Ejemplos de aplicaci´ on del m´ etodo del punto fijo

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Ejemplos de aplicaci´ on del m´ etodo del punto fijo

El m´etodo del punto fijo es muy general y se puede aplicar para resolver ecuaciones integrales y diferenciales. Nosotros vamos a aplicar este m´etodo solamente en el caso de funciones reales derivables:

1. Teorema del punto fijo (para funciones reales derivables). Sean a, b ∈ R tales que a < b y sea g : [a, b] → R una funci´on continua en [a, b] y derivable en (a, b) que cumple las siguientes condiciones:

1. Existe un n´umero C ∈ [0, 1) tal que para cualquier x ∈ (a, b) se cumple la desigual- dad |g0(x)| ≤ C.

2. Para cualquier punto x en [a, b], se tiene que g(x) ∈ [a, b].

Entonces existe un ´unico punto p ∈ (a, b) tal que g(p) = p. Adem´as, si x0 es alg´un punto del intervalo [a, b], y la sucesi´on (xk)k=0 se construye de manera recursiva con el m´etodo de iteraci´on simple:

xk+1 := g(xk),

entonces la sucesi´on (xk)k=0 converge al punto fijo p de la funci´on g.

En ejemplos simples es c´omo denotar por C al m´aximo de|g0(x)| en le intervalo [a, b]:

C := max

x∈[a,b]|g0(x)|, calcularlo y verificar que C < 1.

Aplicaci´on del m´etodo del punto fijo, p´agina 1 de 4

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2. Ejemplo. Sea g : [0.64, 1.44]→ R,

g(x) :=√ x.

Mostrar que g es una funci´on contractiva, calcular su punto fijo y hacer las primeras 5 iteraci´on del m´etodo del punto fijo empezando con x0 = 0.64.

Soluci´on. I. Calculemos la derivada de g:

g0(x) = 1 2√

x.

Se ve que g0 es una funci´on positiva y decreciente, por eso es f´acil calcular el m´aximo de su valor absoluto:

C := max

x∈[0.64,1.44]|g0(x)| = max

x∈[0.64,1.44]g0(x) = g0(0.64) = 1

2· 0.8 = 0.625 < 1.

II. Luego hay que demostrar que g([0.64, 1.44]) ⊂ [0.64, 1.44]. Calculemos los valores m´ınimo y m´aximo de g en el intervalo [0.64, 1.44]. Como g0 > 0, la funci´on g es creciente,

x∈[0.64,1.44]min g(x) = g(0.64) = 0.8, max

x∈[0.64,1.44]g(x) = g(1.44) = 1.2, y

g([0.64, 1.44]) = [g(0.64), g(1.44)] = [0.8, 1.2].

Observamos que 0.64 < 0.8 y 1.2 < 1.44, as´ı que [0.8, 1.2] ⊂ [0.64, 1.44].

III. En los incisos I y II demostramos que max

x∈[0.64,1.44]|g0(x)| < 1 y g([0.64, 1.44])⊂ [0.64, 1.44].

Esto significa que g es contractiva en el intervalo [0.64, 1.44]. Por lo tanto, g tiene un

´

unico punto fijo en este intervalo.

IV. La ecauci´on g(x) = x tiene dos soluciones, 0 y 1, de las cuales s´olo una pertenece al intervalo [0.64, 1.44]. Resumen: el punto fijo es 1.

V. El punto fijo se puede aproximar con el m´etodo de iteraci´on simple, empezando con cualquier punto x0 del intervalo [0.64, 1.44]. Hagamos 5 iteraciones empezando con x0 = 0.64:

x0 := 0.64;

x1 :=√

x0= 0.8;

x2 :=√

x1≈ 0.894427;

x3 :=√

x2≈ 0.945742;

x4 :=√

x3≈ 0.986150;

x5 :=√

x4≈ 0.993051.

Aplicaci´on del m´etodo del punto fijo, p´agina 2 de 4

(3)

3. Ejemplo. Consideramos la funci´on g(x) = 1

2

 x + 4

x



en el intervalo [1.5, 3].

Calculamos su derivada:

g0(x) = 1 2

 1 − 4

x2



= x2− 4

2x2 = (x − 2)(x + 2) 2x2 .

Se ve que g0 es una funci´on creciente; tambi´en es f´acil comprobarlo con la segunda deri- vada:

g00(x) = 4 x3 > 0.

Como g0 es creciente,

x∈[1.5,3]min g0(x) = g0(1.5) = 2.25 − 4

2· 2.25 = − 7

18, max

x∈[1.5,3]g0(x) = g0(3) = 9 − 4 2· 9 = 5

18. Calculamos C como el m´aximo valor absoluto de g0:

C := max

x∈[1.5,3]|g0(x)| = max

− 7 18

,

5 18

= 7 18.

La constante C satisface la condici´on C < 1. Ahora vamos a calcular g([1.5, 3]). Notemos que g0 se anula en el punto 2, por eso es suficiente calcular los valores de g en el punto 2 y en los extremos del intervalo:

g(1.5) = 25

12, g(2) = 2, g(3) = 13 6 . De aqu´ı

x∈[1.5,3]min g(x) = 2, max

x∈[1.5,3]g(x) = 13

6 , g([1.5, 3]) =

 2,13

6



⊂ [1, 3].

Acabamos de verificar que se cumplen las condiciones del teorema. Calculemos las prime- ras 5 iteraciones empezando con el punto x0= 3:

x0 = 3;

x1 = g(x0)≈ 2.166666667;

x2 = g(x1)≈ 2.006410256;

x3 = g(x2)≈ 2.000010240;

Para k = 4, 5, . . . los valores de xk ya est´an muy cerca del punto fijo 2.

Aplicaci´on del m´etodo del punto fijo, p´agina 3 de 4

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En los siguientes ejercicios hay que mostrar que se cumplen las condiciones del teorema del punto fijo, y luego calcular xk para k = 1, 2, 3, 4, 5.

4. Ejercicio. [a, b] = [1, 3], g(x) = 2 +x 2 − x2

4 .

5. Ejercicio. [a, b] = [1, 2], g(x) =cos(x), x0= 1.

6. Ejercicio. [a, b] = [0.4, 1], g(x) = 1 2√

2x, x0= 1.

Aplicaci´on del m´etodo del punto fijo, p´agina 4 de 4

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