En la primera etapa, el gobierno fija un umbral de contaminación y el consumidor determina el impuesto que está dispuesto a pagar por superar dicho umbral. Asimismo, se analiza el caso de los impuestos a la contaminación cuando la disposición de la envolvente sigue un proceso de difusión con saltos y el tamaño del salto se rige por una distribución de valores extremos. Un consumidor racional obtiene satisfacción de un bien que tiene un envoltorio o recipiente.
Para eliminar este efecto negativo sobre el medio ambiente, el gobierno cobrará al consumidor un impuesto a la contaminación. Un dato importante es que este impuesto está relacionado con la fórmula de valoración de opciones de compra europeas de Black-Scholes-Merton. Sea w1t =Et/at la proporción de riqueza que el individuo dedica a sobres, w2t = τt/at la proporción de riqueza que dedica a pagar el impuesto, y 1−w1t−w2t la fracción complementaria ´on asignada al riesgo. -Instrumento gratuito que paga rendimiento constante r en cualquier plazo.
En este caso, δ < 1 asegura la concavidad estricta de la función de utilidad y se satisface el grado relativo de aversión al riesgo. Después de sustituir µτ y στ, definidos en (2.2.3), en la ecuación anterior, tenemos eso. lo que conduce a la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes: los agentes contaminan con una dinámica estocástica determinada por una combinación de un movimiento browniano con un proceso de salto de Poisson, donde el tamaño del salto se modela mediante una distribución de valores extremos, en particular por a Distribución tipo Fr'echet.
La función de utilidad, v0, del tipo von Neumann-Morgenstern en el momento t= 0 de un consumidor con aversión al riesgo se supone en la forma.
Condiciones de primer orden
Para evitar que la investigación de la dinámica del consumo sea compleja, se supone que la tasa de descuento subjetiva del agente es constante e igual a ar. Si ahora se calculan las condiciones de primer orden para w1t y w2t, intercambiando el orden de las derivadas parciales de las variables con el operador de expectativa, resulta que este es el caso. Claramente, el consumo óptimo es proporcional al nivel de bienestar en cualquier momento, es decir, Ct∝at.
Caracterizaci´ on del impuesto
A continuación, se consideran las siguientes condiciones de contorno τ(0, t) = 0 y τ(Et, t) = max(Et−K,0), donde K es el umbral de contaminación elegido por el gobierno.
Soluci´ on anal´ ıtica del impuesto
Impuesto por contaminaci´ on con volatilidad estoc´ astica 1 Introducci´ on
Planteamiento del problema de determinaci´ on del impuesto por contaminaci´ on
Como siempre, se supone que el impuesto a la contaminación,τ, depende de las variables estatales, es decir,τ =τ(Et, Vt, t). La ecuación para la evolución de la riqueza real (restricción presupuestaria) viene dada por. En lo que sigue, la función de utilidad (satisfacción) del agente por consumir un bien genérico, Ct, se denotará por u(Ct).
Luego, se utilizan varias formas funcionales de la función de utilidad para obtener la ecuación diferencial parcial que caracteriza el impuesto a la contaminación.
Funci´ on de utilidad con coeficiente constante de aversi´ on al riesgo En esta secci´ on se supone que la funci´ on de utilidad tiene la siguiente forma
Se requiere una solución angular para obtener la ecuación diferencial parcial que determina el impuesto a la contaminación. La ecuación (3.3.3) también se simplifica si reemplazamos la solución candidata J y la solución angular w1t= 1 y w2t= 0, en este caso obtenemos La ecuación (3.3.12) muestra cómo ajustar el proceso estocástico siguiendo la tasa de contaminación dada en la ecuación (3.21).
Funci´ on de utilidad logar´ ıtmica
La condición necesaria para el problema de control óptimo estocástico donde el consumidor racional quiere maximizar la utilidad total se expresa como: La solución de esta ecuación diferencial parcial es independiente de Vt y está dada por.
M´ etodos n´ umericos para aproximar impuestos ´ optimos 1 Introducci´ on
- Construcci´ on de la malla
- Cambio del impuesto con respecto del nivel de contaminaci´ on
- Diferencia ”forward”
- Diferencia ”backward”
- Diferencia central
- El m´ etodo expl´ ıcito de diferencias finitas
- M´ etodo impl´ ıcito de diferencias finitas
- M´ etodo de diferencias finitas para modelos de dos factores
- Aplicaci´ on del m´ etodo de diferencias finitas para impuestos ´ optimos
Ahora denotemos el nivel de contaminación por Et y supongamos que toma valores entre E0 y ET. Esta distribución del nivel de contaminación se puede ver en el gráfico 4.2.2. Si esto se conoce, ET se puede calcular como ET =E0erT. En adelante, el nivel de carga en cada uno de los nodos de la malla se denota por τin=τ(Ei, tn) =τ(E0+i∆E, T −n∆t).
A continuación, se aproxima la tasa de cambio del impuesto, τ, con respecto al precio del nivel de contaminación, Et. La segunda derivada parcial de la expresión anterior se evalúa en (Et+θ∆E, t) para algúnθ∈ [0,1]. La segunda derivada parcial de la expresión anterior se evalúa en (Et−θ∆E, t) para algúnθ∈[0,1].
Omitiendo el término de error y aislando τ(Et−∆E, t) de la ecuación anterior, obtenemos. En términos de valores en los nodos de la malla, si Et=E0+i∆E, tenemos eso. Es importante resaltar que en el cálculo de la diferencia central se requiere conocer los valores de τ en Et+ ∆E y Et−∆E.
De esta forma, si estamos en el límite de la región, es decir en i= 0 o i= I, no será posible calcular esta aproximación y tendremos que utilizar las diferencias directas. De la misma manera, si queremos aproximar la derivada de τ respecto de Et usando la diferencia “hacia atrás”, es decir, usando Et, Et−∆E y Et−2∆E, obtenemos: Si la ecuación anterior es resuelto en términos de τin+1, se sigue inmediatamente.
Finalmente, es importante señalar que la convergencia depende del tamaño de los intervalos de tiempo y los niveles de contaminación, así como de las formas funcionales de μ, σ y γ. En este caso, la relación "hacia atrás" entre los valores impositivos netos se obtiene de la siguiente manera. Como antes, esta ecuación no se cumple para i = 0 o i = I, las condiciones de contorno proporcionan las ecuaciones que faltan.
La tasa impositiva se escribe comoτ(Ei, rj, tn) =τijn. Para resolver esta ecuación usando diferencias finitas, se requiere una condición final: τ(Ei, rj, T) = τij0. De manera similar, cuando aumenta la volatilidad de la volatilidad, aumenta la carga óptima.
M´ etodo Monte Carlo para estimar impuestos ´ optimos
El gráfico 4.7 muestra soluciones aproximadas para el impuesto óptimo para diferentes valores de r y β cuando ρ =α = λ= 0. Nótese que a medida que aumenta la tasa de interés real, el factor de descuento disminuye y, en consecuencia, el valor del impuesto óptimo reducción. Si se utilizan incrementos discretos, el nivel de contaminación en la ecuación (5.1) se puede escribir como
En este caso, a partir del valor inicial E0 y la generación del número aleatorio E, se calcula un posible valor ∆E1, que luego se utiliza para calcular E1 = E0+ ∆E1, etc. El método es fácil de aplicar a una ecuación diferencial estocástica y tiene un error de tipo O(∆t). Por otro lado, aplicando el lema de It a (5.1) se obtiene la siguiente ecuación: que tiene una versión discreta dada por Et+∆t=Etexpn.
En este caso, los valores del nivel de contaminación simulados comienzan con un valor de E0 y generan un número aleatorio E1 para obtener un posible valor de E1 y así sucesivamente. Con base en las ideas anteriores, se puede proponer el siguiente algoritmo para determinar el valor aproximado del impuesto óptimo: i) Simular el comportamiento de Et, comenzando con el valor actual de E0 y continuando hasta la fecha T, lo que proporciona una posible orientación ( realización) del impuesto; ii) calcular el valor interno del impuesto para cada realización; iii) repetir los pasos anteriores n veces; iv) Calcular el promedio de los valores intrínsecos obtenidos; v) Calcular el valor presente del promedio pasado que finalmente proporciona el impuesto óptimo. Tenga en cuenta que cuanto mayor sea el número de realizaciones, mayor será la precisión del resultado.
Si las simulaciones se multiplican por cien, la precisión aumenta una décima parte. Por supuesto, la precisión también depende de la calidad de los números aleatorios, por lo que es recomendable realizar una prueba de aleatoriedad. Cabe mencionar que en la práctica es muy común utilizar variables aleatorias uniformes en [0,1] para generar variables aleatorias normales estándar mediante el método de Box-Muller, el cual establece que se pueden utilizar.
El gráfico 5.1 muestra la simulación de 25 trayectorias de niveles de contaminación.
Conclusiones
