ as y, finalmente, ver que eso es imposible para el caso del hept´ agono regular.

Igualmente, el tener una noci´ on precisa de demostraci´ on nos permite com-

prender y resolver problemas que de otro modo ser´ıan inabordables: cuando

un matem´ atico hace una conjetura, puede meditar sobre ella y, si tiene suerte,

la demostrar´ a o la refutar´ a. Pero tambi´en puede ser que no tenga suerte y no

consiga ni lo uno ni lo otro. Esto ´ ultimo puede significar dos cosas: que no es lo suficientemente buen matem´ atico o que pretend´ıa un imposible. Cantor lleg´ o a la locura en gran parte por la frustraci´ on que le produc´ıa el no lograr decidir la verdad o falsedad de una de sus conjeturas, la llamada hip´ otesis del conti- nuo. Con ayuda de la nueva l´ ogica se ha probado que ´esta no puede probarse ni refutarse, y no se trata de un caso aislado. Sucede que estas afirmaciones no surgen s´ olo en teor´ıa de conjuntos, donde son el pan de cada d´ıa, sino que son tambi´en abundantes en el an´ alisis y la topolog´ıa, incluso hay casos en ´ algebra.

Por ello el matem´ atico necesita en ocasiones de la l´ ogica para determinar sus propias posibilidades y limitaciones. El establecer este tipo de resultados de independencia es una de las partes m´ as importantes de la l´ ogica aplicada a la teor´ıa de conjuntos.

Por otra parte, toda teor´ıa suficientemente rica contiene resultados de in- ter´es interno, en s´ı mismo. La l´ ogica moderna, principalmente de la mano de G¨ odel, ha obtenido resultados sorprendentes e interesant´ısimos que nos permi- ten comprender mejor la capacidad y las limitaciones del razonamiento humano, resultados que justifican por s´ı solos el estudio de la l´ ogica. Por ejemplo: ¿Puede un matem´ atico probar que 2 + 2 = 5? El lector que responda: “Claramente no”, o “No, porque es mentira”, o “No, porque 2 + 2 = 4”, o similares, no tiene claros ciertos conceptos l´ ogicos. Est´ a claro que un matem´ atico puede demostrar que 2+2 = 4, m´ as a´ un, est´ a claro que 2+2 = 4, pero el problema es que la existencia de una demostraci´ on de que 2 + 2
= 5 o incluso de la falsedad de que 2 + 2 = 5 no aportan la menor garant´ıa de que no pueda traer alguien unos cuantos folios escritos seg´ un las “costumbres” de razonamiento de los matem´ aticos, aun cum- pliendo todas las condiciones que estipulan los l´ ogicos, pero que termine con la conclusi´ on 2 + 2 = 5. ¿Por qu´ e no puede ser? No es un problema evidente, hasta el punto de que puede probarse —como consecuencia del llamado segundo teorema de incompletitud de G¨ odel— que es imposible garantizar que no exista tal catastr´ ofica prueba. Lo demostraremos en su momento.

Sin ´ animo de ser exhaustivos, podr´ıamos decir que la l´ ogica moderna se divide en cuatro ´ areas:

a) Teor´ıa de la demostraci´ on.

b) Teor´ıa de modelos.

c) Teor´ıa de la recursi´ on.

d) Teor´ıa de conjuntos.

En esta primera parte haremos especial hincapi´e en la teor´ıa de la demos-

traci´ on, que es la parte m´ as cl´ asica de la l´ ogica, y usaremos la teor´ıa de modelos

y la teor´ıa de la recursi´ on como auxiliares para el estudio de la primera. Final-

mente aplicaremos los resultados que obtendremos a la teor´ıa de conjuntos como

ejemplo m´ as significativo. Vamos a probar la mayor´ıa de los resultados cl´ asicos

de la teor´ıa de la demostraci´ on, mientras que la teor´ıa de modelos y la teor´ıa de

la recursi´ on ser´ an tocadas muy superficialmente, con la suficiente profundidad

como para obtener resultados importantes que nos ser´ an necesarios, pero no

7 como para formarnos una idea del trabajo que se lleva a cabo en estos campos.

Este planteamiento es el m´ as conveniente para los objetivos que perseguimos, que son dos: por una parte dotar al lector de un bagaje l´ ogico m´ as que sufi- ciente para abordar con comodidad el estudio de la teor´ıa de conjuntos, y por otra, tratar de explicar a trav´ es de estos resultados la naturaleza del trabajo del matem´ atico.

Matem´ atica y metamatem´ atica Una gran parte de la l´ ogica moderna cons- tituye una rama m´ as de la matem´ atica, como pueda serlo el ´ algebra o el an´ alisis, pero hay otra parte que no puede ser considerada del mismo modo, y es preci- samente la que m´ as nos va a interesar. Se trata de la parte que se ocupa de los fundamentos de la matem´ atica. Para que un argumento matem´ atico sea acep- table es necesario que satisfaga unas condiciones de rigor, condiciones que los matem´ aticos aplican inconscientemente y que ahora nos proponemos establecer expl´ıcitamente, pero precisamente por eso ser´ıa absurdo pretender que los razo- namientos y discusiones que nos lleven a establecer el canon de rigor matem´ atico deban someterse a dicho canon, del que —en nuestra peculiar situaci´ on— no disponemos a priori. Esto plantea el problema de c´ omo ha de concebirse todo cuanto digamos hasta que dispongamos de la noci´ on de rigor matem´ atico.

Esto nos lleva a la distinci´ on entre matem´ atica y metamatem´ atica. Ma- tem´ atica es lo que hacen los matem´ aticos. Cuando hayamos alcanzado nuestro objetivo, podremos decir qu´ e es exactamente hacer matem´ aticas. De momento podemos describirlo grosso modo: Hacer matem´ aticas consiste en demostrar afirmaciones, en un sentido de la palabra “afirmaci´ on” que hemos de precisar y en un sentido de la palabra “demostrar” que hemos de precisar, a partir de unas afirmaciones fijas que llamaremos axiomas y que tambi´en hemos de pre- cisar.

Por otra parte, hacer metamatem´ aticas es razonar sobre afirmaciones, demostraciones, axiomas y, en general, sobre todo aquello que necesitemos ra- zonar para establecer qu´e es la matem´ atica y cu´ ales son sus posibilidades y sus l´ımites.

Por ejemplo, una afirmaci´ on matem´ atica es “los poliedros regulares son cinco”, mientras que una afirmaci´ on metamatem´ atica es “los axiomas de Peano son cinco”. Pese a su similitud formal, es crucial reconocer que son esencialmente distintas. Cuando hayamos “capturado” la noci´ on de razonamiento matem´ atico, podremos entender la primera de ellas como un teorema, una afirmaci´ on cuya verdad se funda en que puede ser demostrada matem´ aticamente, mediante un razonamiento que satisfar´ a todas las exigencias de rigor que habremos impuesto.

En cambio, la segunda no es un teorema demostrable a partir de ningunos axio- mas. Simplemente expresa que cuando escribimos en un papel los axiomas de Peano, escribimos cinco afirmaciones. Cuando contamos los axiomas de Peano hacemos lo mismo que cuando le contamos los pies a un gato. Podr´ a discutirse sobre qu´e es lo que hacemos, pero, ciertamente, no estamos demostrando un teorema formal.

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Ciertamente, esta concepci´ on radicalmente formalista de las matem´ aticas es m´ as que

cuestionable. En realidad no afirmo que las matem´ aticas sean s´ olo esto, sino tan s´ olo que ´ este

es exactamente el significado que tendr´ a el t´ ermino “matem´ atico” a lo largo de este libro.

Antes de continuar debo hacer una advertencia al lector: Los resultados que vamos a estudiar son todos hechos conocidos sobre la l´ ogica de primer orden, que merecen el respeto y la consideraci´ on habituales para con los resultados matem´ aticos, sin embargo, entre ´estos, hay interpretaciones subjetivas con las que unos l´ ogicos y matem´ aticos estar´ an de acuerdo mientras que otros podr´ an discrepar. Mi intenci´ on no ha sido la de exponer imparcialmente todos los pun- tos de vista posibles, sino la de decantarme en cada momento por lo que me parece m´ as adecuado, de modo que el lector es libre de estar de acuerdo o dis- crepar de lo que lea. Si el lector opta por lo segundo, deber´ıa tener presente que hay dos formas de discrepar: una destructiva y est´ eril, consistente ´ unicamente en discrepar, y otra constructiva y enriquecedora, consistente en proponer una alternativa. Tengo la convicci´ on de que el lector que trate de discrepar cons- tructivamente no discrepar´ a mucho.

La diferencia esencial entre una afirmaci´ on o un razonamiento matem´ atico y una afirmaci´ on o un razonamiento metamatem´ atico es que los primeros se apoyan esencialmente en una teor´ıa axiom´ atica, y los segundos no. Cuando afirmamos que “los poliedros regulares son cinco”, aunque literalmente esto es una afirmaci´ on en castellano, si la consideramos como una afirmaci´ on ma- tem´ atica correcta es porque podr´ıamos enunciarla en el lenguaje de la teor´ıa de conjuntos y demostrarla seg´ un la l´ ogica de la teor´ıa de conjuntos. Por el contrario, la afirmaci´ on “los axiomas de Peano son cinco” es una afirmaci´ on en castellano, que podr´ıamos traducir al ingl´ es o al franc´es, pero no tiene sentido considerarla como un teorema integrante de un sistema axiom´ atico.

Todo ma- tem´ atico, tanto si conoce expl´ıcitamente la teor´ıa axiom´ atica en la que trabaja como si no, entiende perfectamente qu´e es razonar formalmente en el seno de una teor´ıa y, aunque no sepa —conscientemente— mucha l´ ogica, entiende que eso es precisamente lo que hace y lo que da rigor a su trabajo. El problema es, pues, explicar c´ omo puede razonarse de forma rigurosa fuera de toda teor´ıa axiom´ atica. Dedicaremos a este problema las secciones siguientes. Para acabar

´esta a˜ nadiremos ´ unicamente la siguiente advertencia:

Un matem´ atico puede encontrar esot´ericos e incomprensibles o naturales y simples los resultados de los cap´ıtulos siguientes, no en funci´ on de su inteligen- cia o de su capacidad como matem´ atico, sino exclusivamente en funci´ on de su capacidad de librarse de los prejuicios o de la “deformaci´ on profesional” que le impidan asumir que no est´ a leyendo un libro de matem´ aticas. Si decide pres- cindir de las indicaciones que acompa˜ nan a los resultados, m´ as cercanas a la filosof´ıa que a la matem´ atica en s´ı, corre el riesgo de entender todos los pasos intermedios pero no entender ninguna de las conclusiones.

El formalismo radical Antes de esbozar una concepci´ on razonable para la metamatem´ atica, ser´ a conveniente que descartemos de antemano la alternativa a la que es proclive una buena parte de los matem´ aticos no familiarizados con

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En realidad la metamatem´ atica s´ı puede formalizarse, como cualquier teor´ıa razonable,

pero lo cierto es que en nuestro contexto no podemos hacerlo, por lo que es m´ as aproximado a

la verdad decir que no tiene sentido considerar a sus afirmaciones como teoremas de ninguna

teor´ıa formal.

9 la l´ ogica: el formalismo radical. Ya hemos comentado que las contradicciones que achacaban a la matem´ atica de finales del siglo XIX fueron desterradas es- tipulando unos axiomas y unas reglas de razonamiento l´ ogico cuidadosamente seleccionadas para este fin. M´ as all´ a de cubrir esta necesidad elemental de con- sistencia, el m´etodo axiom´ atico proporciona al matem´ atico una seguridad sin precedentes: decidir si un razonamiento es v´ alido o no cuando la teor´ıa a la que pretende integrarse est´ a debidamente axiomatizada es mera cuesti´ on de c´ alculo, una tarea mec´ anica que, al menos en teor´ıa, puede realizar incluso un ordenador debidamente programado.

Esto ha hecho que algunos matem´ aticos, convencidos de que el m´etodo axiom´ atico es todo lo que necesitan para su trabajo, no reconozcan otra forma de razonamiento leg´ıtimo. Un formalista radical es alguien que no acepta un razonamiento a no ser que venga precedido de una enumeraci´ on de los conceptos que va a involucrar y de los axiomas que se van a aceptar sin prueba, y de modo que todo cuanto siga sean consecuencias l´ ogicas formales de los axiomas dados (sin perjuicio de que, en la mayor´ıa de los casos, estos principios se omitan por consabidos).

Es importante destacar el significado del adjetivo “formal” en la expresi´ on

“consecuencias l´ ogicas formales”. Una deducci´ on formal es una deducci´ on que no tiene en cuenta para nada el posible significado de las afirmaciones que involucra. Por ejemplo, de “todo H es M ” y “S es H” se deduce formalmente que “S es M ”, sin que importe lo m´ as m´ınimo a qu´e hagan referencia las letras H, M y S. Si uno quiere ver ah´ı el silogismo “Todos los hombres son mortales”,

“S´ ocrates es un hombre”, luego “S´ ocrates es mortal”, es libre de pensarlo as´ı, pero la validez del razonamiento no depende de esa interpretaci´ on ni de ninguna otra.

Hilbert fue el primero en concebir la posibilidad de reducir la totalidad de la matem´ atica a una teor´ıa axiom´ atica formal, idea extremadamente fruct´ıfera y poderosa. La falacia del formalista radical —en la que, desde luego, Hilbert no cay´ o— consiste en creer que no hay nada m´ as. En las secciones siguientes veremos qu´e m´ as hay, pero en ´esta hemos de convencernos de que algo m´ as tiene que haber.

No es cierto que el formalismo radical baste para fundamentar la matem´ atica.

El problema es que establecer un lenguaje, unos axiomas y unas reglas de razo- namiento requiere ciertos razonamientos: hay que discutir cu´ ales son los signos del lenguaje, cu´ ales son las combinaciones aceptables de esos signos, cu´ ales de ellas se toman concretamente como axiomas, hay que demostrar algunos hechos generales sobre demostrabilidad, etc. ¿C´ omo podr´ıan entenderse esos razona- mientos si no admiti´eramos razonamientos que no provengan de unos axiomas prefijados?, ¿hemos de presentar axiom´ aticamente la metamatem´ atica?, ¿y c´ omo presentamos los axiomas necesarios para axiomatizar la metamatem´ atica?, ¿He- mos de construir una metametamatem´ atica?

Por poner un ejemplo expl´ıcito: La teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es el sistema axiom´ atico com´ unmente aceptado como fundamento de la ma-

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Por eso una buena definici´ on del formalista (radical) es la que lo caracteriza como alguien

incapaz de entender algo a menos que carezca de significado.

tem´ atica. En efecto, a partir de sus axiomas se pueden demostrar todos los teoremas matem´ aticos, en particular de ellos se deducen las propiedades de los conjuntos infinitos. Un formalista radical s´ olo aceptar´ a razonamientos que invo- lucren el concepto de infinitud a partir del momento en que las propiedades de los conjuntos infinitos se hayan demostrado a partir de los axiomas, pero sucede que la teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel tiene infinitos axiomas. Por con- siguiente, el formalismo radical conduce a descalificar como falto de rigor a su propio canon de rigor. Por eso s´ olo son formalistas radicales quienes, con inde- pendencia de su capacidad como matem´ aticos, jam´ as han abordado con detalle

—no a nivel te´ orico general, sino a nivel t´ecnico— el problema de fundamentar rigurosamente la matem´ atica.

El finitismo No toda la matem´ atica necesita una fundamentaci´ on axiom´ atica formal. ´ Esta es necesaria s´ olo porque la matem´ atica trata con conjuntos infini- tos. Si un matem´ atico trabaja exclusivamente con conjuntos finitos, por ejem- plo, grafos finitos, grupos finitos, etc., puede prescindir por completo de axiomas y reglas de razonamiento formal. Nadie ha encontrado jam´ as una paradoja que involucre exclusivamente conjuntos finitos

ni error de razonamiento sobre con- juntos finitos que no sea detectable sin m´ as que prestar suficiente atenci´ on al discurso. Esto vuelve remilgados y vanos —en este contexto— muchos de los escr´ upulos del formalista radical. Pongamos algunos ejemplos. Es f´ acil calcular 3 × 4 = 12 y 4 × 3 = 12, lo que nos convence de que 3 × 4 = 4 × 3. Hay, sin embargo, una forma de razonarlo que es especialmente fruct´ıfera. Pensemos en el rect´ angulo siguiente:

Podemos considerarlo formado por 3 veces 4 cuadrados o por 4 veces 3 cuadrados, lo que muestra que, necesariamente 3 × 4 = 4 × 3. Esto ya lo sab´ıamos, pero hay una diferencia: si calculamos 3 + 3 + 3 + 3 y 4 + 4 + 4 y vemos que da lo mismo, sabemos eso y nada m´ as que eso, mientras que el argumento del rect´ angulo nos convence de que m × n = n × m para cualquier par de n´ umeros m y n (no nulos, en principio). En efecto, est´ a claro que, sean quienes sean m y n, siempre podremos construir un rect´ angulo formado por m filas de n cuadrados o, equivalentemente, por n columnas de m cuadrados.

Vemos as´ı que —para desesperaci´ on de un formalista radical— la prueba de un caso particular contiene la prueba del caso general.

Quien considere que de un caso particular —o incluso de varios— nunca es l´ıcito inferir el caso general, est´ a generalizando il´ıcitamente a partir de uno o

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Podr´ıa objetarse que “el menor n´ umero natural no definible con menos de doce palabras”

es contradictorio, pero es que aqu´ı la noci´ on de “definible” no est´ a bien definida.

11 varios casos particulares. Por ejemplo, no es muy dif´ıcil probar que la ecuaci´ on x

+ y

= z

no tiene soluciones enteras, pero la prueba no muestra m´ as que eso, de modo que no es l´ıcito deducir de ella que la ecuaci´ on x

+ y

= z

no tiene soluciones enteras para n > 2. El hecho de que los primeros n´ umeros de la forma 2

+ 1 sean primos no nos permite asegurar que todo ellos lo sean.

En ambos casos tenemos meras comprobaciones aisladas que no aportan nada sobre el caso general. Por el contrario, el argumento del rect´ angulo contiene un esquema uniforme de razonamiento, en el sentido de que cualquiera que com- prenda el argumento se sabe capacitado para generar razonamientos concretos que prueben la conmutatividad de cualquier par de factores.

El argumento del rect´ angulo es un ejemplo de razonamiento finitista que nos proporciona una verdad sobre los n´ umeros naturales. El formalista radical preguntar´ a qu´e debemos entender por “n´ umeros naturales” y “producto” en dicho razonamiento. No podemos permitirnos el lujo de responderle como a ´ el le gustar´ıa: necesitamos los n´ umeros naturales para fundamentar la matem´ atica, es decir, mucho antes de estar en condiciones de responder a las exigencias del formalista. Eso no nos exime de responder:

C´ ojase a un ni˜ no que no sepa contar pero que est´e en edad de aprender.

Ens´e˜ nesele a contar. Con ello, el ni˜ no habr´ a pasado de no saber contar a saber contar. Algo habr´ a aprendido. Lo que ha aprendido es lo que son los n´ umeros naturales. Ser´ıa in´ util que repitiera aqu´ı lo que no ser´ıa ni m´ as ni menos que lo que el lector aprendi´ o en su infancia. Del mismo modo, “multiplicar” es eso que todos sabemos hacer cuando nos dan una expresi´ on como “12 × 345 =” y nos piden que la completemos. Es una operaci´ on que nos lleva de dos n´ umeros a otro n´ umero de forma objetiva, en el sentido de que dos personas cualesquiera que sepan multiplicar llegar´ an siempre al mismo resultado y, de no ser as´ı, ser´ a f´ acil sacar de su error a quien se haya equivocado.

Supongamos que hemos ense˜ nado a contar a un ni˜ no de tal modo que ´este es capaz de decidir cu´ al de dos n´ umeros naturales dados (en forma decimal, por ejemplo) es mayor as´ı como de escribir el siguiente de un n´ umero dado.

En cuanto tenga esto debidamente asimilado, preg´ untesele cu´ al es el mayor de todos los n´ umeros. Sin duda responder´ a que no hay tal n´ umero, pues ´el se sabe capaz de superar cualquier n´ umero que le sea dado. A poco que se le explique la diferencia entre lo finito y lo infinito, sabr´ a ver ah´ı la prueba de que el conjunto de los n´ umeros naturales es infinito. Quiz´ a no sepa si el conjunto de las estrellas es finito o infinito, pero sabr´ a que el conjunto de los dedos de su mano es finito y el conjunto de los n´ umeros es infinito.

El punto crucial es que estos conocimientos no son precarios y basados en la credulidad de los ni˜ nos, sino que son firmes y objetivos, en el sentido de que, en cuanto un ni˜ no ha comprendido adecuadamente el significado de los t´erminos “n´ umero”, “finito” e “infinito”, tal vez podremos enga˜ narle y hacerle

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La clave est´ a en que se sabe capacitado a priori. En realidad, cualquiera est´ a capacitado

para ello aunque pueda no saberlo: basta calcular m × n y n × m y comprobar que da lo

mismo. La diferencia es que quien conoce el argumento del rect´ angulo sabe de antemano que

su argumento va a funcionar con factores cualesquiera, mientras que quien hace las operaciones

no tiene la seguridad en cada caso hasta que no acaba los c´ alculos. Por eso no puede asegurar

que la multiplicaci´ on es conmutativa.

creer cualquier cosa sobre el n´ umero de estrellas, pero jam´ as conseguiremos que crea que tiene infinitos dedos en su mano o que hay una cantidad finita de n´ umeros naturales. Las afirmaciones estrictamente matem´ aticas sobre los n´ umeros nunca han generado ni pueden generar pol´ emica sobre si son verdaderas o falsas.

Estos ejemplos pretenden mostrar que es posible razonar con objetividad, seguridad, precisi´ on y, por consiguiente, rigurosamente, sobre algunos conceptos sin depender de sistemas axiom´ aticos. ¿De qu´e conceptos, concretamente? Es muy dif´ıcil, si no imposible, establecer fronteras precisas. El finitismo consiste en aceptar que el razonamiento humano no corre riesgos de extrav´ıo mientras se limite a considerar conceptos y procesos finitos. As´ı, Hilbert, en su pro- grama de fundamentaci´ on de la matem´ atica, propugn´ o la b´ usqueda de un sis- tema axiom´ atico adecuado para este fin, de modo que, tanto la construcci´ on del sistema como la comprobaci´ on de que satisfac´ıa los requisitos necesarios para considerarlo aceptable, ten´ıa que llevarse a cabo mediante argumentos finitistas que —por consiguiente— no requirieran la teor´ıa buscada y no nos llevaran as´ı al callej´ on sin salida al que conduce inexorablemente el formalismo radical.

En definitiva, la propuesta de Hilbert era fundamentar la matem´ atica, no finitista en su mayor parte, con una metamatem´ atica finitista, que carece de los problemas caracter´ısticos de la matem´ atica no finitista —que el formalista radical extrapola catastr´ oficamente a toda la matem´ atica— y por consiguiente no requiere de una fundamentaci´ on formal para justificar su solidez.

Esto no significa que no se pueda especular sobre la fundamentaci´ on de la metamatem´ atica, pero ´esta ya no corresponde al ´ ambito de la matem´ atica o de la l´ ogica, sino de la teor´ıa del conocimiento, y el matem´ atico puede prescindir de tratar este problema ya que, en todo caso, la cuesti´ on ser´ıa en qu´e se funda nuestra capacidad de razonamiento b´ asico, no si dicha capacidad es o no s´ olida y fiable.

M´ as all´ a del finitismo Aunque la mayor parte de la metamatem´ atica puede desarrollarse en el marco finitista que exig´ıa Hilbert, lo cierto es que algunos resultados valiosos, como el teorema de completitud sem´ antica de G¨ odel, exigen nuestra confianza en argumentos algo m´ as audaces. Por ello conviene cambiar la pregunta m´ as t´ımida de ¿qu´e tipo de razonamientos necesitamos sostener sin el apoyo de una teor´ıa axiom´ atica? por la m´ as ambiciosa de ¿qu´e tipo de razonamientos podemos sostener sin el apoyo de una teor´ıa axiom´ atica?

La tesis general que adoptaremos aqu´ı es la siguiente: Para que un razona- miento sea aceptable metamatem´ aticamente ha de cumplir dos condiciones:

a) Ha de ser convincente, en el sentido de que nadie que lo comprenda pueda

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Otra cosa es polemizar sobre si podemos asegurar que cualquier afirmaci´ on sobre n´ umeros es verdadera o falsa, especialmente cuando no sabemos c´ omo comprobarla, pero jam´ as —que yo sepa— ha habido dos personas que se creyeran con argumentos racionales que probaran tesis opuestas sobre una propiedad de los n´ umeros naturales o de conjuntos finitos en general.

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Evidentemente, se puede dudar de la fiabilidad de nuestra capacidad de razonamiento

finitista como se puede dudar de si existe o no el mundo, pero eso es escepticismo, un mal que

s´ olo afecta a los que hablan por hablar y a los que piensan por pensar.

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tener dudas serias

sobre la verdad de su tesis.

b) Todas las afirmaciones involucradas han de tener un significado preciso y objetivo independiente de los argumentos que las demuestren.

Nos encontramos aqu´ı con un fen´ omeno omnipresente en la metamatem´ atica:

mientras el matem´ atico est´ a acostumbrado a ir de lo general a lo particular (as´ı por ejemplo, s´ olo despu´es de definir la noci´ on general de continuidad de una funci´ on es cuando se plantea si una funci´ on dada es o no continua) esta actitud rara vez es posible en la metamatem´ atica. De este modo, aunque no tene- mos ninguna definici´ on general, objetiva y precisa de qu´ e es un razonamiento convincente —y por consiguiente el enunciado de la condici´ on a) es obviamente ambiguo e impreciso—, afortunadamente, no necesitamos tenerla para reconocer un argumento objetivo y preciso (en particular convincente) cuando lo tenemos delante. Por ejemplo, el argumento del rect´ angulo demuestra la conmutatividad del producto de n´ umeros naturales sin dejar lugar a dudas. Su poder de con- vicci´ on es objetivo en el sentido de que no depende de la capacidad de sugesti´ on o de dejarse enga˜ nar de quien lo escucha, sino que, por el contrario, nadie que lo conozca puede albergar ya el menor recelo de encontrarse con un par de n´ umeros que al multiplicarlos en uno y otro orden produzcan resultados distintos.

La segunda condici´ on est´ a relacionada con la diferencia fundamental entre matem´ atica y metamatem´ atica: cuando un matem´ atico trabaja en el seno de una teor´ıa axiom´ atica formal, no est´ a legitimado a hablar de la verdad o falsedad de las afirmaciones que demuestra. Para ´el s´ olo hay afirmaciones demostrables y no demostrables o, si se quiere hilar m´ as fino, afirmaciones demostrables, refutables e independientes de sus axiomas (las que no se pueden demostrar o refutar). En cambio, en metamatem´ atica no podemos hacer esta distinci´ on ya que no tenemos una noci´ on precisa de lo que es ser (metamatem´ aticamente) demostrable. Nuestra ´ unica posibilidad, pues, de distinguir afirmaciones como 2 + 2 = 4, 2 + 2 = 5 y 2

= ℵ

es decir que la primera es verdadera, la segunda es falsa y la tercera no tiene significado metamatem´ atico porque no cumple la condici´ on b). Una vez m´ as, no tenemos una definici´ on general de qu´e quiere decir que una afirmaci´ on sea verdadera, pero s´ı sabemos lo que quiere decir que algunas afirmaciones sean verdaderas, y esas afirmaciones son las ´ unicas que podemos permitirnos el lujo de manejar metamatem´ aticamente. Pongamos algunos ejemplos.

Sabemos demostrar que el producto de n´ umeros naturales es conmutativo, pero, independientemente de cualquier razonamiento que nos convenza de ello, sabemos lo que eso significa: significa que si tomamos dos n´ umeros cualesquiera y hacemos lo que sabemos que hay que hacer para calcular su producto, el resultado es el mismo independientemente del orden en que los tomemos. A priori habr´ıa dos posibilidades: que hubiera pares de n´ umeros para los que esto fuera falso o que no los hubiera. Tenemos un razonamiento que nos convence de que la primera posibilidad es, de hecho, imposible, pero es esencial que antes de tal razonamiento ya sab´ıamos lo que significaban ambas opciones.

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Esto excluye a las dudas que tengan su origen en un escepticismo sistem´ atico.

Un ejemplo m´ as sofisticado: En el cap´ıtulo VII definiremos una propiedad de n´ umeros naturales a la que de momento podemos llamar “ser simp´ atico”.

Existe un procedimiento para saber si un n´ umero dado es simp´ atico o no, exac- tamente de la misma naturaleza que el que nos permite saber si es primo o no.

Pero suceden los siguientes hechos:

a) No es posible probar que todo natural es simp´ atico.

b) Hasta la fecha nadie ha encontrado un natural antip´ atico y es muy dudoso que exista alguno.

Tiene sentido afirmar que todo natural es simp´ atico. Significa que 0 es simp´ atico, 1 es simp´ atico, 2 es simp´ atico . . . etc. o sea, que por mucho que uno avance en el examen de n´ umeros m´ as y m´ as grandes nunca se encuentra una excepci´ on.

La afirmaci´ on “Todos los naturales son simp´ aticos” es metamatem´ aticamen- te aceptable porque tiene sentido decir que es verdadera o falsa independien- temente de lo que podr´ıa hacerse por justificarla (lo que, seg´ un lo dicho, es imposible). No sabemos si es verdadera o falsa, pero sabemos lo que es que sea verdadera o falsa.

El concepto de “n´ umero simp´ atico” es finitista, pues comprobar si un n´ umero es o no simp´ atico se reduce a un n´ umero finito de c´ alculos. No obstante, podemos definir tambi´ en un n´ umero “supersimp´ atico” como un n´ umero tal que todos los n´ umeros mayores que ´el son simp´ aticos. Esta noci´ on ya no es finitista. De hecho no tenemos manera de saber si 3 es supersimp´ atico o no, pero lo importante es que tiene sentido: o lo es o no lo es, o hay un n´ umero antip´ atico mayor que 3 o no lo hay.

Pensemos ahora en el conjunto A de todos los conjuntos cuyos elementos son n´ umeros naturales. No podemos asignar un contenido metamatem´ atico a esta definici´ on. Una vez m´ as nos encontramos con el mismo fen´ omeno: sabemos lo que es el conjunto de los n´ umeros pares, el de los n´ umeros primos, el de las potencias de dos, e infinitos m´ as, pero no tenemos ninguna definici´ on precisa de lo que es un conjunto de n´ umeros naturales en abstracto, ni tenemos, en particular, representaci´ on alguna de la totalidad de tales conjuntos. Todas las contradicciones de la teor´ıa de conjuntos surgen de la pretensi´ on de hablar de colecciones de objetos en sentido abstracto como si supi´eramos de qu´e estamos hablando.

Quiz´ a el lector crea tener una representaci´ on intuitiva del conjunto A, pero deber´ a reconsiderarlo ante los hechos: los axiomas de la teor´ıa de conjuntos con- tienen todo lo que los matem´ aticos saben decir sobre su presunta intuici´ on de los conjuntos abstractos. En particular, de ellos se deducen muchas propiedades de A, tales como que no es numerable. Sin embargo, quedan muchas afirmacio- nes sobre A que no pueden ser demostradas o refutadas. La m´ as famosa es la hip´ otesis del continuo: ¿Existe un conjunto infinito B ⊂ A tal que B no pueda biyectarse con el conjunto de los n´ umeros naturales y tampoco con A? Si el

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Se trata de “no ser el n´ umero de G¨ odel de la demostraci´ on de una contradicci´ on en ZFC.

15 conjunto A tuviera un contenido intuitivo preciso, esta afirmaci´ on tendr´ıa que ser verdadera o falsa. Ahora bien, veremos que es posible construir modelos de la teor´ıa de conjuntos, es decir, podemos encontrar unos objetos a los que, si los llamamos “conjuntos” satisfacen todos los axiomas que los matem´ aticos postulan sobre los conjuntos, de modo que la hip´ otesis del continuo, interpre- tada como una afirmaci´ on sobre estos objetos, resulta ser verdadera, mientras que es posible hacer lo mismo con otra interpretaci´ on distinta de la noci´ on de

“conjunto” y de tal modo que la hip´ otesis del continuo resulta ser falsa. M´ as precisamente, interpretando de formas distintas esa noci´ on de “conjunto” dentro del margen de libertad que nos concede el hecho de que los axiomas de la teor´ıa de conjuntos no la determinan por completo, podemos construir dos objetos A

y A

, ambos con el mismo derecho a ser llamados “la totalidad de los conjuntos de n´ umeros naturales” (de acuerdo con distintas nociones de “conjunto”) y de modo que una cumpla la hip´ otesis del continuo y la otra no. ¿C´ omo se puede digerir esto?

S´ olo hay una posibilidad: reconocer que nuestro conocimiento de la noci´ on de “conjunto” es impreciso. S´ olo sabemos que los conjuntos han de cumplir unas propiedades b´ asicas, pero existen distintas interpretaciones posibles de la pala- bra “conjunto” que hacen que esas condiciones b´ asicas sean satisfechas. Cuando decimos que A no tiene un significado metamatem´ atico preciso no queremos de- cir que A no signifique nada en absoluto, sino m´ as bien que puede significar infinitas cosas distintas y no somos capaces de precisar a cu´ al de todas que- remos referirnos. Por ello nuestra ´ unica posibilidad para hablar de A sin caer en vaguedades o contradicciones es postular unos axiomas que recojan lo que estamos suponiendo que cumplen los conjuntos y, a partir de ah´ı, podremos trabajar con seguridad.

Este es el origen de todos los temores y recelos del formalista radical. Esta ´ clase de fen´ omenos son los que —en ciertas situaciones— hacen imposible razo- nar cabalmente sin el apoyo de una teor´ıa formal. Pero si queremos fundamentar los razonamientos sobre conjuntos abstractos y entenderlos mejor, hemos de em- pezar por comprender que los problemas est´ an limitados a este terreno: al de los conjuntos abstractos, pues s´ olo as´ı comprenderemos que es posible una me- tamatem´ atica basada no en la forma, sino en el contenido de las afirmaciones que involucra.

Este punto de vista nos permite ir un poco m´ as lejos que el finitismo estricto.

As´ı, por ejemplo, ya hemos visto que la afirmaci´ on 3 es supersimp´ atico no es finitista pero s´ı es aceptable. Notemos que involucra un infinito real, en el sentido de que, aunque aparentemente sea una afirmaci´ on sobre el n´ umero 3, en realidad es una afirmaci´ on sobre la totalidad de los n´ umeros naturales, no sobre una cantidad finita de ellos. Es posible definir una propiedad m´ as d´ebil que la de ser simp´ atico y supersimp´ atico

de modo que, en este nuevo sentido, s´ı pueda probarse que 3 es supersimp´ atico, y sin que esto deje de ser una afirmaci´ on sobre la totalidad de los n´ umeros naturales. La prueba es un argumento que nos convence de que jam´ as encontraremos un n´ umero natural que no sea (d´ebilmente) simp´ atico e involucra esencialmente a los n´ umeros naturales

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Por ejemplo, sin m´ as que sustituir ZFC por la aritm´ etica de primer orden.

como conjunto infinito. De todos modos, los argumentos no finitistas aparecer´ an en muy contadas ocasiones en la teor´ıa, bien sea porque no aparezcan en sentido estricto, bien porque con peque˜ nas modificaciones t´ecnicas podr´ıan eliminarse sin dificultad.

Platonismo En contra de lo que podr´ıa parecer, nada de lo que acabamos de discutir pretende negar la posibilidad de que s´ı exista, despu´es de todo, una noci´ on objetiva de “conjunto” en sentido abstracto. Los matem´ aticos que creen que as´ı es se llaman “realistas” o “plat´ onicos”. No intentar´e defender una postura que no comparto, pero s´ı es importante se˜ nalar que nada en este libro contradice el platonismo. Lo ´ unico que debemos tener presente es que, si existe una interpretaci´ on natural de la teor´ıa de conjuntos, la ´ unica forma que tenemos de acercarnos a ella con seguridad y rigor es a trav´es de una sucesi´ on de sistemas axiom´ aticos que vayan incorporando cada vez m´ as axiomas para cubrir los agujeros de los sistemas anteriores, pero nunca metamatem´ aticamente.

El problema, entonces, es decidir cu´ al de las dos alternativas a que da lugar

una afirmaci´ on indecidible en un sistema axiom´ atico es la verdadera en esa

pretendida interpretaci´ on natural de la teor´ıa. As´ı, si se concluye que la hip´ otesis

del continuo debe ser verdadera tendremos que a˜ nadirla como un nuevo axioma

y entender que los resultados que se demuestran con la negaci´ on de la hip´ otesis

del continuo tratan sobre unos objetos artificiales que no son los conjuntos en

el sentido usual. Naturalmente tambi´ en podr´ıa darse el caso contrario y el

problema es la falta de criterios para distinguir lo verdadero de lo falso a este

nivel.

Cap´ıtulo I

Lenguajes formales de primer orden

Nuestro objetivo a medio plazo es hacernos con una definici´ on de demos- traci´ on matem´ atica precisa y rigurosa, que nos permita manipular con seguri- dad los conceptos de la matem´ atica abstracta. Si observamos lo que hace un matem´ atico cuando demuestra, vemos que no es sino escribir ordenadamente una afirmaci´ on tras otra, por lo que una demostraci´ on ser´ a una sucesi´ on de afirmaciones. Estas afirmaciones las hace cada matem´ atico en su propia lengua, ya sea en castellano, franc´es, ingl´es, alem´ an o japon´es, pero sucede que estos lenguajes son demasiado complejos para ser analizados fruct´ıferamente a nivel te´ orico. Por ello en primer lugar hemos de construirnos un lenguaje apropiado para nuestro prop´ osito, es decir, un lenguaje que, por una parte est´ e despojado de relativos, indefinidos, subjuntivos y tantas cosas que tanto enriquecen nues- tra lengua, pero que tanto la complican, y que, al mismo tiempo, siga siendo capaz de expresar todo lo que un matem´ atico necesita. Dedicamos este primer tema a presentar y estudiar una familia de lenguajes con estas caracter´ısticas.

1.1 Introducci´ on a los lenguajes formales

Ante la posibilidad de que el lector —aun si tiene conocimientos matem´ a- ticos— no est´e familiarizado con los conceptos b´ asicos que hemos de manejar, vamos a introducirlos aqu´ı de forma poco rigurosa pero m´ as did´ actica que en la exposici´ on definitiva que tendr´ a lugar despu´es. Esta secci´ on no tiene, pues, m´ as objeto que la de familiarizar al lector con las ideas b´ asicas que vamos a manejar.

Nada de lo dicho aqu´ı ser´ a usado luego. Quien descubra contradicciones entre algo dicho aqu´ı y algo dicho m´ as adelante, que se quede, por supuesto, con lo dicho luego y que piense si no ha sido mejor tener primero una idea equivocada pero clara y despu´es correcta y clara que no tener siempre una idea correcta e ininteligible.

Por razones que ser´ıa dif´ıcil justificar ahora, resulta conveniente construir

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lenguajes para hablar no s´ olo de lo que ocupa a los matem´ aticos, sino de cual- quier cosa. Construyamos por ejemplo un lenguaje para hablar de todas las personas que habitan la Tierra.

• En primer lugar ser´a conveniente tener nombres para algunas de estas personas. Por ejemplo “p” puede nombrar a Pedro, “j” puede nombrar a Juan, “a” a Ana y “m” a Mar´ıa. A estos signos que usaremos para nom- brar los objetos de los que queremos hablar los llamaremos constantes. As´ı,

“p”, “j”, “a” y “m” son constantes de nuestro lenguaje. Vali´endonos del hecho de que sobre la Tierra hay un n´ umero finito de personas, podr´ıamos tomar una constante para nombrar a cada una de ellas, pero no es obli- gatorio hacerlo, podemos, si queremos, quedarnos con estas ´ unicas cuatro constantes.

Los matem´ aticos usan constantes como “0”, “1”, “2”, “N”, “R”, “π” entre otras muchas.

• Podemos ahora tomar signos que expresen hechos, equivalentes a los ver- bos en las lenguas naturales. Los llamaremos relatores. Un relator podr´ıa ser “H”, que signifique “ser un hombre”, de manera que “Hp” significa

“Pedro es un hombre”. Pongamos que “A” significa “ser amigos”, de manera que “Apm” significa “Pedro y Mar´ıa son amigos”.

Diremos que “H” es un relator mon´ adico o de rango 1, mientras que “A”

es un relator di´ adico o de rango 2. El rango de un relator es el n´ umero de complementos que necesita para tener sentido. Por supuesto podemos tomar cuantos relatores queramos de cualquier rango no nulo.

Por conveniencia no vamos a admitir relatores de rango variable. Uno podr´ıa pensar que “A” puede usarse con cualquier n´ umero de complemen- tos de manera que “Apm” significa “Pedro y Mar´ıa son amigos”, “Apma”

significa “Pedro, Mar´ıa y Ana son amigos”, etc. No aceptaremos esto, sino que cada relator tendr´ a un rango fijo y as´ı, si decidimos que “A” es di´ adico, convendremos en que “Apma” no tiene sentido. La raz´ on es que esto nos evitar´ a complicaciones t´ecnicas y, de todos modos, nuestro len- guaje no pierde capacidad expresiva. En este caso concreto, el intento de afirmaci´ on “Apma” puede expresarse correctamente usando varias veces el relator “A” como es debido.

Exigiremos que todo lenguaje tenga un relator di´ adico que representare- mos “=” y al que llamaremos igualador, cuyo significado ser´ a “ser igual”

en el sentido de ser una misma cosa. En lugar de escribir “= pa” escribi- remos “p = a”, que significa “Pedro es Ana” (afirmaci´ on falsa, pero bien escrita).

Los matem´ aticos usan muchos relatores, como “=”, “ ∈”, “⊂”, “≤”, etc.

• A partir de unas afirmaciones podemos construir otras m´as complejas usando para ello los llamados conectores l´ ogicos. Son cinco:

1 El m´ as sencillo es el negador “ ¬” (l´ease “no”). Si “Hp” significa

“Pedro es un hombre”, “ ¬Hp” significa “Pedro no es un hombre”.

1.1. Introducci´ on a los lenguajes formales 19 En general, si α es una afirmaci´ on verdadera, ¬α significa justo lo contrario y, por tanto, es falsa, y viceversa.

2 Otro conector es el conjuntor o conjunci´ on “ ∧” (l´ease “y”). As´ı,

“Hp ∧ ¬Ha” significa “Pedro es un hombre y Ana no es un hombre”, es decir, si α y β son dos afirmaciones, α ∧ β es la afirmaci´on que afirma lo que afirma α y lo que afirma β. El signo “ ∧” se comporta en nuestro lenguaje exactamente igual como se comporta en castellano la conjunci´ on “y”.

3 Si el conjuntor es “y”, el disyuntor o disyunci´ on es “o”, y lo re- presentaremos por “ ∨”. En castellano hay dos formas de usar la conjunci´ on “o”. Cuando a Juanito le dice su pap´ a: “Para tu cum- plea˜ nos te puedo regalar la bicicleta o el bal´ on de f´ utbol”, no vale que Juanito responda: “Bien, reg´ alamelos”, porque lo que su padre quiere es que elija. Aqu´ı “o” significa “lo uno o lo otro, pero no las dos cosas”. Pero cuando a Juanito le dice la abuelita: “Es hora de merendar, come galletas o bizcochos”, esta vez Juanito no tiene que elegir, y su abuelita se pondr´ a muy contenta si come de todo y se hace muy mayor. Aqu´ı “o” significa “lo uno o lo otro, o tambi´ en las dos cosas”. Pues bien, para nosotros “ ∨” significar´a siempre esto ´ultimo.

“Hp ∨ Ha” significa “Pedro es un hombre o Ana es un hombre”, lo cual es cierto porque Pedro es un hombre. Pero si digo “Hp ∨ Hj”, sigo estando en lo cierto porque, en sentido no exclusivo —como la abuelita—, Pedro es un hombre o Juan es un hombre: ambos lo son.

Todo esto puede resumirse en las tablas siguientes:

α β α ∧ β α ∨ β

V V V V

V F F V

F V F V

F F F F

As´ı, si las afirmaciones α y β son ambas verdaderas, entonces α ∧ β tambi´en lo es, al igual que α ∨ β; si α es verdadera y β falsa α ∧ β es falsa, mientras que α ∨ β es verdadera etc.

Naturalmente tambi´en el negador tiene su tabla, m´ as sencilla, puesto que s´ olo depende de un argumento:

α ¬α

V F

F V

4 El siguiente conector es el m´ as pol´emico. Se llama implicador y lo

representaremos “ →” (l´ease “implica”). La idea es que α → β ha

de significar “si α, entonces β”, pero esto puede entenderse de varias

maneras. El problema se remonta al siglo III a.C., cuando ya los es-

toicos analizaban este tipo de enunciados y crearon una l´ ogica mucho

mejor que la de Arist´ oteles pero que, al no estar respaldada por una reputaci´ on como la del estagirita, qued´ o en el olvido.

La controversia sobre c´ omo interpretar los enunciados α → β fue tal, que Cal´ımaco lleg´ o a decir: “Hasta los cuervos discuten en los tejados este problema”. Fil´ on consideraba que α → β era verdadero a no ser que α fuera verdadero pero β falso. As´ı “Si Pedro es un hombre entonces Ana es una mujer” o “Si Pedro es una mujer entonces Ana es un hombre” son verdaderas aunque el sexo de Pedro poco influya sobre el sexo de Ana. La segunda afirmaci´ on es verdadera porque s´ olo habla de lo que ocurre si Pedro es una mujer, sin decir nada del caso en que Pedro sea un hombre, como de hecho ocurre. En cambio,

“Si Pedro es un hombre entonces Ana es un hombre” es falsa, pues Pedro es un hombre y no se cumple lo que, seg´ un la frase, deber´ıa ocurrir en tal caso, es decir, que Ana sea un hombre.

Por otra parte, Diodoro dec´ıa que α → β es verdadero si siempre que α sea verdadero β tambi´en lo es. Por ejemplo “Si es verano el cielo est´ a nublado” ser´ıa verdadero para Fil´ on en un d´ıa de invierno cualquiera, mientras que para Diodoro ser´ıa falsa, ya que es posible encontrar d´ıas de verano en los que haga sol, es decir, d´ıas en los que ocurre α pero no por ello sucede β. La interpretaci´ on de “Si . . . entonces . . . ” en las lenguas naturales est´ a m´ as pr´ oxima a la de Diodoro que a la de Fil´ on, pues suele depender de relaciones causales y no meramente l´ ogicas. La interpretaci´ on de Fil´ on se da ocasional- mente cuando decimos: “Si apruebo este examen llover´ an lechugas”, que es tanto como decir: “No voy a aprobar este examen”. Pero en matem´ aticas es m´ as pr´ actica la implicaci´ on de Fil´ on y as´ı, α → β deber´ a interpretarse de acuerdo con la tabla siguiente:

α β α → β

V V V

V F F

F V V

F F V

En definitiva, para que α → β sea verdadera ha de ocurrir o bien que α sea verdadera, y en este caso β tambi´en ha de serlo, o bien que α sea falsa y entonces da igual lo que le ocurra a β. Notemos por tanto:

∗ Una afirmaci´on falsa implica cualquier afirmaci´on: Si α es falsa, α → β es verdadera, cualquiera que sea β.

∗ Una afirmaci´on verdadera es implicada por cualquier afirmaci´on:

Si β es verdadera, α → β es verdadera, cualquiera que sea α.

5 Finalmente tenemos el coimplicador “ ↔” (“si y s´olo si”) que indica

que α y β son ambas verdaderas o ambas falsas, que lo que vale para

una, vale para la otra. He aqu´ı su tabla:

1.1. Introducci´ on a los lenguajes formales 21

α β α ↔ β

V V V

V F F

F V F

F F V

• Los signos que dan mayor fuerza expresiva a los lenguajes formales son los cuantificadores, que se usan juntamente con las variables.

Las variables las representaremos con letras cualesquiera x, y, z, u, v, w principalmente. Nombran a objetos indeterminados. Esto es, desde luego, ambiguo, pero lo entenderemos al considerar los cuantificadores.

Tomemos por ejemplo el cuantificador existencial o particularizador ” 

” (l´ease “existe”). “ 

xHx” significa “Existe un x de manera que x es un hombre” o, m´ as brevemente, “Existe un hombre”. Aqu´ı, “x” es una variable. En general “ 

x algo” significa que “algo” es cierto si la variable

“x” se interpreta adecuadamente.

Otro ejemplo: “ 

xAxa” significa “Existe un x de manera que x es amigo de Ana”, o sea, “Ana tiene un amigo”.

El cuantificador universal “ 

” (l´ease “para todo”) se usa como sigue:

“ 

x algo” significa que “algo” es verdadero se interprete como se inter- prete la variable “x”. Por ejemplo “ 

xHx” significa “Para todo x, x es un hombre”, o sea, “S´ olo hay hombres”, lo cual es evidentemente falso.

“ 

x(Axa → Axp)” significa ”Para todo x, si x es amigo de Ana entonces x es amigo de Pedro”, o sea, “Pedro es amigo de todos los amigos de Ana”.

M´ as ejemplos:

Pedro es el ´ unico amigo de Ana: 

x(Axa ↔ x = p), Ana s´ olo tiene un amigo: 

y 

x(Axa ↔ x = y), Conmutatividad de la amistad: 

xy(Axy ↔ Ayx), Ana no es amiga de todos los hombres: 

x(Hx ∧ ¬Axa), Ana no es amiga de ning´ un hombre: 

x(Hx → ¬Axa),

Ning´ un hombre es mujer: 

x(Hx → ¬Mx).

(El matem´ atico que tenga cierta familiaridad con los cuantificadores de- ber´ıa, no obstante, fijarse en el orden de los signos y en el uso de los par´entesis).

• Otros signos que pueden simplificar la escritura son los funtores. Si que- remos decir que los padres de los italianos son italianos podemos usar un relator mon´ adico “I” que signifique “ser italiano” y un relator di´ adico

“P ” tal que “P xy” signifique “x es el padre de y”, y construir la afir- maci´ on “ 

xy(Iy ∧ P xy → Ix)”, pero otra alternativa es tomar un funtor mon´ adico “f ” de manera que “f x” signifique “el padre de x” y escribir simplemente “ 

x(Ix → Ifx)”.

Un funtor es un signo que, completado con nombres de objetos, nombra

a otro objeto, a diferencia de un relator que da lugar a una afirmaci´ on.

Un ejemplo de funtor di´ adico podr´ıa ser un “M ” que signifique “el mayor de edad de”, as´ı “M pj” es el mayor de edad entre Pedro y Juan. Na- turalmente pueden construirse funtores de cualquier rango. Ejemplos de funtores en matem´ aticas son “∪”, “+”, etc.

• Para acabar nos ocupamos del ´ultimo signo con que proveeremos a nuestros lenguajes formales: el descriptor “ |” (l´ease “tal que”). Supongamos que Ana tiene un solo amigo. Entonces “x | Axa” significa “el x tal que x es amigo de Ana”, o sea, “el amigo de Ana”. Una expresi´ on de este tipo se llama una descripci´ on. En general “x |algo” significa el ´unico x que cumple “algo”.

Es f´ acil darse cuenta de que esto nos va a crear problemas. Bertrand Russell dijo una vez: “El actual rey de Francia es calvo”. Podemos for- malizar esta afirmaci´ on con un relator mon´ adico “C” que signifique “ser calvo” y otro “F ” que signifique “ser rey de Francia ahora”. As´ı nos queda

“C(x | F x)”. Pero sucede que no hay rey en Francia: “ 

x¬F x”. ¿C´omo debemos interpretar esta descripci´ on? ¿El actual rey de Francia es o no calvo? Los matem´ aticos no se ven libres de este problema: ¿Cu´ anto vale l´ım

(−1)

? Por supuesto l´ım

n

(−1)

= x | 

(−1)

−→ x

 .

El problema es que hemos de encontrar un tratamiento coherente para las descripciones, pues si, por ejemplo, dij´eramos que “C(x | F x)” es falso, estar´ıamos obligados a aceptar que “¬C(x | F x)” es verdadero, o sea, que el actual rey de Francia no es calvo, y estar´ıamos en las mismas.

Hay dos salidas posibles. Una muy dr´ astica —pero muy natural— consiste en prohibir que se escriban descripciones impropias, o sea, descripciones de la forma “x |algo” donde no hay un ´unico x que cumpla “algo”. De este modo “C(x | F x)” no es ni verdadera ni falsa porque no es una afirmaci´on.

Pero hay otra posibilidad m´ as artificial pero m´ as c´ omoda y que es la que vamos a adoptar: Esc´ ojase una “v´ıctima” entre los objetos de los que hablamos, llam´emosla descripci´ on impropia o, para abreviar, d. Si estamos hablando de personas, d puede ser una cualquiera, por ejemplo, Julio. Un matem´ atico puede tomar como descripci´ on impropia al conjunto vac´ıo. Al encontrarnos con una descripci´ on “x |algo” pueden pasar dos cosas:

a) que exista un ´ unico x que cumpla “algo”. Entonces la descripci´ on se llama propia y convenimos en que “x |algo” representa a ese ´unico x que cumple “algo”.

b) que no exista un ´ unico x que cumpla “algo”, bien porque no haya ninguno, bien porque haya varios. Entonces la descripci´ on se llama impropia y convenimos en que “x |algo” significa d.

Seg´ un este criterio, el actual rey de Francia es Julio y ser´ a calvo o no

seg´ un si Julio lo es. El hijo de la reina de Inglaterra tambi´ en es Julio, esta

vez porque tiene varios hijos. Este convenio no crea problemas si tenemos

siempre en cuenta lo siguiente: