Ecuaciones Diferenciales I - Tarea 7
Fecha de entrega: 7 de octubre, 2011.
1. (1 pt.) Encuentra la soluci´on general a la ecuaci´on
y00+ 1
4t2y= cost, t >0.
(Hint: Verifica que y1(t) = √
t es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea asociada.)
2. (1 pt.) Considera un sistema mec´anico descrito por la ecuaci´on y00+14y0+ 2y= 2 cos(ωt), y(0) = 0, y0(0) = 2.
Encuentra la soluci´on al problema de valores iniciales e identifica la parte de la soluci´on que se denomina “estacionaria”. Encuentra la amplitud A de la soluci´on estacionaria como funci´on de ω, y encuentra el m´aximo valor deA, as´ı como la frecuencia a la cual ocurre.
3. Aplica el m´etodo de variaci´on de par´ametros para encontrar la soluci´on general a cada una de las siguientes ecuaciones de segundo orden:
(a) (1 pt.) y00−2y0+y=et/(1 +t2).
(b) (2 pts.)
y00−t+ 2 t
y0+t+ 2 t2
y= 2t, t >0.
Hint: Una soluci´on de la homog´enea esy1(t) =tet.
4. (a) (1 pt.) Sea el operador Ly =y00−2ry0+r2y con r∈R, constante.
Prueba que
L(ertv(t)) =ertv00(t).
(b) (2 pts.) Encuentra la soluci´on general a la ecuaci´on y00−6y0+ 9y=t3/2e3t. 5. Considera la ecuaci´on
y00+y=f(t),
dondef es una funci´on continua en el intervalot∈[1,+∞) que satisface Z +∞
1
|f(t)|dt <+∞.
(a) (1 pt.) Usando el m´etodo de variaci´on de par´ametros, demuestra que una soluci´on particular es
yp(t) = Z t
1
sin(t−s)f(s)ds.
(b) (1 pt.) Prueba que toda soluci´on de la ecuaci´on es acotada en el intervalo [1,+∞).
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