También agradezco a mis compañeros docentes que se tomaron el esfuerzo y el tiempo de revisar el contenido de esta tesis, el Dr. Finalmente, agradezco especialmente a quien fue el Director de esta tesis, y también a mi Docente, el Dr.
Comentarios iniciales
El capítulo 3, titulado Bifurcación de Hopf controlable, establece inicialmente un resultado demostrado en [13], conocido como Teorema de la bifurcación de Hopf controlable, y aquí se da el primer aporte original de este trabajo, que consiste en demostrar un nuevo resultado. el cual consideramos como una nueva versión del teorema de bifurcación de Hopf verificable, que en nuestra opinión mejora de alguna manera (que se describe en el mismo capítulo) la primera versión, que fue presentada en [13]. El capítulo concluye resolviendo un ejemplo utilizando la nueva versión del teorema de bifurcación de Hopf verificable.
Planteamiento del problema
La idea es encontrar un estado de control por retroalimentación u= αz+v, donde α ∈ Rk, y un cambio de coordenadas, tal que (4.1) pueda transformarse en el sistema (4.3), y luego aplicar el Teorema 4.1 para encontrar el comprobar las oscilaciones. de la división k-cero. El primer resultado original producido se desarrolló en el capítulo dos y es la prueba de una nueva versión del teorema de bifurcación de Hopf verificable.
Preliminares Matem´ aticos 9
Teor´ıa de la Variedad Central
- Campos Vectoriales
- Campos Vectoriales parametrizados
Antes de enunciarlo, encontraremos una ecuación diferencial en derivadas parciales cuya incógnita es exactamente nuestra función h(x). Encontrar la solución de esta ecuación en derivadas parciales es generalmente más difícil que la solución del sistema (2.13), sin embargo, el siguiente teorema nos permitirá aproximar la solución de (2.16) con el grado de precisión deseado.
Formas Normales
Dado que los valores propios de J no son resonantes, la expresión anterior siempre tiene sentido. Los vectores propios de LJ resultantes de valores propios distintos de cero forman la base de la imagen Br =LJ(Hr).
Bifurcaci´ on de Hopf
- Primer coeficiente de Lyapunov
Definición 3.1 Entre los sistemas que experimentan la bifurcación de Hopf y que pueden ser controlados, llamaremos al sistema la forma normal de la bifurcación de Hopf controlable. La bifurcación k-cero se produce cuando la parte lineal del campo vectorial tiene un valor propio cero con multiplicidadk y el resto de valores propios tienen una parte real distinta de cero. La bifurcación de Hopf k-cero ocurre cuando la parte lineal del campo vectorial tiene dos valores propios imaginarios, k cero valores propios y el resto son valores propios con parte real negativa.
Ahora, según el teorema 3.2, el sistema (5.9) experimenta la llamada bifurcación de Hopf controlable si el control de retroalimentación del estado ν está dado por. Observación 6.1 Dado que el objetivo que se persigue es transformar el sistema (6.1) en un sistema que experimente la bifurcación de Hopf k-cero, entonces debemos obtener.
Bifurcaci´ on de Hopf Controlable 29
Teorema de la bifurcaci´ on de Hopf
El siguiente teorema nos permite establecer a priori, para un sistema en forma normal de bifurcación de Hopf controlable, los valores de l1 y d, esto nos permite controlar la dirección y estabilidad de las soluciones periódicas que surgen de la bifurcación. en Hopf.
Nueva versi´ on del teorema
- Lemas preliminares
- Expresi´ on expl´ıcita del cambio de coordenadas
- El teorema en su nueva versi´ on
Si luego seleccionamos j2(x) en el cambio de coordenadas (3.4) de modo que esta sea la aproximación cuadrática de la variante central del sistema (3.15), entonces ˜f22(x)≡0, y luego . Dado el sistema (3.18), según el teorema de las formas normales podemos suponer un cambio de coordenadas de la forma x = ϕ+h3(ϕ), de modo que es posible simplificar (3.18) al sistema. De esta forma, el sistema tiene una variedad central tridimensional que pasa por el origen.
En esta sección encontraremos las formas explícitas de los polinomios homogéneos h2(x) y h3(x), incluidos en el cambio de coordenadas del Lema 3.1 como parte de la función H(x). Recordemos que para pasar del sistema original (3.1) al sistema (3.5) utilizamos el cambio de coordenadas η=ξ+H(x), es decir, z =x+h2(x)+h3 (x) ) y w=y+j2(x ), entonces, si "volvemos" a las coordenadas originales, principalmente en el caso de la coordenada z, tendremos que hacerlo.
Un ejemplo
En resumen, el control de retroalimentación de estado (4.4), con α1, α2 dado por (4.8), transforma el par de valores propios cero de la matrizJ en un par de valores propios imaginarios ±iω0, y el resto de valores propios permanece igual. Entonces necesitamos encontrar α tal que dos valores propios de Jk+b1α sean cero y el resto tengan parte real negativa. En este apartado estudiaremos un sistema controlable no lineal cuya linealización tiene dos valores propios imaginarios, un valor propio cero de multiplicidad k y el resto de valores propios tienen parte real negativa.
Entonces la idea es diseñar el control de retroalimentación de manera que primero convierta el valor propio cero de multiplicidadk en valores propios con parte real negativa, sin cambiar los múltiplos de los valores propios ya existentes con parte real negativa. Teorema 3.2 para controlar la bifurcación de Hopf obtenida. Otro nuevo resultado que hemos logrado es la generalización de la bifurcación k-cero, que llamamos bifurcación k-cero de Hopf. Consiste en tomar la idea trabajada en [12] y aplicarla a un sistema de control no lineal. dos valores propios puramente imaginarios, un valor propio cero con multiplicidadk, y el resto de valores propios tienen parte real negativa.
Control de oscilaciones alrededor de la bifurcaci´ on k-cero 45
Formulaci´ on del problema
Control de las oscilaciones para el caso k = 2
- Dise˜ no de la ley de control
- Cambio de coordenadas
- Dise˜ no de v(z, µ, λ)
- Teorema principal
Recuerde que nuestro objetivo es encontrar α tal que un par de valores propios Je se encuentren en el eje imaginario. Tenga en cuenta que Jees triangula en bloques, por lo que sus valores propios están dados por los valores propios de J2+b1α y JS. Entonces, basta con encontrar α tal que los dos valores propios de J2+b1α estén en el eje imaginario, es decir
Para usar el Teorema 3.2 en el sistema (4.5), necesitamos cambiar las coordenadas para poner la parte lineal en forma de Jordan, es decir necesitamos encontrar η= Φ−1ξ tal que.
Control de las oscilaciones para el caso
- Reducci´ on al caso k = 2
- Cambio de coordenadas
- Dise˜ no de la ley de control
- Teorema principal
Este método fue presentado en dos partes: en la primera parte fue desarrollado para el caso especial de una bifurcación de doble cero, y aquí se trata de encontrar un cambio de control y coordenadas de tal manera que el sistema se transforme en el Forma normal de una bifurcación de Hopf controlable. La segunda parte consiste en transformar el caso general, al que llamamos bifurcación k-cero, en el caso especial k = 2 (bifurcación doble cero) y luego utilizar el resultado obtenido en esta parte (Teorema 4.1). En el tercer capítulo presentamos la bifurcación k-cero y en el cuarto capítulo la bifurcación de Hopf k-cero, donde en ambos casos es posible trasladarlas a la forma normal de la bifurcación de Hopf controlada, para finalmente diseñar el control apoyado por el teorema 3.2.
En este tipo de sistemas, el objetivo es transferir el sistema de control no lineal dado con las características mencionadas anteriormente a su forma normal de bifurcación de Hopf controlable y luego hacer uso de nuestro resultado establecido en el Teorema 3.2. Una vez transformado el sistema dado con las características anteriores de tal manera que experimente la ramificación de Hopf k-cero, se procede a diseñar una ley de control, con base en el resultado obtenido en el capítulo cuatro, para este tipo de ramificación.
Control de oscilaciones alrededor de la Bifurcaci´ on k-cero Hopf 61
Planteamiento del Problema
Control de las oscilaciones
Tenga en cuenta que esta matriz es triangular en bloque, por lo que los valores propios están dados por los valores propios de J1, Jk+b2α y JS. Entonces debemos encontrar α tal que los valores propios de Jk+b2α tengan una parte real negativa, tal que no estén en σ(JS). Aquí también es válida la observación 4.2, ahora para el vector α, y nuevamente se elabora el lema para obtener la forma explícita de dicho vector.
Cambio de coordenadas
Dise˜ no de la ley de control
Resultado principal
Nos referimos a la clase de sistemas que tienen como parte lineal del campo vectorial una matriz cuyos valores propios son: pares de la forma ±iωj. Luego logramos transformar el sistema (6.1) en el sistema (6.23), que tiene una forma tal que experimenta la bifurcación de Hopf k-cero. El capítulo dos es quizás el más importante de esta tesis, ya que en él analizamos y demostramos una versión simplificada del teorema de bifurcación verificable de Hopf enunciado y demostrado por primera vez en [13]. Esta nueva versión es la base sobre la que se sustenta toda la investigación. Se basa el análisis y desarrollo de los tres capítulos siguientes.
El aporte es la simplificación de los cálculos de los coeficientes de estabilidad, en el control de las órbitas periódicas que se presentan. Este resultado se expresa en el teorema 3.2 y es posiblemente la contribución más importante.
Control de Oscilaciones para Sistemas m´ as Generales 71
El problema general
- Control de las oscilaciones
Entonces necesitamos encontrar % tal que JM +b% tenga dos valores propios imaginarios, y el resto tenga una parte real negativa, pero que no estén en σ(JS). Ahora bien, si aplicamos la eliminación gaussiana a la matriz M, con rotación por filas y sin intercambiarlas, podemos observar que la matriz triangular superior resultante es de la forma En este trabajo, comenzamos nuestro estudio en el capítulo uno, con algunos conceptos matemáticos preliminares, que en algunos casos dan una justificación detallada de resultados importantes que utilizamos en desarrollos posteriores, como el lema de Sylvester de la sección 1.1, este lema fue de suma importancia. importancia para el desarrollo de nuestro material, ya que se utiliza una y otra vez en la prueba de diversos resultados posteriores.
Muchas teorías importantes como la teoría de la variedad central y la teoría de las formas normales han sido estudiadas en detalle, en las secciones 1.2 y 1.3 respectivamente, estas teorías son básicas en el estudio de la rama de Hopf, cuyo teorema principal se muestra en sección 1.4. . El desarrollo del resultado final al que llegamos se refiere a su vez a la generalización de la bifurcación k-cero de Hopf, es decir, aplicamos el resultado obtenido para este último tipo de bifurcación a un sistema de control no lineal, del cual contiene la parte lineal r puramente imaginario. valores propios, donde estos valores propios pueden tener múltiplos diferentes, también contiene un valor propio cero con multiplicación y s valores propios con parte real negativa.
