2 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋 } Solución. a) Área entre dos esferas con centro en (0,0,0) y de rayos 1 y 2. b) Semiplano vertical que corta al plano 𝑋𝑌 en la bisectriz del cuarto cuadrante. Para los siguientes conjuntos, indique si son abiertos, cerrados, acotados y determine el interior, el cierre y el límite. a) 𝐴 = {( 𝑥, 𝑦 ) ∈ℝ2.
L´ımites y continuidad en varias variables
Diferenciabilidad: nociones fundamentales
Encuentre las derivadas direccionales en el origen en cualquier dirección de la siguiente función. Solución.𝑓 no es continua, hay derivadas parciales y no es derivable en (0,0)y𝜕 𝑓. b) Halla las derivadas parciales de 𝑓 en (0,0).
Diferenciabilidad: aplicaciones
Integraci ´on m ´ ultiple
1+ 𝑥2+ 𝑦2d𝑥d𝑦, donde 𝐷 es la circunferencia del primer cuadrante delimitado por la circunferencia con centro en el origen y radio 1. Calcula el volumen de la parte de la esfera con centro en el origen y radio 2 mayor que el plano horizontal𝑧 1 .
Ejercicios resueltos
- Calcular las integrales dobles de las funciones indicadas en cada apartado sobre la regi ´on indicada en el mismo apartado
Los límites de integración de 𝑟 y 𝜃 se obtienen por la idea habitual de trasladar los límites del dominio 𝐷 a las nuevas coordenadas. En este caso, el triángulo base se nos da explícitamente, pero es la forma de la función a integrar la que determina el orden de integración. Más precisamente, si primero tratamos de integrar con respecto a la variable 𝑦, la integral (en una variable) de la función 𝑒𝑦2 no se puede realizar.
Esto significa que cuando pasamos a integrales repetidas, necesitamos mirar 𝑦 entre límites de integración fijos y 𝑥 entre límites de integración variables que pueden depender de 𝑦. En cuanto a los límites (ahora posiblemente variables, dependiendo de 𝑥) de la variable 𝑦, observamos por un lado que 1 ≤ 𝑦, que no lo es.
De forma parecida al ejercicio anterior, calcular la integral doble
Solución Este es el mismo cambio de variable que en el ejercicio anterior, y usaremos lo que calculamos anteriormente. La solución. En este ejercicio no se puede utilizar convenientemente ninguna de las transformaciones de coordenadas estudiadas (ni esféricas ni cilíndricas), y lo mejor es utilizar la llamada estrategia 2+1, es decir, pasar de la integral triple a la integral doble por restringiendo la variable 𝑧 y luego calculando también la integral doble. Solución Dado que el cuerpo que queremos integrar es parte de un cilindro, es más fácil usar coordenadas cilíndricas.
Vamos directo a la solución. a) El sólido 𝑊 que tenemos en esta sección tiene los siguientes límites de integración:. En este caso, si volvemos a usar coordenadas cilíndricas, el sólido tiene 𝑊 (obvio) límites de integración.
Integrales de l´ınea
En este caso, la integral de línea debe calcularse por separado en cada una de las partes de la curva descrita en el enunciado y luego sumarse para obtener el resultado final. Como observación, el campo 𝐹 ( 𝑥, 𝑦 ) = (sen 𝑥,cos 𝑦 ) es un campo conservativo con función potencia 𝑓 ( 𝑥, 𝑦 ) = sen 𝑦 −cos 𝑥 , por lo que podríamos usar el teorema fundamental de las integrales de línea para obtener (más rápido) el mismo resultado. Solución Recuerde la correspondencia entre la integral de arco escalar y la integral de arco.
Usamos esta correspondencia en este ejercicio para ver las integrales que necesitamos calcular como integrales de línea de campos vectoriales (que serán conservativas) y así aplicar el Teorema fundamental de las integrales de línea. Dado que la curva 𝐶 es una curva cerrada (elipse), resulta que la integral de línea es igual a cero.
Usando el algoritmo habitual para encontrar una función potencial, obtenemos desde el primer intento que una función potencial de este campo es 𝑓3( 𝑥, 𝑦. Solución. La idea de este ejercicio es entender que se trata en cualquier caso de curvas cerradas y poder usar la solución del teorema de Green Con la fórmula de cálculo de la definición, podemos parametrizar la curva como la gráfica de una función 𝑐 ( 𝑡 ) = ( 𝑡 ,1+ 𝑡2),𝑡 ∈ [−1 ,1] y calcula la integral de línea, suponiendo que la función de 𝑡 que se integrará al final es una función impar.
Pero en este caso, a diferencia del campo de vorticidad que vemos en clase, se puede demostrar que este campo es conservativo usando un teorema que no dimos pero que comentamos en clase: si la integral sobre cualquier círculo es 0, entonces es conservativo (se puede verificar tomando círculos centrados en (0,0), parametrizando con ( 𝑥 ( 𝑡 ) , 𝑦 ( 𝑡 )) = ( 𝑟cos𝑡, 𝑟sin𝑡 ) y hacer el cálculo exactamente como lo hicimos para el campo de vorticidad; en este caso devuelve 0). Solución Este es un ejercicio un poco más complejo que introduce la técnica de descomposición al cálculo de integrales de línea: cada campo en ℝ2 se puede escribir como una suma entre un campo conservativo y un campo de la forma (0, 𝐹2( 𝑥, 𝑦 ) ) , y este segundo campo es más fácil de trabajar. b) La parametrización del segmento 𝑂𝐴 viene dada por.
Integrales de superficie
Usando el teorema de la divergencia de Gauss, calcula la integral de superficie del campo F( 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = ( 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) sobre las seis caras del cubo. Finalmente, obtenemos la parametrización del triángulo: 2. Considera la superficie resultante 𝑆 como el límite del área delimitada por el cilindro 𝑦2+ 𝑧2 =9 y los planos 𝑥 =0 y 𝑥 + 𝑦 =5. a) Halla la parametrización de la superficie 𝑆. b) Calcular la integral de superficie∫ ∫. a) La superficie 𝑆 consta de tres partes diferentes y debe escribirse como unión ´sobre 𝑆 = 𝑆1∪ 𝑆2∪ 𝑆3, donde 𝑆1 es la base del cilindro (en el plano 𝑥 =0 consideramos que en este caso 𝑥 es una componente que cuenta como . altura .en lugar de 𝑧) en el plano 𝑥 =0, 𝑆2 es la superficie lateral del cilindro y 𝑆3 es la intersección del cilindro con el plano 𝑥 + 𝑦 = 5. No olvidemos que la variable 𝑥 juega el papel de la variable vertical habitual 𝑧 en este ejercicio.
Por tanto, se parametriza con coordenadas cilíndricas en las variables ( 𝑦, 𝑧 ) y dado que 𝑥 =5− 𝑦 sobre la superficie 𝑆3. Así obtuvimos la parametrización de la superficie 𝑆 como unión de tres superficies parametrizadas.
2 . Por tanto la integral de superficie 𝐼 3 se calcula como
Por tanto, usando la parametrización 𝑔2 podemos calcular la integral 𝐼2 (sin olvidar multiplicar por 3 con la norma del vector normal):. como se puede encontrar calculando término por término. Es muy difícil parametrizar la región de la esfera 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 con coordenadas esféricas estándar, ya que la condición 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 se escribiría como una condición en l límites del producto sin𝜙sin𝜃 y sería difícil trabajar con ella. Por lo tanto, debemos usar la observación de que la esfera es simétrica con respecto a las tres componentes ( 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) y notar que invertir los roles de las coordenadas 𝑦 y 𝑧 da el mismo resultado (es decir, piensa en la "altura " como si 𝑦).
Por lo tanto, el flujo de campo eléctrico a través de la superficie 𝐷 se calcula como una integral de superficie. La idea de este ejercicio es utilizar el Teorema de la Divergencia y así transformar el cálculo de integrales de superficie en integrales triples.
Para encontrar los límites de integración en coordenadas polares, trasladamos los límites de la región a coordenadas polares (como lo hemos hecho en muchos otros ejercicios y esta debería ser una técnica familiar): . límite inferior 𝑥 = −1, es decir 𝑟cos𝜃 = −1 o bien 𝑟 = −1/cos𝜃, que es un número positivo ya que el coseno es negativo. En cuanto al ángulo, basta igualar los extremos de los límites de integración de 𝑟 y resolver la ecuación en 𝜃 obtenida para encontrar los límites de integración de la variable 𝜃:. lo mismo también se ve de forma geométrica en un dibujo, con la solución de triángulos rectángulos). Como estamos tratando con una parte de la esfera (ver también el ejercicio 3(a)), usamos coordenadas esféricas y ya conocemos la parametrización y el vector normal:.
Para encontrar los límites de los ángulos 𝜙,𝜃, recordamos que estamos ante una región de la esfera, 𝑧 ≥ 1/2, que limita el ángulo 𝜙. Segundo método: calculamos la misma integral usando el teorema de Stokes, primero observamos que el límite de la superficie 𝑆 es el círculo obtenido al intersecar el plano 𝑧 =1/2 con la esfera 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2=1.
3 2 cos 𝑡,
Luego comprueba que F =rot(G) donde G( 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = (0, 𝑥, 𝑥 𝑧 ) y vuelve a calcular la integral de superficie usando el teorema de Stokes. La solución. El primer método: calculamos la integral de superficie utilizando la fórmula de parametrización y cálculo directo. Sabemos que la curva 𝐶 viene dada por 𝑥2+ 𝑦2 = 3/4 dentro del plano 𝑧 =1/2, por lo que podemos parametrizarla con coordenadas polares en las variables ( 𝑥, 𝑦 ) y poniendo 𝑧 =1/2 fijo:.
3 2 sin 𝑡, 1
3 4 cos 𝑡
3 2 sin 𝑡,
Este ejercicio es algo así como un análogo en 3D del Ejercicio 6, Hoja 2, donde se usa nuevamente el método de descomposición, en este caso para calcular una integral de superficie. a) Podemos escribir (como indica el enunciado). En general, el problema de encontrar un potencial vectorial para un campo dado es un problema muy difícil, pero en nuestro caso el campo G depende solo de 𝑥 y 𝑦, lo que facilita la búsqueda, ya que necesitamos buscar el campo Atambi ´ buscar solo en( 𝑥, 𝑦 ), es decir, en la forma. De acuerdo con el teorema de Stokes, tenemos que donde 𝜕𝑆 es la curva límite de la superficie 𝑆, es decir, el círculo de radio 1 dentro del plano 𝑧 = 0.
Para continuar con el cálculo no nos queda más que calcular la última integral de forma estándar, con la fórmula de cálculo, pero el campo restante H= (0,0, 𝑧2) ya es bastante sencillo. Sabemos que la parametrización y el vector normal positivo del hemisferio superior de radio 1 son
Ecuaciones diferenciales
- Ecuaciones exactas
De ello se deduce que la ecuación tiene un factor integrante que depende solo de la variable 𝑥. Se obtiene la solución de la ecuación obtenida para 𝜇 en función de 𝑥 (ecuación de variables separables).
Como indica la teoría, hacemos el cambio de variable 𝑧 = 𝑦 / 𝑥 o 𝑦 = 𝑥 𝑧 y obtenemos una ecuación de variables separables.
Ahora vamos al segundo paso, el de la variación de la constante, y buscamos una solución particular de la forma. Variando la constante buscamos una solución particular de la ecuación completa de la forma 𝑧𝑝( 𝑥 ) = 𝐾 ( 𝑥 ) 𝑥2, y derivando obtenemos. Por tanto, la solución general de la ecuación lineal de primer orden obtenida es 𝑧 ( 𝑥 ) = 𝐾𝑥2− 𝑥4 y recordando el cambio de variable realizado al principio, obtenemos.
Con la variación de la constante buscamos una solución particular de la ecuación completa de la forma 𝑧𝑝( 𝑥 ) = 𝐾 ( 𝑥 ) 𝑥 y obtenemos la diferenciación.
Según la conocida receta, obtenemos que la base de la ecuación lineal homogénea es { 𝑒𝑥, 𝑒2𝑥} y su solución general. Según la receta conocida, obtenemos que la base de la ecuación lineal homogénea es { 𝑒𝑥cos𝑥, 𝑒𝑥sin𝑥 }y su solución general. Sin embargo, estamos en un caso excepcional donde el término libre 𝑒𝑥sen𝑥 es solución de una ecuación homogénea.
Usando la conocida receta, obtenemos que una base de la ecuación lineal homogénea es { 𝑒𝑥cos(2𝑥 ), 𝑒𝑥sin(2𝑥 )} y su solución general es . Considerando la simplicidad y forma especial del término libre 𝑏 ( 𝑥 ) = 25𝑥2 +12 (polinomio de segundo grado) podemos usar el método de los coeficientes indeterminados para buscar la solución específica también como un polinomio de segundo grado.
C ´alculo num ´erico
- Interpolaci ´on num ´erica
- Derivaci ´on num ´erica
- Integraci ´on num ´erica
Ejercicio 1 (interpolación de Vandermonde y Lagrange). b) Calcula y dibuja la base de los polinomios de Lagrange con soporte {−1,1,4}.
