L´ ogica matem´ atica I
L´ ogica de proposiciones
Jonatan Gom´ ez Perdomo, Ph.D.
[email protected]
Arles Rodr´ıguez, Ph.D.(c)
[email protected]
Camilo Cubides, Ph.D.(c)
[email protected]
Grupo de investigaci´ on en vida artificial – Research Group on Artificial Life – (Alife) Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas e Industrial
Facultad de Ingenier´ıa
Universidad Nacional de Colombia
Agenda
1 L´ ogica proposicional Proposiciones
El lenguaje de la l´ ogica proposicional
L´ exico Sintaxis Sem´ antica
Precedencia de conectivos l´ ogicos Interpretaciones y tablas de verdad
Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias Tablas de verdad
Leyes
Equivalencias l´ ogicas
Implicaciones l´ ogicas
Agenda
1 L´ ogica proposicional Proposiciones
El lenguaje de la l´ ogica proposicional
L´ exico Sintaxis Sem´ antica
Precedencia de conectivos l´ ogicos Interpretaciones y tablas de verdad
Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias Tablas de verdad
Leyes
Equivalencias l´ ogicas
Implicaciones l´ ogicas
Proposiciones I
Definici´ on
Una proposici´ on es un juicio, afirmaci´ on o enunciado el cual se puede calificar como verdadero o falso, pero no ambos simult´ aneamente.
No es necesario saber de antemano s´ı es verdadero o falso.
Pero con certeza el enunciado debe poseer alg´ un valor fijo que lo califique.
No debe haber incertidumbre acerca de s´ı se posee un valor que lo califique.
Una proposici´ on consta b´ asicamente de tres partes:
Un sujeto: del cual se dice algo o que ´ el hace algo.
Un verbo: que indica un estado o una acci´ on que realiza el sujeto.
El complemento: que describe o aclara el estado o acci´ on que
Proposiciones II
Ejemplos
Los siguientes enunciados son ejemplos de proposiciones p: El jugador est´ a en la casilla [2, 2].
q: El archipi´ elago de San Andr´ es, Providencia y Santa Catalina pertenece a Colombia.
r : El perro corre velozmente por la pradera jugando con la pelota azul y verde.
s: 2 + 2 6= 4.
t: √
3125 = 5.
u: El universo tiene una longitud infinita.
v : Est´ a lloviendo.
w : Ma˜ nana es s´ abado.
Proposiciones III
Ejemplos
Los siguientes enunciados son ejemplos que no son proposiciones
¿Vamos ma˜ nana a cine?; ¿Hacemos quiz?. (interrogaciones)
¡Ah, cu´ anta mentira hay en esos argumentos!; ¡No te vayas!.
(exclamaciones, deseos)
No te aprendas la tablas de memoria; No te metas con ese muchacho;
C´ allate. (consejos, mandatos)
El lindo y hermoso perro de Mar´ıa Antonieta; El ronroneo de los gatos. (no son afirmaciones que puedan valorarse)
x + 9 = 21 (no hay un sujeto fijo predeterminado, ´ este se denomina un enunciado abierto)
Ma˜ nana llover´ a (hay incertidumbre acerca del valor que califica el
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1 L´ ogica proposicional Proposiciones
El lenguaje de la l´ ogica proposicional
L´ exico Sintaxis Sem´ antica
Precedencia de conectivos l´ ogicos Interpretaciones y tablas de verdad
Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias Tablas de verdad
Leyes
Equivalencias l´ ogicas
Implicaciones l´ ogicas
L´ exico I
En la l´ ogica proposicional, el l´ exico esta definido por tres elementos: los s´ımbolos o letras proposicionales, los conectivos l´ ogicos y los par´ entesis.
Definici´ on
El l´ exico de la l´ ogica proposicional se compone de tres tipos de lexemas:
s´ımbolos y/o letras proposicionales: ⊥, >, p, q, r , s, t, p 0 , p 1 , . . . conectivos l´ ogicos: ¬, ∨, ∧, →, ↔
s´ımbolos auxiliares: (, )
L´ exico II
El s´ımbolo proposicional ⊥ (que se lee “bottom”) es usado para
representar una proposici´ on gen´ erica que su significado es siempre falso 1 , mientras que > (que se lee “top”) es usado para representar una
proposici´ on gen´ erica que su significado es siempre verdadero 2 .
Las letras proposicionales p, q, r , s, t, p 0 , p 1 , . . . son usadas para representar
proposiciones, por lo tanto el significado de una letra proposicional es el
significado que tiene la proposici´ on que dicha letra representa.
L´ exico III
Los conectivos l´ ogicos son operadores l´ ogicos que permiten formar frases que se llaman proposiciones compuestas o f´ ormulas l´ ogicas a partir de s´ımbolos y/o letras proposicionales.
En la definici´ on m´ as com´ un de la l´ ogica proposicional cl´ asica, estos operadores son:
La negaci´ on: es un operador unario prefijo que se representa mediante el s´ımbolo (¬), que se lee “no”.
La disyunci´ on: es un operador binario infijo que se representa mediante el s´ımbolo (∨), que se lee “o”.
La conjunci´ on: es un operador binario infijo que se representa mediante
el s´ımbolo (∧), que se lee “y”.
L´ exico IV
El condicional: o implicaci´ on es un operador binario infijo que se
representa mediante el s´ımbolo (→), que se lee “entonces” o
“implica”. A el primer operando del operador condicional se le suele llamar el antecedente de la implicaci´ on y a el segundo operador se le suele llamar el consecuente de la implicaci´ on.
El bicondicional: o equivalencia o doble implicaci´ on es un operador binario infijo que se representa mediante el s´ımbolo (↔), que se lee “si y s´ olo si”.
Los par´ entesis son usados para agrupar de manera apropiada las f´ ormulas
o proposiciones compuestas de la l´ ogica proposicional.
Sintaxis I
En la l´ ogica proposicional la gram´ atica se describe en t´ erminos de f´ ormulas
bien formadas (fbf) de manera recursiva, es decir, suponiendo que los
s´ımbolos y letras proposicionales son fbfs y definiendo nuevas fbfs en
t´ erminos de fbfs ya construidas.
Sintaxis II
Definici´ on
La gram´ atica de la l´ ogica proposicional se define recursivamente en t´ erminos de f´ ormulas bien formadas (fbf), as´ı:
i) Si p es un s´ımbolo o letra proposicional, entonces p es una fbf.
ii) Si f es fbf entonces ¬(f ) es una fbf.
iii) Si f 1 y f 2 son fbfs entonces: (f 1 ∨ f 2 ), (f 1 ∧ f 2 ), (f 1 → f 2 ) y (f 1 ↔ f 2 )
son fbfs.
Sintaxis III
Ejemplo
Las siguientes secuencias de s´ımbolos son f´ ormulas bien formadas:
f 1 : (p ∨ ¬(q)) ↔ (r ∧ s)
f 2 : ¬ (r → q) ∧ ¬((q ↔ s))
Ejemplo
Las siguientes secuencias de s´ımbolos no son f´ ormulas bien formadas:
f 1 : (∧ p)¬(r ∧ s)
f 2 : (∨ p q) ↔ (q p →)
Sem´ antica I
En el lenguaje de la l´ ogica proposicional, a diferencia del espa˜ nol u otro lenguaje natural, la sem´ antica es f´ acil de definir ya que los posibles sentidos que tiene una frase son solamente dos (verdadero y falso) y las frases que se pueden construir se definen de manera recursiva (f´ ormulas bien formadas).
Definici´ on
La sem´ antica de la l´ ogica proposicional se define de manera recursiva sobre
las f´ ormulas bien formadas as´ı (ξ(f ) se usa para representar el significado
de la f´ ormula bien formada f ):
Sem´ antica II
Si f es un fbf definida solamente por un s´ımbolo o letra proposicional, el significado de la f´ ormula f es el mismo significado del s´ımbolo o letra proposicional.
ξ(>) ξ(⊥) ξ(p)
V F significado de la proposici´ on p
Si f es una fbf, entonces:
ξ(f ) ξ ¬(f )
V F
F V
Sem´ antica III
Si f 1 y f 2 son fbfs, entonces:
ξ(f 1 ) ξ(f 2 ) ξ (f 1 ∨ f 2 )
ξ (f 1 ∧ f 2 )
ξ (f 1 → f 2 )
ξ (f 1 ↔ f 2 )
V V V V V V
V F V F F F
F V V F V F
F F F F V V
Sem´ antica IV
Ejemplo
Suponga que ξ(p) = F , ξ(q) = F , ξ(r ) = V , entonces el significado (valor de verdad) de la f´ ormula bien formada
f : ¬ ¬(p) → q ∧ (r ↔ q) ∨ ¬(⊥)
para hallar el significado de f , primero se debe hallar el valor de verdad de
los par´ entesis m´ as internos y luego con esos resultados ir hallando el valor
de verdad de las f´ ormulas m´ as internas que vayan apareciendo, de esta
manera
Sem´ antica V
Ejemplo (continuaci´ on) ξ(p) ξ(q) ξ(r ) ξ ¬(p)
ξ (r ↔ q)
ξ ¬(⊥)
ξ ¬(p) → q
F F V V F V F
ξ (r ↔ q) ∨ ¬(⊥)
ξ ¬(p) → q ∧ (r ↔ q) ∨ ¬(⊥)
V F
ξ ¬ ¬(p) → q ∧ (r ↔ q) ∨ ¬(⊥)
V
as´ı, ξ(f ) = V .
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El lenguaje de la l´ ogica proposicional
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Leyes
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Precedencia de conectivos l´ ogicos I
Uno de las principales limitaciones de las f´ ormulas bien formadas es el uso excesivo de los par´ entesis, los cuales, en muchos casos, son redundantes.
Para evitar este uso excesivo de par´ entesis (sin que esto implique que toda f´ ormula pueda ser escrita sin par´ entesis), a los conectores l´ ogicos se les asigna una prioridad que determina de manera exacta el orden en que los par´ entesis se deben asumir si no se escriben.
Entre m´ as alta es la prioridad de un conector, los par´ entesis asociados a ´ el,
tienen mayor prelaci´ on, es decir, en el proceso de completar los par´ entesis,
los par´ entesis asociados al operador con m´ as prioridad son adicionados
primero que los par´ entesis de un conectivo con menor prioridad.
Precedencia de conectivos l´ ogicos II
Las prioridades asignadas a los operadores se pueden observar en la tabla 1. Cuando en la f´ ormula aparece el mismo operador varias veces y no se puede determinar a cu´ al se le deben asignar los par´ entesis primero, se asignan los par´ entesis de izquierda a derecha.
Conectivo Prioridad Significado
(, ) 1 m´ as alta
¬ 2 alta
∧, ∨ 3 media
→, ↔ 4 baja
Tabla : Prioridad de los conectivos l´ ogicos.
Precedencia de conectivos l´ ogicos III
Ejemplo
La f´ ormula p → q ↔ r ∨ (s ∧ p) representa la fbf
(p → q) ↔ r ∨ (s ∧ p), ya que completando par´entesis:
i) p → q ↔ r ∨ (s ∧ p) ii) p → q ↔ r ∨ (s ∧ p)
(∨ prioridad 3) iii) (p → q) ↔ r ∨ (s ∧ p)
(→ m´ as a la izquierda prioridad 4) iv) (p → q) ↔ r ∨ (s ∧ p)
(↔ prioridad 4)
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1 L´ ogica proposicional Proposiciones
El lenguaje de la l´ ogica proposicional
L´ exico Sintaxis Sem´ antica
Precedencia de conectivos l´ ogicos Interpretaciones y tablas de verdad
Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias Tablas de verdad
Leyes
Equivalencias l´ ogicas
Implicaciones l´ ogicas
Interpretaci´ on I
Definici´ on
Dada una colecci´ on ζ de s´ımbolos proposicionales, una interpretaci´ on de ζ es una asignaci´ on de valores de verdad a cada una de las letras
proposicionales de la colecci´ on.
Ejemplo
Sea ζ = {q, r , s}.
1
Una interpretaci´ on de ζ es: ξ(q) = V , ξ(r ) = V , ξ(s) = F .
2
Una interpretaci´ on de ζ es: ξ(q) = F , ξ(r ) = F , ξ(s) = F .
3
Una interpretaci´ on de ζ es: ξ(q) = F , ξ(r ) = V , ξ(s) = V .
Interpretaci´ on II
Nota
El valor de verdad de una f´ ormula f para una interpretaci´ on I de ζ f se notar´ a como ξ I (f ).
Proposici´ on
Si una colecci´ on ζ tiene n letras proposicionales entonces ζ tiene en total
2 n interpretaciones diferentes.
Interpretaci´ on III
Ejemplo
Las interpretaciones posibles de la colecci´ on de letras proposicionales ζ = {p, q, r }, entonces ζ tiene ocho (2 3 = 8) interpretaciones:
ξ(p) ξ(q) ξ(r )
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias I
Definici´ on
Una f´ ormula f se dice tautolog´ıa si para cualquier interpretaci´ on de su conjunto de letras proposicionales, su significado (valor de verdad) es V , se dice contradicci´ on si para cualquier interpretaci´ on su significado es F y se dice contingencia si no es tautolog´ıa ni contradicci´ on.
Ejemplo
Determinar el tipo (tautolog´ıa, contingencia o contradicci´ on) de cada una de las siguientes f´ ormulas:
1
f = p ∨ q ↔ q ∨ p
2
f = p ∧ ¬p
3
