Carlos Ivorra Castillo
ALGEBRA ´
Mathematics, rightly viewed, posseses not only truth, but supreme beauty —a beauty cold and aus- tere, like that of sculpture.
Bertrand Russell
´ Indice General
Introducci´on ix
Preliminares conjuntistas xv
Cap´ıtulo I: Los n´umeros enteros y racionales 1
1.1 Construcci´on de los n´umeros enteros . . . 1
1.2 Anillos . . . 3
1.3 Cuerpos de cocientes. N´umeros racionales . . . 7
1.4 Cuaterniones racionales . . . 13
Cap´ıtulo II: Anillos de polinomios 15 2.1 Construcci´on de los anillos de polinomios . . . 15
2.2 Evaluaci´on de polinomios . . . 19
2.3 Propiedades algebraicas . . . 21
Cap´ıtulo III: Ideales 25 3.1 Ideales en un dominio . . . 25
3.2 Dominios de ideales principales . . . 27
3.3 Anillos noetherianos . . . 28
Cap´ıtulo IV: Divisibilidad en dominios ´ıntegros 29 4.1 Conceptos b´asicos . . . 29
4.2 Ideales y divisibilidad . . . 32
4.3 Divisibilidad en Z . . . 35
4.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . 38
Cap´ıtulo V: Congruencias y anillos cociente 45 5.1 Definiciones b´asicas . . . 45
5.2 N´umeros perfectos . . . 49
5.3 Unidades . . . 54
5.4 Homomorfismos y anillos cociente . . . 58
5.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . 60 v
vi ´INDICE GENERAL
Cap´ıtulo VI: Algunas aplicaciones 65
6.1 Ternas pitag´oricas . . . 65
6.2 Sumas de dos cuadrados . . . 67
6.3 Sumas de cuatro cuadrados . . . 72
6.4 N´umeros de la forma x2+ 3y2. . . 74
6.5 La ecuaci´on x2+ 3y2= z3 . . . 77
6.6 El ´Ultimo Teorema de Fermat . . . 80
6.7 Enteros ciclot´omicos . . . 83
Cap´ıtulo VII: M´odulos y espacios vectoriales 87 7.1 M´odulos . . . 87
7.2 Suma de m´odulos . . . 92
7.3 M´odulos libres. . . 95
Cap´ıtulo VIII: Extensiones de cuerpos 105 8.1 Extensiones algebraicas . . . 105
8.2 Homomorfismos entre extensiones . . . 110
8.3 Clausuras algebraicas . . . 115
8.4 Extensiones normales . . . 119
8.5 Extensiones separables . . . 123
8.6 El teorema del elemento primitivo . . . 129
8.7 Normas y trazas . . . 131
Cap´ıtulo IX: Grupos 135 9.1 Definici´on y propiedades b´asicas . . . 135
9.2 Grupos de permutaciones . . . 139
9.3 Generadores, grupos c´ıclicos . . . 144
9.4 Conjugaci´on y subgrupos normales . . . 147
9.5 Producto de grupos . . . 150
9.6 Grupos cociente . . . 152
9.7 Grupos alternados . . . 154
Cap´ıtulo X: Matrices y determinantes 157 10.1 Matrices . . . 157
10.2 Determinantes . . . 162
10.3 Formas bilineales . . . 174
Cap´ıtulo XI: Enteros algebraicos 179 11.1 Definici´on y propiedades b´asicas . . . 179
11.2 Ejemplos de anillos de enteros algebraicos . . . 185
11.3 Divisibilidad en anillos de enteros . . . 191
11.4 Factorizaci´on ´unica en cuerpos cuadr´aticos . . . 195
11.5 Aplicaciones de la factorizaci´on ´unica . . . 201
´INDICE GENERAL vii
Cap´ıtulo XII: Factorizaci´on ideal 207
12.1 Dominios de Dedekind . . . 208
12.2 Factorizaci´on ideal en anillos de enteros . . . 214
12.3 Dominios de Dedekind y dominios de factorizaci´on ´unica . . . 220
Cap´ıtulo XIII: Factorizaci´on en cuerpos cuadr´aticos 223 13.1 Los primos cuadr´aticos . . . 223
13.2 El grupo de clases . . . 226
13.3 C´alculo del n´umero de clases . . . 230
Cap´ıtulo XIV: La ley de reciprocidad cuadr´atica 243 14.1 Introducci´on . . . 243
14.2 El s´ımbolo de Legendre . . . 247
14.3 El s´ımbolo de Jacobi . . . 252
14.4 Los teoremas de Euler . . . 255
Cap´ıtulo XV: La teor´ıa de Galois 259 15.1 La correspondencia de Galois . . . 259
15.2 Extensiones ciclot´omicas . . . 265
15.3 Cuerpos finitos . . . 273
15.4 Polinomios sim´etricos . . . 276
Cap´ıtulo XVI: M´odulos finitamente generados 281 16.1 Los teoremas de estructura . . . 281
16.2 La estructura de los grupos de unidades . . . 289
Cap´ıtulo XVII: Resoluci´on de ecuaciones por radicales 293 17.1 Extensiones radicales . . . 294
17.2 Grupos resolubles . . . 297
17.3 Caracterizaci´on de las extensiones radicales . . . 303
17.4 La ecuaci´on general de grado n . . . 305
Ap´endice A: El teorema de la base normal 307
Ap´endice B: Extensiones inseparables 311
Ap´endice C: La resultante 315
Bibliograf´ıa 319
´Indice de Tablas 321
´Indice de Materias 322
Introducci´ on
El prop´osito de este libro es introducir a un lector con conocimientos m´ınimos de matem´aticas en el estudio de los n´umeros naturales
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Quiz´a esta afirmaci´on sorprenda al lector por dos posibles motivos: bien porque crea que los n´umeros naturales son algo tan simple que dif´ıcilmente se puede escribir un libro sobre ellos, bien porque crea que un libro as´ı no deber´ıa llamarse ‘ ´Algebra’. El primer caso es f´acil de rectificar. Consideremos por ejemplo la ecuaci´on
x2+ xy − 3y2= 15.
¿Sabr´ıa decidir el lector si existen n´umeros naturales (x, y) que satisfagan esta condici´on? Tenemos aqu´ı un problema de planteamiento elemental cuya soluci´on no es nada f´acil. Si existiera un par as´ı podr´ıamos tener suerte y en- contrarlo por tanteo, pero si no lo hay necesitaremos alg´un tipo de razonamiento que lo justifique, pues el no encontrar soluciones no significa que no las haya.
Si el problema fuera x2+ xy + 3y2 = 15 el asunto ser´ıa muy diferente, pues podr´ıamos hacer 4(x2+ xy + 3y2) = (2x + y)2+ 11y2 y de aqu´ı sacar´ıamos una cota a las posibles soluciones, con lo que un n´umero finito de comprobaciones bastar´ıa para decidir si las hay. Aun as´ı habr´ıamos necesitado un peque˜no truco que requerir´ıa un m´ınimo de perspicacia.
De nada sirve despejar la y en funci´on de x, o viceversa, pues entonces nos encontraremos con el problema de determinar si una expresi´on con una ra´ız cuadrada puede o no ser un n´umero natural, y no podremos ir mucho m´as lejos.
Sin duda el lector que cre´ıa dominar los n´umeros naturales reconocer´a ya la precariedad de ese dominio. Sin embargo esta situaci´on suele causar rechazo al matem´atico acostumbrado a otra clase de problemas m´as . . . ¿abstractos? La reacci´on natural es: ¿pero qu´e importa si existen o no soluciones naturales? Una pregunta interesante podr´ıa ser si existen funciones reales continuas no deriva- bles en ning´un punto, por ejemplo, porque una soluci´on negativa consolidar´ıa nuestro conocimiento de la continuidad y la derivabilidad, mientras que una soluci´on positiva ser´ıa (y de hecho es) algo verdaderamente curioso e intrigante.
Sin embargo, tanto si alguien encuentra una soluci´on a esa ecuaci´on como si prueba que no las hay, lo cierto es que nos quedamos igual, obtenemos un dato irrelevante.
ix
x Introducci´on Esta objeci´on entronca con la posible sorpresa de que un libro que promete abordar estas banalidades tenga la osad´ıa de titularse ‘ ´Algebra’. El reproche estar´ıa justificado si lo ´unico que fu´eramos a ver en este libro fuera una co- lecci´on de recetas o, a´un peor, de trucos para resolver ecuaciones como la de antes. Tambi´en en tal caso ser´ıa razonable opinar que el contenido del libro ser´ıa irrelevante, al menos seg´un los gustos matem´aticos al uso. Sin embargo, el inter´es de un problema puede no estar en la pregunta sino en la respuesta.
Parafraseamos a Gauss al decir que la aridez de esta clase de problemas oculta una disciplina que merece el t´ıtulo de Reina de las Matem´aticas. ¿Por qu´e un matem´atico que destac´o tan prodigiosamente en an´alisis, geometr´ıa diferencial, f´ısica y estad´ıstica, entre otras partes de la matem´atica, antepon´ıa la teor´ıa de n´umeros a todas ellas? Sencillamente porque al abordar problemas como el que hemos propuesto se encontr´o con una teor´ıa mucho m´as rica, sutil y abstracta que cualquier otra de su ´epoca.
Ciertamente, la teor´ıa de n´umeros antes de Gauss era esencialmente una colecci´on de trucos, verdaderos monumentos al ingenio humano, eso s´ı, pero despreciables al gusto del matem´atico moderno, pero estamos hablando de la teor´ıa de n´umeros del siglo XVIII. Para los matem´aticos del siglo XIX la si- tuaci´on era radicalmente distinta, y es esta visi´on moderna la que queremos transmitir al lector de este libro. B´asicamente se puede describir como sigue:
Los n´umeros naturales son unos objetos extremadamente caprichosos, pero no ca´oticos. Es como si un pianista decide caprichosamente qu´e pieza va a tocar.
A priori no podemos predecir lo que har´a, pero una vez conocemos su decisi´on podemos anticipar cada uno de sus movimientos a partir de la partitura. Un pianista ca´otico ser´ıa por ejemplo un int´erprete de Jazz que improvisara en todo momento. As´ı, el comportamiento de los n´umeros puede ser controlado en funci´on de ciertos par´ametros, caprichosos hasta donde hoy se sabe, y la forma de controlarlos no es la fuerza bruta (la manipulaci´on de ecuaciones al estilo del siglo XVIII), que ofrece resultados muy limitados, sino la psicolog´ıa m´as fina, la b´usqueda de leyes generales que s´olo pueden ser expresadas en t´erminos de objetos abstractos, impensables en una primera aproximaci´on, pero que los matem´aticos han podido descubrir poco a poco a lo largo de casi dos siglos.
Pensemos por ejemplo en la introducci´on de los n´umeros enteros:
. . . −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Se trata del ejemplo m´as elemental de c´omo un artificio algebraico como es poner un signo delante de los n´umeros resulta ser de inestimable ayuda en su manejo.
Tanto es as´ı que en realidad, aunque la motivaci´on primera en el estudio de los n´umeros proviene de los n´umeros naturales, es m´as justo decir que en este libro se estudian los n´umeros enteros.
Pero si queremos resolver el problema que hemos planteado necesitamos ir mucho m´as lejos. El paso siguiente en esta direcci´on es factorizar la ecuaci´on
x2+ xy − 3y2=
x+ y1+√213
x+ y1−√213 .
Esto puede parecer un sucio ‘truco’, pero en realidad es un paso obvio si se disfruta del punto de vista adecuado. As´ı nos encontramos con que la ecuaci´on
