EJEMPLO: COSTE TOTAL DE UN PROYECTO (Calculo de las funciones de variables aleatorias)
Un contratista está interesado en saber cuál es el coste total de un proyecto de ingeniería para el que pretende presentar una oferta. Estima que los materiales costarán 25.000 $ y su trabajo 900 $ al día. Si el proyecto tarda en realizarse X días, el coste laboral total será de 900X $ y el coste total del proyecto en dólares será:
C= 25000 + 900X
El contratista estima unas probabilidades subjetivas (tabla 1) de la duración probable del proyecto:
a) Halle la media y la varianza de la duración X
b) Halle la media, la varianza y la desviación típica del coste total C.
Duración X (días) Probabilidad P(x)
10 0.1
11 0.3
12 0.3
13 0.2
14 0.1
Tabla 1: Distribución de probabilidad de la duración
Solución:
a) La media y la varianza de la duración X pueden hallarse mediante la formula 𝐸(𝑥) = µ = ∑ 𝑥𝑓(𝑥)
Duración X (días) Probabilidad P(x) X * P(x) (𝑿 − µ)𝟐∗ 𝑷(𝒙)
10 0.1 1 0.361
11 0.3 3.3 0.243
12 0.3 3.6 0.003
13 0.2 2.6 0.242
14 0.1 1.4 0.441
µ = 11.9 σ2= 1.29
La sumatoria da en total µ = 𝟏𝟏. 𝟗 𝒅í𝒂𝒔 que sería la media.
Para el cálculo de la varianza, utilizamos la fórmula:
Var(x) =σ2= ∑(𝑥 − µ)2𝑓(𝑥) La varianza de la duración X es 1.29 días.
b) La media, la varianza y la desviación típica del coste total, C, se hallan teniendo presente que:
Entonces la media es:
𝜇𝑥= 𝐸(25000 + 900𝑋) = (25000 + 900𝜇𝑥) 𝜇𝑥= 25000 + (900)(11.9) = 35710$
La varianza es:
𝜎𝐶2= 𝑉𝑎𝑟(25000 + 900𝑋) = (900)2𝜎𝑋2 𝜎𝐶2= (810000)(1.29) = 1044900 La desviación típica es:
𝜎𝐶= √𝜎𝐶2= √1044900 = 1022,20 Funciones Lineales de una variable aleatoria:
Sea X una variable aleatoria de media µ𝒙 y varianza 𝜎2𝑥 y sean a y b unos números fijos constantes cualesquiera. Definimos la variable aleatoria Y como a+bX. Entonces, la media y la varianza de Y son:
𝜇𝑥= 𝐸(𝑎 + 𝑏𝑋) = 𝑎 + 𝑏𝜇𝑥
