El problema de las sumas de dos cuadrados - TEMat

� Alberto Cobos Rábano^a KU Leuven [email protected]

Resumen: Con el pretexto de resolver el problema clásico de la representación como suma de dos cuadrados en teoría de números, introduciremos una serie de conceptos fundamentales de este campo, como son las funciones multiplicativas o la descomposición de primos en anillos de enteros. Veremos también la relación entre la teoría de números y otras ramas de las matemáticas, pues la resolución del problema se basa en el estudio de los enteros gaussianos y de la divisibilidad en este anillo. Concluiremos demostrando qué enteros son sumas de dos cuadrados de enteros, y de cuántas maneras distintas.

Abstract: With the pretext of solving the classical number theory problem of rep- resentations as a sum of two squares, we shall introduce a series of fundamental concepts of this field, such as multiplicative functions or factorizations of primes in rings of integers. We shall also see the connection between number theory and other fields of mathematics, as the solution of the problem is based on the study of Gaussian integers and their divisibility. We shall finish by showing which integers are a sum of two squares of integers, and in how many different ways.

Palabras clave: teoría de números, sumas de dos cuadrados, función multiplicativa, enteros gaussianos, primos gaussianos.

MSC2010: 11E25.

Recibido: 23 de agosto de 2018.

Aceptado: 13 de septiembre de 2018.

Agradecimientos: Quiero agradecer al profesor Luis Manuel Navas, de la Universidad de Salamanca, todo el tiempo que me ha dedicado y todo lo que he aprendido de él en el desarrollo de mi Trabajo de Fin de Grado, del cual se extrae este artículo.

Referencia: COBOS RÁBANO, Alberto. «El problema de las sumas de dos cuadrados». En:TEMat, 3 (2019), págs. 1-16.

ISSN: 2530-9633. URL:https://temat.es/articulo/2019-p1.

aEl autor estaba afiliado a la Universidad de Salamanca (USAL) durante la realización de este trabajo.

cb Este trabajo se distribuye bajo una licencia Creative Commons Reconocimiento 4.0 Internacional

1. Introducción

El objetivo de este artículo es resolver el siguiente problema clásico de la teoría de números.

Problema 1. Determinar qué números naturales son suma de dos cuadrados de enteros. ◀

En otras palabras, queremos determinar qué𝑛 ∈ Žse pueden expresar en la forma𝑛 = 𝑎²+ 𝑏²para ciertos𝑎,𝑏 ∈š. Con esto ya podemos dar nuestra primera definición.

Definición 2. Diremos que una pareja(𝑎,𝑏) ∈š²es unarepresentación de𝑛 ∈Žcomo suma de dos cuadradossi𝑎²+ 𝑏²= 𝑛. Por abuso de notación, diremos también que𝑎²+ 𝑏²es unarepresentaciónde 𝑛, considerando relevante tanto el orden como el signo de𝑎y𝑏. ◀

Relacionado con el problema de determinar los naturales que son representables, queremos resolver también el siguiente problema.

Problema 3. Dado𝑛 ∈Žrepresentable como suma de dos cuadrados, dar una fórmula cerrada para el número de representaciones distintas de𝑛como suma de dos cuadrados. ◀

La primera referencia histórica a problemas de sumas de cuadrados es el problema 8 de laAritméticade Diofanto, que pide escribir un cuadrado como suma de dos cuadrado. Dicho problema fue retomado por Fermat, quien enunció también el problema1. Véase el libro de Weil [9] para más información.

Comencemos con un ejemplo para comprender los problemas1y3.

Ejemplo 4. Para números «pequeños» es fácil hacer las comprobaciones pertinentes a mano. Un ejemplo de número que es suma de dos cuadrados, junto con todas las representaciones posibles, es el siguiente:

10=1²+3²= (−1)²+3²=1²+ (−3)²= (−1)²+ (−3)²

=3²+1²=3²+ (−1)²= (−3)²+1²= (−3)²+ (−1)².

Este ejemplo nos sirve para aclarar que contamos como representaciones distintas las permutaciones y los cambios de signo; es decir, estamos contando las soluciones(𝑥,𝑦) ∈š²de la ecuación𝑥²+ 𝑦²= 𝑛, para cada𝑛fijo. También4es suma de dos cuadrados:

4=2²+0²= (−2)²+0²=0²+2²=0²+ (−2)².

En este caso existen cuatro representaciones en lugar de ocho, porque cambiar de signo a0es no hacer nada. También es fácil comprobar que3no es suma de dos cuadrados, luego el problema1no es trivial, pues hay números que sí son representables y otros que no. También se puede comprobar que1996no es suma de dos cuadrados, o que

2018=43²+13²= (−43)²+13²=43²+ (−13)²= (−43)²+ (−13)²

=13²+43²= (−13)²+43²=13²+ (−43)²= (−13)²+ (−43)²

son todas las representaciones de2018como sumas de dos cuadrados, para lo cual es recomendable leer primero este documento en lugar de hacer todos los cálculos «por fuerza bruta». ◀

Antes de continuar, introducimos algunos conceptos y notaciones.

Definición 5. Dados𝑛,𝑘 ∈Ž, se denominaconjunto de representaciones de𝑛como suma de𝑘cua- dradosy se denota𝑅_𝑘(𝑛)al conjunto

𝑅𝑘(𝑛) = {(𝑥₁,…,𝑥𝑘) ∈š^𝑘∶ 𝑥²₁+… + 𝑥²_𝑘= 𝑛}.

Estamos interesados en calcular su cardinal, para lo cual consideramos la función que sobre𝑛 ∈Žtoma el valor

𝑟_𝑘(𝑛) = #𝑅_𝑘(𝑛),

denominadafunción de suma de𝑘cuadradosofunción de representación(como suma de𝑘cuadrados).

Por tanto,𝑟𝑘(𝑛)es el número de representaciones de𝑛como suma de𝑘cuadrados de enteros, contando

como distintos los cambios de signo y las permutaciones¹. ◀

1También tiene sentido considerar el caso𝑛 =0, siendo𝑅_𝑘(0) = {(0,…, 0)}^𝑘 y, por tanto,𝑟_𝑘(0) =1para todo𝑘 ∈Ž.

(0,0) (1,0) (0,1) (-1,0)

(0,-1)

Figura 1:Representación gráfica de𝑅₂(1) = 𝑆¹(0, 1) ∩š²y𝑅₂(7) = 𝑆¹(0,√7) ∩š²= ∅.

De la definición surge una duda curiosa: ¿por qué nos interesa contar como distintas las permutaciones y los cambios de signo? Un motivo es que la interpretación geométrica de𝑅𝑘(𝑛)es que estos son los puntos que pertenecen a la esfera de centro0y radio√𝑛en’^𝑘y tienen coordenadas enteras (véase la figura1, en la que hemos representado𝑅₂(1)y𝑅₂(7) = ∅). Por tanto, geométricamente, está claro que las permutaciones y los cambios de signo nos dan puntos distintos y deberían contarse como tales.

Ejemplo 6. Un ejemplo trivial de función de representación es el caso𝑘 =1. Para𝑛 ∈Žse tiene que

𝑟₁(𝑛) = {2 si𝑛es un cuadrado perfecto, 0 si𝑛no es un cuadrado perfecto,

siendo en el primer caso√𝑛y−√𝑛las dos representaciones distintas. ◀

Sobre las funciones de representación hay muchos resultados conocidos, como por ejemplo el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, que afirma que𝑟₄(𝑛) >0para todo𝑛 ∈Ž; es decir, que todo entero no negativo es suma de cuatro cuadrados de enteros. De hecho,4es el mínimo valor de𝑘con esta propiedad, pues ya hemos visto que3no es suma de dos cuadrados y no es complicado comprobar que7no es suma de tres cuadrados. También se conoce una fórmula para𝑟₄(𝑛), aunque no abordaremos aquí su demostración. No obstante, no todo está dicho sobre este tipo de problemas. Por ejemplo, el problema de Waring, «para cadaℓ ∈Ž, ¿existe un𝑘 ∈Žtal que cada𝑛 ∈Žes suma de a lo más𝑘potenciasℓ-ésimas?», no está completamente resuelto, pues se sabe que la respuesta es afirmativa pero se desconocen los valores óptimos de𝑘.

Concluimos esta introducción con una pregunta: ¿qué herramientas son necesarias para resolver los problemas1y3? La base fundamental que vamos a utilizar es el álgebra. Dedicaremos la sección2a recordar los conceptos y resultados básicos de la teoría de divisibilidad, que trata de generalizar conceptos como división, máximo común divisor o elemento primo más allá de los números enteros, y se estudia en cursos básicos de cualquier grado en Matemáticas. Aplicaremos esta teoría al estudio de los enteros gaussianos, que son los elementos de la forma𝑎 + 𝑏i con𝑎,𝑏 ∈špensados como subanillo de los números complejos. En particular, queremos determinar los primos gaussianos, y relacionarlos con la solución del problema1. Por último, introduciremos un concepto de teoría de números como son las funciones multiplicativas que nos permitirá, junto con toda la información antes recabada, solucionar el problema3.

2. Un repaso de teoría de divisibilidad

Para facilitar la comprensión de las demás secciones, hemos decidido añadir este repaso sobre teoría de la divisibilidad. Asumimos que el lector está familiarizado con la teoría de divisibilidad en anillos como se estudia en muchos cursos introductorios de álgebra abstracta; en particular, suponemos que conoce los conceptos de elementos primos e irreducibles, unidades y asociados, y máximo común divisor.

Recogeremos los principales resultados que nos harán falta posteriormente, aunque no incluiremos su demostración, al no ser este el objetivo de este documento. Puede consultarse el libro de Jacobson [6, capítulo 2].

En lo sucesivo denotaremos por𝐴a un anillo conmutativo con unidad1≠0²y sin divisores de cero (esto es, un dominio de integridad³) y llamaremos indistintamenteunidado elementoinvertiblea cualquier 𝑎 ∈ 𝐴tal que existe𝑏 ∈ 𝐴con𝑎𝑏 =1.

Definición 7. Un elemento𝑑 ∈ 𝐴se dice quedividea otro elemento𝑎 ∈ 𝐴y se denota𝑑 ∣ 𝑎si𝑎 = 𝑚𝑑 para algún𝑚 ∈ 𝐴. En ese caso, se dice que𝑑es undivisoro unfactorde𝑎, mientras que la igualdad 𝑎 = 𝑚𝑑es unafactorizaciónde𝑎. En términos de ideales,𝑑 ∣ 𝑎 ⟺ (𝑎) ⊆ (𝑑). ◀

Definición 8. Dos elementos𝑎,𝑏 ∈ 𝐴se dice que sonasociados(o que𝑎es un asociado de𝑏, o que𝑏 es un asociado de𝑎) si generan el mismo ideal; es decir, si(𝑎) = (𝑏). En términos de divisibilidad, esto equivale a que𝑎 ∣ 𝑏y𝑏 ∣ 𝑎. Escribiremos𝑎 ∼ 𝑏si𝑎y𝑏son asociados. En un dominio de integridad, es fácil comprobar que𝑎 ∼ 𝑏si y solo si𝑏 = 𝜖𝑎para alguna unidad𝜖. Claramente, ser asociados es una relación

de equivalencia en𝐴. ◀

Definición 9. Sea𝑐 ∈ 𝐴no nulo y no invertible. Dada una factorización𝑐 = 𝑎𝑏, diremos que𝑎es unfactor (o divisor) no trivialsi𝑎no es invertible y no es asociado de𝑐. En otro caso, decimos que𝑎es unfactor trivial. En caso de que tanto𝑎como𝑏sean factores no triviales, decimos que la factorización𝑐 = 𝑎𝑏es

unafactorización no trivial. ◀

Definición 10. Un elemento no invertible𝑝 ∈ 𝐴,𝑝 ≠0, se dice que esirreduciblesi𝑝solamente admite factorizaciones triviales; esto es, si𝑝 = 𝑎𝑏, entonces o bien𝑎o bien𝑏es una unidad. Por el contrario, si 𝛼 ∈ 𝐴es no nulo y no invertible y admite alguna factorización no trivial, se dice que𝛼escompuesto. ◀

Definición 11. Un elemento no invertible𝑝 ∈ 𝐴,𝑝 ≠0, se dice que esprimosi para cualesquiera𝑎,𝑏 ∈ 𝐴 tales que𝑝 ∣ 𝑎𝑏, o bien𝑝 ∣ 𝑎o bien𝑝 ∣ 𝑏. En términos de ideales, esto significa que(𝑝)es un ideal primo

(no nulo). ◀

Lema 12. En un dominio íntegro, los elementos primos son irreducibles.

Lema 13. En un dominio de ideales principales⁴(DIP)𝐴, un elemento no nulo y no invertible𝑎 ∈ 𝐴es irreducible si y solo si el ideal(𝑎)es maximal. En particular, los elementos irreducibles son primos.

Proposición 14(unicidad de la factorización en primos en cualquier dominio). Sea𝐴un dominio de integridad y sea𝑎 ∈ 𝐴un elemento no nulo y no invertible. Si𝑎es producto de primos⁵, entonces esta factorización es única salvo reordenaciones y asociados. En otras palabras, si

𝑎 = 𝑝₁𝑝₂⋯ 𝑝_𝑛= 𝑞₁𝑞₂⋯ 𝑞_𝑚,

donde los𝑝_𝑖y los𝑞_𝑗son primos (no necesariamente distintos) y 𝑛,𝑚 ∈Ž, entonces𝑛 = 𝑚y, tras una reordenación adecuada,𝑝_𝑖∼ 𝑞_𝑖para todo𝑖.

Proposición 15(existencia de factorización en irreducibles en dominios noetherianos). En un dominio íntegro noetheriano⁶𝐴, todo elemento no nulo y no invertible es producto finito de elementos irreducibles.

En particular, esto es válido para un DIP.

Definición 16. Undominio de factorización única(DFU) es un dominio íntegro en el que todo elemento no nulo y no invertible es producto de irreducibles de manera única salvo reordenaciones y asociados. ◀

Lema 17. En un dominio de factorización única, todo elemento irreducible es primo.

Teorema 18. Un dominio de ideales principales es un dominio de factorización única.

Definición 19. Undomino euclídeoes un dominio íntegro𝐴en el que existe una función𝜈 ∶ 𝐴⧵{0} →š_≥0 tal que, si𝑎,𝑏 ∈ 𝐴y𝑏 ≠0, existen𝑞,𝑟 ∈ 𝐴con𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑟y o bien𝑟 =0o bien𝜈(𝑟) < 𝜈(𝑏)⁷. ◀

2Esta condición sirve para excluir el caso del anillo𝐴 =0.

3Recordamos que un anillo conmutativo con unidad𝐴se dice que esíntegroo que es undominio de integridadsi para cualesquiera𝑎,𝑏 ∈ 𝐴se verifica la condición𝑎𝑏 =0 ⟹ 𝑎 =0o𝑏 =0.

4Recordamos que undominio de ideales principaleses un dominio de integridad𝐴en el que todo ideal es de la forma(𝑎)para algún𝑎 ∈ 𝐴.

5En general, un elemento de un dominio de integridad puede no tener descomposición como producto de primos. Por ello introducimos a continuación el concepto de dominio de factorización única.

6Recordamos que un anillo esnoetherianosi verifica la condición de cadena ascendente; es decir, si para cada cadena de ideales 𝐼₁⊆… ⊆ 𝐼_𝑛⊆…existe un𝑛tal que𝐼_𝑛= 𝐼_𝑛+𝑚para todo𝑚 ∈Ž.

7Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que𝜈(𝑎) ≤ 𝜈(𝑎𝑏)para𝑎,𝑏 ∈ 𝐴con𝑎,𝑏 ≠0. A veces se considera esta desigualdad como parte de la definición de dominio euclídeo.

Lema 20. Un domino euclídeo es un dominio de ideales principales.

Corolario 21. Un dominio euclídeo es un dominio de factorización única.

Definición 22. Un máximo común divisor (mcd) de dos elementos𝑎,𝑏en un dominio de integridad𝐴 es un divisor común𝑑de𝑎y𝑏que es maximal en la relación de divisibilidad; esto es, un𝑑 ∈ 𝐴tal que 𝑑 ∣ 𝑎y𝑑 ∣ 𝑏, y si𝛿es cualquier otro elemento con la misma propiedad, entonces𝛿 ∣ 𝑑⁸. Decimos que 𝑎,𝑏sonprimos relativosocoprimossi sumcdexiste y es una unidad. El máximo común divisor de dos

elementos es único salvo asociados. ◀

Teorema 23(lema de Bezout). Si𝐴es un DIP, un máximo común divisor de dos elementos𝑎,𝑏 ∈ 𝐴es cualquier elemento𝑑tal que(𝑎) + (𝑏) = (𝑑).

Concluimos con una lista de sencillas observaciones sobre el máximo común divisor y algunos ejemplos de los conceptos que hemos introducido previamente.

Corolario 24(propiedades de divisibilidad). Sea𝐴un DIP y sean𝑎,𝑏,𝑐,𝑎^′,𝑏^′∈ 𝐴. Entonces,

• Los elementos𝑎,𝑏 ∈ 𝐴son coprimos si y solo si existen𝑠,𝑡 ∈ 𝐴tales que𝑠𝑎 + 𝑡𝑏 =1.

• Si𝑎,𝑏son coprimos y 𝑎 ∣ 𝑏𝑐, entonces𝑎 ∣ 𝑐.

• Si𝑎,𝑏son coprimos y 𝑎 ∣ 𝑐,𝑏 ∣ 𝑐, entonces𝑎𝑏 ∣ 𝑐.

• Los elementos𝑎,𝑏son ambos coprimos con𝑐si y solo si𝑎𝑏es coprimo con𝑐.

• Si𝑎𝑏 = 𝑎^′𝑏^′y tanto𝑎,𝑏^′como𝑎^′,𝑏son coprimos, entonces𝑎 ∼ 𝑎^′y 𝑏 ∼ 𝑏^′.

Ejemplo 25. El anillošes un dominio euclídeo tomando como𝜈la función valor absoluto, por lo que también es un DIP (lema20) y un DFU (corolario21).

Si𝑘es un cuerpo, es bien conocido que sus únicos ideales son(0)y𝑘 = (1), luego𝑘es un DIP y también un DFU (teorema18); es más, se comprueba fácilmente que el anillo de polinomios en una variable con coeficientes en𝑘, que denotamos por𝑘[𝑥], es un dominio euclídeo tomando𝜈(𝑝(𝑥))igual al grado de 𝑝(𝑥).

En general, si un anillo𝐴es un DFU, también𝐴[𝑥]es un DFU; en particular,š[𝑥]es un DFU. Siš[𝑥]fuera un DIP, entonces todo elemento irreducible generaría un ideal maximal (lema13); en particular, como𝑥 es irreducible,(𝑥)sería maximal y, por tanto,š[𝑥]/(𝑥) ≃šsería un cuerpo, lo cual es claramente falso. Es decir,š[𝑥]es un DFU que no es un DIP, y, por tanto, tampoco es un dominio euclídeo (lema20). ◀

3. Enteros gaussianos

Tras haber refrescado conceptos como la divisibilidad, los dominios de ideales principales, los dominios de factorización única, etc., es ahora el momento de ponerlos en práctica. Para ello, vamos a introducir los enteros gaussianos. Comenzaremos definiendo este anillo y exponiendo algunas de sus propiedades básicas, para enfrascarnos enseguida en la demostración de que los enteros gaussianos forman un dominio euclídeo, pudiendo, por tanto, aplicar los conocimientos adquiridos en la sección2. Concluiremos esta sección mostrando que existe una estrecha relación entre divisibilidad enšy divisibilidad en los enteros gaussianos. Todos estos detalles constituyen los primeros pasos hacia nuestro objetivo final: resolver los problemas1y3. Para esta sección y la siguiente tomamos como referencia el artículo divulgativo de Conrad [2].

Definición 26. Se denominaanillo de enteros gaussianosal subanilloš[i]deƒdefinido como

š[i] = {𝑎 + 𝑏i∶ 𝑎,𝑏 ∈š}. ◀

En los números complejos, dado𝑧= 𝑥 + 𝑦i, se define su conjugado como𝑧= 𝑥 − 𝑦i. Esta operación se restringe bien a los enteros gaussianos pues, si𝛼 ∈ š[i], entonces𝛼 ∈ š[i]. Por otro lado, comoƒes un cuerpo,š[i]es un anillo íntegro. Además, podemos pensar que los enteros son enteros gaussianos mediante el morfismo inyectivo de anillos𝑛 ↦ 𝑛 +0i para cada𝑛 ∈š.

8Como es de esperar, si tomamos𝐴 =šel concepto de máximo común divisor que acabamos de definir coincide con el habitual, y es único salvo cambio de signo.

Ejemplo 27. Dados𝛼,𝛽 ∈ š[i], podemos determinar si𝛼 ∣ 𝛽enš[i]dividiendo enƒ. Esto nos dará un cociente de elementos deš[i](que pertenece, por tanto, al cuerpo de fracciones,‘[i]) y se trata de comprobar si este cociente vuelve a ser un elemento deš[i]. Por ejemplo,

14+3i

4+5i = (14+3i)(4−5i)

16+25 = 71−58i 41 ∉š[i],

lo cual demuestra que(4+5i) ∤ (14+3i)enš[i]. ◀

También podemos restringir a los enteros gaussianos la norma que a𝑧= 𝑥 + 𝑦i∈ƒle asigna el valor 𝑁(𝑧) =𝑧𝑧= (𝑥 + 𝑦i) (𝑥 − 𝑦i) = 𝑥²+ 𝑦².

Está claro, además, que si𝛼 ∈š[i], entonces𝑁(𝛼) ∈š_≥0. La norma𝑁nos facilita información sobre el anillo de enteros gaussianos. Además, utilizando que la conjugación compleja es multiplicativa (es decir, 𝑧₁𝑧₂=𝑧₁⋅𝑧₂) se comprueba fácilmente que también es multiplicativa la norma𝑁.

Una propiedad fundamental sobreš[i]es que se trata de un dominio euclídeo y, por tanto, hay factoriza- ción única como producto de irreducibles (que son lo mismo que los primos) a partir de los resultados mencionados en la sección previa.

Teorema 28. š[i]es un dominio euclídeo con respecto a la norma𝑁. En otras palabras, dados𝛼,𝛽 ∈š[i]

con𝛽 ≠ 0, existen𝛾,𝜌 ∈š[i]tales que𝛼 = 𝛽𝛾 + 𝜌y 𝑁(𝜌) < 𝑁(𝛽). De hecho, podemos elegir𝜌tal que 𝑁(𝜌) ≤ ¹₂𝑁(𝛽).

Demostración. Sean𝛼,𝛽 ∈š[i]con𝛽 ≠0. Dividimos enƒpara obtener que 𝛼

𝛽 = 𝛼𝛽 𝛽𝛽 = 𝛼𝛽

𝑁(𝛽) = 𝑚 + 𝑛i 𝑁(𝛽) ,

donde𝑚 + 𝑛i= 𝛼𝛽 ∈š[i]. Usando quešes un dominio euclídeo, podemos encontrar𝑞₁,𝑞₂,𝑟₁,𝑟₂ ∈š tales que

𝑚 = 𝑁(𝛽)𝑞₁+ 𝑟₁, 𝑛 = 𝑁(𝛽)𝑞₂+ 𝑟₂

y0 ≤ |𝑟₁|,|𝑟₂| ≤ ¹₂𝑁(𝛽). Esto es consecuencia de permitir restos negativos; es decir, en lugar de to- mar restos𝑟₁,𝑟₂ ∈ {0, 1,…,𝑁(𝛽) −1}, permitimos elegir los restos de entre los enteros del intervalo [−𝑁(𝛽)/2,…,𝑁(𝛽)/2). Entonces,

𝛼

𝛽 = 𝑁(𝛽)𝑞₁+ 𝑟₁+ (𝑁(𝛽)𝑞₂+ 𝑟₂)i

𝑁(𝛽) = 𝑞₁+ 𝑞₂i+ 𝑟₁+ 𝑟₂i 𝑁(𝛽) . Tomamos𝛾 = 𝑞₁+ 𝑞₂i, reordenamos y multiplicamos por𝛽, para obtener que

𝛼 − 𝛽𝛾 = 𝑟₁+ 𝑟₂i 𝛽 .

Basta con comprobar que𝑁(𝛼 − 𝛽𝛾) ≤ ¹₂𝑁(𝛽), y tomar𝜌 = 𝛼 − 𝛽𝛾. Ahora bien, tomando normas a ambos lados, como𝑁(𝛽) = 𝑁(𝛽), queda que

𝑁(𝛼 − 𝛽𝛾) = 𝑟²₁+ 𝑟²₂ 𝑁(𝛽) ≤

1

4𝑁(𝛽)²+¹₄𝑁(𝛽)²

𝑁(𝛽) = 1

2𝑁(𝛽). ▪

A continuación, presentamos una serie de resultados que relacionan la divisibilidad enšy enš[i]por medio de la norma𝑁. Algunas de estas propiedades serán claves para resolver el problema de los dos cuadrados.

Lema 29. Sean𝑐 ∈šy 𝛼 = 𝑎 + 𝑏i∈š[i]. Entonces,𝑐 ∣ 𝛼enš[i]si y solo si𝑐 ∣ 𝑎y𝑐 ∣ 𝑏enš. En particular, tomando𝑏 =0se deduce que𝑐 ∣ 𝑎enš[i]si y solo si𝑐 ∣ 𝑎enš.

Demostración. Si𝛽 = 𝑚 + 𝑛i∈š[i],𝑐𝛽 = 𝛼 ⟺ 𝑐𝑚 + 𝑐𝑛i= 𝑎 + 𝑏i ⟺ 𝑐𝑚 = 𝑎y𝑐𝑛 = 𝑏. ▪

Proposición 30(propiedades de divisibilidad sobre la norma). Sean𝛼,𝛽 ∈š[i].

1. Si 𝛽 ∣ 𝛼, entonces𝑁(𝛽) ∣ 𝑁(𝛼).

2. 𝛼es una unidad si y solo si𝑁(𝛼) =1.

3. Las unidades gaussianas sonš[i]^∗= {±1,±i}.

4. Si 𝛼 ≠0y 𝛽 ∣ 𝛼, entonces𝑁(𝛽) = 𝑁(𝛼)si y solo si𝛽 ∼ 𝛼.

5. 𝑁(mcd_š[i](𝛼,𝛽)) ∣mcdš(𝑁(𝛼),𝑁(𝛽)).

6. Si 𝛼,𝛽 ≠0, entonces cualquier divisor común de𝛼,𝛽de norma máxima es un mcd.

7. Si 𝛼,𝛽tienen normas coprimas enš, entonces𝛼,𝛽son coprimos enš[i].

8. Si 𝑁(𝛼)es primo enš, entonces𝛼es primo enš[i].

Demostración.

1. Es consecuencia inmediata de ser𝑁multiplicativa.

2. Si𝛼𝛽 = 1, entonces𝑁(𝛼)𝑁(𝛽) = 𝑁(𝛼𝛽) = 𝑁(1) = 1y, como𝑁(𝛼),𝑁(𝛽) ∈ š_≥0, se debe dar que 𝑁(𝛼) = 𝑁(𝛽) =1. Recíprocamente,1= 𝑁(𝛼) = 𝛼𝛼indica que𝛼es el inverso de𝛼.

3. Basta resolver𝑎²+ 𝑏²=1para𝑎,𝑏 ∈š.

4. Dado𝛼 ≠0, si𝛽 ∣ 𝛼tenemos que𝛼 = 𝛾𝛽. Entonces,𝑁(𝛼) = 𝑁(𝛾)𝑁(𝛽), luego𝑁(𝛼) = 𝑁(𝛽)si y solo si 𝑁(𝛾) =1, que por la propiedad2equivale a que𝛾 ∈š[i]^∗y, por tanto,𝛽 ∼ 𝛼.

5. Por la propiedad 2, la norma es independiente de la elección de asociados. Si 𝛿 ∣ 𝛼,𝛽, por la propiedad1tenemos que𝑁(𝛿) ∣ 𝑁(𝛼),𝑁(𝛽)y, por tanto,𝑁(𝛿) ∣mcdš(𝑁(𝛼),𝑁(𝛽)). En particular, esto es válido para𝛿 =mcd_š[i](𝛼,𝛽).

6. Sea𝛿unmcdde𝛼,𝛽y sea𝑑un divisor común de𝛼,𝛽de norma máxima. Por definición,𝑑 ∣ 𝛿, luego por la propiedad1tenemos que𝑁(𝑑) ∣ 𝑁(𝛿)y, por tanto,𝑁(𝑑) ≤ 𝑁(𝛿), así que por maximalidad de 𝑁(𝑑)se tiene que𝑁(𝑑) = 𝑁(𝛿). De la propiedad4deducimos que𝑑 ∼ 𝛿, luego𝑑también es unmcd de𝛼,𝛽.

7. Por la propiedad5, simcd_š(𝑁(𝛼),𝑁(𝛽)) =1, entonces𝑁(mcd_š[i](𝛼,𝛽)) =1, luego de la propiedad2 se deduce quemcd_š[i](𝛼,𝛽)es una unidad, es decir,𝛼y𝛽son coprimos enš[i].

8. Si𝑁(𝛼) = 𝑝para algún primo𝑝y𝛼 = 𝛽𝛾, entonces𝑝 = 𝑁(𝛽)𝑁(𝛾). Utilizando la factorización única enŽdeducimos que𝑁(𝛽) =1o𝑁(𝛾) =1; por tanto, o bien𝛽o bien𝛾es una unidad. ▪ Observación31. La propiedad1no es una equivalencia. En el ejemplo27vimos que(4+5i) ∤ (14+3i), pero𝑁(4+5i) =41∣205= 𝑁(14+3i).

La propiedad4solo es cierta bajo la hipótesis de que𝛽 ∣ 𝛼. Es fácil encontrar enteros gaussianos que tengan igual norma pero no sean asociados. Por ejemplo,𝛼 =2+i,𝛽 =2−i tienen norma5;𝛼 =3+4i, 𝛽 =5tienen norma25, y1+8i,4+7i tienen norma65.

Del mismo modo, la propiedad8permite comprobar la primalidad enš[i]a través de la norma, pero no es una equivalencia. Por ejemplo, es fácil comprobar que3es primo enš[i]pero tiene norma9. Esto muestra, además, que no es cierto en general que𝑁(mcd_š[i](𝛼,𝛽)) = mcdš(𝑁(𝛼),𝑁(𝛽)). Por ejemplo, 2−i y2+i son coprimos (pues son primos como consecuencia de la propiedad8y, como hemos dicho anteriormente, no son asociados), pero ambos tienen norma igual a5. También𝛼 =3+4i y𝛽 =3+i son coprimos (pues𝛼 = (2+i)²y𝛽 = (2−i)(1+i)), mientras que𝑁(𝛼) =25,𝑁(𝛽) =10, de modo que

mcd_š(𝑁(𝛼),𝑁(𝛽)) =5. ◀

Corolario 32. Se verifican las siguientes afirmaciones:

1. Un entero gaussiano𝛼es no nulo y no invertible si y solo si𝑁(𝛼) >1.

2. Supongamos que𝑁(𝛼) >1. Un factor 𝛽de𝛼es trivial si y solo si𝑁(𝛽) =1(unidad) o𝑁(𝛽) = 𝑁(𝛼) (asociado). Por tanto, existen ocho factores triviales de𝛼, dados por las cuatro unidades±1,±iy los cuatro asociados±𝛼,±i𝛼. Además, un divisor 𝛽de𝛼es no trivial si y solo si 1< 𝑁(𝛽) < 𝑁(𝛼).

Demostración. Basta aplicar que𝑁valora enš_≥0, la equivalencia entre tener norma nula y ser 0, y la propiedad2de la proposición30para demostrar la primera afirmación, mientras que la segunda afirmación

se deduce de las propiedades1,2,3y4de la proposición30. ▪

4. Primos gaussianos y sumas de dos cuadrados

Nos proponemos ahora resolver el problema1. Para ello, estudiaremos primero qué primos enteros son representables como sumas de dos cuadrados, lo cual está íntimamente relacionada con la divisibilidad enš[i]y da sentido al estudio que hemos hecho de este anillo. Esta relación motivará que dediquemos parte de nuestro tiempo a explorar los primos enteros que son primos gaussianos, la factorización enš[i]

y a determinar todos los primos gaussianos. Concluiremos determinando la factorización de cualquier entero como producto de primos gaussianos, y utilizando este resultado para resolver el problema1.

Comenzamos con una sencilla observación que nos ayuda a entender por qué los enteros gaussianos son esenciales para nuestro estudio.

Proposición 33. Un entero𝑛es representable como suma de dos cuadrados si y solo si existe un entero gaussiano𝛼tal que𝑛 = 𝑁(𝛼).

Demostración. Esto es inmediato a partir de la expresión𝑁(𝑎 + 𝑏i) = 𝑎²+ 𝑏². ▪ La proposición previa nos permite hacer una de las observaciones fundamentales, que era conocida por Fermat y Euler: la propiedad de ser representable como suma de dos cuadrados es una propiedad multiplicativa. Es decir, si𝑛₁,𝑛₂,…,𝑛𝑠 ∈ Ž son representables con𝑛𝑖 = 𝑁(𝛼𝑖)para cada𝑖, entonces 𝑛₁𝑛₂⋯ 𝑛𝑠= 𝑁(𝛼₁⋯ 𝛼𝑠)también es representable⁹. ¡Ojo!, no estamos diciendo que se trate de una equiva- lencia; es decir, puede suceder que𝑛₁𝑛₂⋯ 𝑛𝑠sea representable como suma de dos cuadrados mientras que alguno de los𝑛𝑖no sea representable. Siguiendo este razonamiento, estamos interesados en estudiar la representabilidad de los divisores y, por tanto, la representabilidad de los primos enteros, y en relacionar esta con la divisibilidad enš[i].

Teorema 34. Un primo entero𝑝es suma de dos cuadrados si y solo si𝑝es compuesto enš[i]. Es decir,𝑝 permanece primo enš[i]si y solo si𝑝no es suma de dos cuadrados.

Demostración. Si un primo entero𝑝es de la forma𝑝 = 𝑎²+ 𝑏², entonces𝑝 = (𝑎 + 𝑏i)(𝑎 − 𝑏i)es una descomposición no trivial enš[i]por el corolario32, pues1< 𝑁(𝑎 ± 𝑏i) = 𝑝 < 𝑝²= 𝑁(𝑝).

Recíprocamente, sea𝑝un primo enšque es compuesto enš[i], y sea𝑝 = 𝛼𝛽una descomposición no trivial. Tomando normas,𝑝² = 𝑁(𝛼)𝑁(𝛽). Por el corolario32, necesariamente se debe cumplir que 𝑁(𝛼) = 𝑁(𝛽) = 𝑝. Por tanto, si𝛼 = 𝑎 + 𝑏i, entonces𝑝 = 𝑎²+ 𝑏². ▪ Corolario 35. Sea𝑝 ∈Žun primo impar que es compuesto enš[i]. Salvo asociados,𝑝tiene dos factores primos distintos enš[i]. Además, dichos factores son conjugados y tienen norma𝑝.

Demostración. De la demostración del teorema34sabemos que𝑁(𝑎 ± 𝑏i) = 𝑝, luego por la propiedad8de la proposición30,𝑎 ± 𝑏i son primos gaussianos. Si𝑎 + 𝑏i= 𝜖(𝑎 − 𝑏i)para alguna unidad𝜖 ∈š[i], entonces

⎧⎪

⎨⎪

⎩

𝜖 =1 ⟹ 𝑎 + 𝑏i= 𝑎 − 𝑏i ⟹ 𝑏 =0, 𝑝 = 𝑎², 𝜖 = −1 ⟹ 𝑎 + 𝑏i= −𝑎 + 𝑏i ⟹ 𝑎 =0, 𝑝 = 𝑏², 𝜖 =i ⟹ 𝑎 + 𝑏i= 𝑏 + 𝑎i ⟹ 𝑏 = 𝑎, 𝑝 =2𝑎², 𝜖 = −i ⟹ 𝑎 + 𝑏i= −𝑏 − 𝑎i ⟹ 𝑏 = −𝑎, 𝑝 =2𝑎².

En cualquier caso, esto es imposible para un primo impar𝑝, por lo que𝑎 ± 𝑏i no son asociados. ▪ Comenzaremos estudiando los primos enteros que son sumas de dos cuadrados. Para ello, el teorema34 nos indica que es conveniente estudiar la factorización enš[i]de los primos enteros. El siguiente lema nos indica que de este modo se recuperan todos los primos gaussianos.

Lema 36. Todo primo gaussiano𝜋divide a algún primo entero𝑝enš[i].

Demostración. Basta observar que𝑁(𝜋) = 𝜋𝜋enš[i]. Como𝑁(𝜋) >1y𝑁(𝜋) ∈Ž, existe la descompo- sición en primos enteros𝜋𝜋 = 𝑁(𝜋) = 𝑝₁⋯ 𝑝_𝑟, y como𝜋es primo, debe dividir a alguno de los𝑝_𝑖. ▪

9Esta sencilla idea, basada en la multiplicatividad de𝑁, resulta clave para demostrar el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange que hemos enunciado más adelante como el teorema58, pues en la práctica se demuestra que todo primo entero es representable.

Observación37. El primo𝑝 =2factoriza como2= (1+i)(1−i), donde1±i son primos gaussianos de norma2, pero son asociados pues1−i= −i(1+i), luego2= −i(1+i)², apareciendo dos veces el primo gaussiano1+i. El hecho de que en una factorización aparezca un primo con multiplicidad mayor que1se conoce comoramificación. En general, se utiliza la siguiente terminología para clasificar la factorización

de un primo entero enš[i]. ◀

Definición 38. Sea𝑝 ∈Žun primo entero.

• Si𝑝permanece primo enš[i], se dice que𝑝es un primoinerte.

• Si𝑝es compuesto enš[i], decimos que𝑝es un primo quedescompone.

• Si𝑝 =2, se dice que2es el primoramificado. ◀

Utilizando esta terminología, hemos visto hasta el momento que𝑝es inerte si y solo si𝑝no es suma de dos cuadrados; que los compuestos impares𝑝descomponen con dos factores primos no asociados, y que 𝑝 =2es ramificado y es asociado del cuadrado del primo1+i. Por otro lado, el teorema34ha resultado ser una herramienta útil en nuestro estudio, pero no resuelve el problema por sí solo. Necesitamos la caracterización de primos que son sumas de dos cuadrados, debida a Fermat.

Teorema 39(clasificación de los primos que son sumas de dos cuadrados). Sea𝑝un primo entero. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. 𝑝 =2o𝑝 ≡1mód4.

2. La ecuación𝑥²≡ −1mód𝑝tiene solución; es decir,−1es un cuadrado módulo𝑝.

3. 𝑝 = 𝑎²+ 𝑏²para ciertos𝑎,𝑏 ∈š.

En particular, los primos enteros𝑝congruentes con3mód4son precisamente los primos enteros que no son suma de dos cuadrados.

Demostración. 3 ⟹ 1: Basta utilizar que los cuadrados módulo4son0y1, por lo que cualquier entero 𝑛 ≡3mód4no puede ser suma de dos cuadrados enš/(4), y menos aún enš.

1 ⟹ 2: Para𝑝 =2,𝑥²≡ −1mód𝑝tiene solución𝑥 =1. Para un primo impar𝑝, podemos considerar la siguiente factorización en†_𝑝[𝑥]:

(1) 𝑥^𝑝−1−1= (𝑥^(𝑝−1)2 −1)(𝑥^(𝑝−1)2 +1).

Aplicando el teorema de Fermat¹⁰, todo elemento𝑎no nulo de†_𝑝verifica que𝑎^𝑝−1−1≡0mód𝑝o, lo que es lo mismo, existen al menos𝑝 −1raíces distintas en†_𝑝del polinomio𝑥^𝑝−1−1. En el lado derecho de la ecuación (1), al ser†_𝑝[𝑥]un DFU (ejemplo25), el primer polinomio del lado derecho no puede tener más raíces que su grado, que es(𝑝 −1)/2, luego el segundo polinomio del lado derecho debe tener alguna raíz sobre†_𝑝; en otras palabras, existe𝑎 ∈ štal que𝑎^(𝑝−1)/2 ≡ −1mód𝑝. Si, además,𝑝 ≡1mód4, entonces(𝑝 −1)/4∈Žy𝑥 = 𝑎^(𝑝−1)/4satisface que𝑥²≡ 𝑎^(𝑝−1)/2≡ −1mód𝑝.

2 ⟹ 3: Por el teorema34, basta demostrar que𝑝es compuesto enš[i]. Si𝑥 ∈šes una solución de 𝑥²≡ −1mód𝑝, entonces𝑝 ∣ (𝑥²+1)enš, luego𝑝 ∣ (𝑥²+1) = (𝑥 +i)(𝑥 −i)enš[i]. Si𝑝fuera primo enš[i], tendríamos que𝑝 ∣ (𝑥 +i)o𝑝 ∣ (𝑥 −i), y del lema29deduciríamos que𝑝 ∣1, lo cual es

imposible. Por tanto,𝑝es compuesto enš[i]. ▪

Resumimos los resultados previos en los siguientes teoremas.

Teorema 40(factorización de primos enteros como producto de primos gaussianos). Sea𝑝 ∈Žun primo.

La descomposición de𝑝enš[i]queda determinada por la congruencia de𝑝módulo4como sigue:

1. Si 𝑝 ≡3mód4, entonces𝑝permanece primo enš[i](inerte).

2. Si𝑝 ≡1mód4, entonces𝑝 = 𝜋𝜋, donde𝜋,𝜋son primos conjugados y no asociados (descompone).

3. 2= (1+i)(1−i) = −i(1+i)²(ramificado).

Demostración. Basta combinar la observación37, los teoremas39y34y el corolario35. ▪

10Si𝑎 ≢0mód𝑝, entonces𝑎^𝑝−1≡1mód𝑝. Aunque se pueden dar demostraciones sencillas y directas, también es un corolario inmediato del teorema de Lagrange en teoría de grupos, pues el grupo de unidades†^∗_𝑝tiene orden𝑝 −1.

Teorema 41. Sea 𝛼 ∈ š[i]un primo gaussiano. Entonces, salvo asociados,𝛼debe ser de uno de los siguientes tipos:

1. 𝑝 ∈Žes un primo entero con𝑝 ≡3mód4, 2. 𝜋o𝜋con𝑁(𝜋) = 𝑝 ∈Žprimo y 𝑝 ≡1mód4, o 3. 1+i.

Además, todos los tipos de enteros gaussianos arriba descritos, al igual que sus asociados, son primos gaussianos, por lo que hemos descrito todos los primos gaussianos.

Demostración. Por el lema36, cada primo gaussiano divide a un primo entero. Comoš[i]tiene factorización única, los primos deš[i]deben ser los primos gaussianos que aparecen en el teorema40. Por último, está claro que los enteros gaussianos que aparecen en el enunciado son primos, pues en los dos últimos tipos 𝑁(𝛼)es primo y la propiedad8de la proposición30lo concluye, y en el primer tipo es consecuencia del

teorema40. ▪

En particular, del teorema41se deduce que la norma de cualquier primo gaussiano es𝑝o𝑝², siendo𝑝un primo entero. Por último, del teorema40se deduce la factorización de cualquier entero dentro deš[i].

Corolario 42. Sea𝑛 ≥2un entero, y sean𝑝₁,…,𝑝_𝑟los factores primos de𝑛congruentes con1mód4y 𝑞₁,…,𝑞_𝑠los factores primos de𝑛congruentes con3mód4, de modo que la descomposición de𝑛como producto de primos enšes la siguiente:

𝑛 =2^𝑐𝑝^𝑛₁¹⋯ 𝑝^𝑛𝑟^𝑟𝑞^𝑚₁¹⋯ 𝑞^𝑚𝑠^𝑠

para ciertos𝑛ℓ,𝑚𝑗 ≥ 1y 𝑐 ∈ š_≥0. Para cada1 ≤ ℓ ≤ 𝑟, sea𝑝ℓ = 𝜋ℓ𝜋ℓ la descomposición de𝑝ℓcomo producto de dos primos conjugados no asociados enš[i]. Entonces,𝑛factoriza enš[i]del siguiente modo:

𝑛 = (1+i)^2𝑐𝜋^𝑛₁¹𝜋^𝑛₁¹⋯ 𝜋𝑟^𝑛𝑟𝜋^𝑛𝑟^𝑟𝑞^𝑚₁¹⋯ 𝑞^𝑚𝑠^𝑠. Además, dicha factorización es única salvo el orden de los factores y asociados.

Demostración. Es consecuencia de serš[i]un DFU (por el teorema28y el corolario21) y del teorema41. ▪ Terminamos esta sección con el resultado principal, la solución completa al problema1, que viene dada por medio de los factores primos del entero en cuestión. En el teorema está excluido el caso𝑛 =1, pero está claro que1 = 1²+0² = (−1)²+0² = 0²+1² = 0²+ (−1)²son todas sus representaciones, y, en particular, es representable.

Teorema 43. Un entero𝑛 >1es suma de dos cuadrados si y solo si cada factor primo𝑝de𝑛verificando 𝑝 ≡3mód4tiene multiplicidad par.

Demostración. Ya hemos comentado que ser suma de dos cuadrados es una propiedad multiplicativa tras la proposición33. El primo𝑝 =2y cualquier primo𝑝 ≡1mód4son sumas de dos cuadrados por el teorema39; por tanto, también lo son sus potencias. Por otro lado, un primo𝑝 ≡3mód4no es suma de dos cuadrados, pero𝑝²sí lo es y, por tanto, cualquier potencia par de𝑝es también suma de dos cuadrados.

En definitiva, cualquier𝑛en el que los primos𝑝 ≡3mód4aparecen con multiplicidad par es una suma de dos cuadrados.

Sea ahora𝑛 > 1suma de dos cuadrados que tiene un factor primo𝑝 ≡3mód4(pues en otro caso no hay nada que demostrar). Si𝑛 = 𝑎²+ 𝑏², entonces𝑝 ∣ 𝑛 = (𝑎 + 𝑏i)(𝑎 − 𝑏i)enš[i], y como𝑝es inerte, o bien𝑝 ∣ (𝑎 + 𝑏i)o bien𝑝 ∣ (𝑎 − 𝑏i). En cualquier caso, la conclusión es que𝑝 ∣ 𝑎y𝑝 ∣ 𝑏enšpor el lema29. De𝑎 = 𝑝𝐴y𝑏 = 𝑝𝐵se deduce que𝑛 = 𝑎²+ 𝑏²= 𝑝²(𝐴²+ 𝐵²), luego𝑝²∣ 𝑛y𝑛/𝑝² = 𝐴²+ 𝐵²es suma de dos cuadrados. Si𝑚es la multiplicidad de𝑝como divisor de𝑛, escribiendo𝑚 =2𝑘 + 𝑟para 𝑟 =0o1y aplicando este resultado recursivamente𝑘veces, concluimos que𝑛^′= 𝑛/𝑝^2𝑘es suma de dos cuadrados. El caso𝑟 =1implicaría que𝑝 ∣ 𝑛^′pero𝑝²∤ 𝑛^′, pero esto no es posible por el razonamiento previo (sustituyendo𝑛por𝑛^′). Por tanto, se tiene que𝑟 =0o, lo que es lo mismo, la multiplicidad de𝑝es

par. ▪

5. Número de representaciones como suma de dos cuadrados

Para concluir, queremos utilizar los resultados anteriores para resolver el problema3. La fórmula buscada dependerá, como uno podría imaginar, de los divisores de𝑛que son congruentes con1y con3mód4;

más concretamente, de su cardinal. La fórmula que queremos demostrar es la siguiente:

(2) 𝑟₂(𝑛) =4(𝑑₁(𝑛) − 𝑑₃(𝑛)),

donde𝑑𝑗(𝑛)denota el número de divisores de𝑛congruentes con𝑗mód4para𝑗 ∈ {1, 3}. Para la demostra- ción necesitamos realizar varias comprobaciones, por lo que hemos decidido dividir la prueba en una serie de pasos.

• Partiendo de la factorización de𝑛, observar que podemos eliminar las potencias pares de primos 𝑝 ≡3mód4, al igual que el factor2(con su potencia).

• Interpretar el factor4de la ecuación (2), así como las funciones𝑟₂(𝑛)y𝑟₂(𝑛)/4, en términos de ideales del anilloš[i].

• Demostrar que, tras dividir la ecuación (2) por4, ambos términos son multiplicativos en𝑛; es decir, que si demostramos la fórmula para𝑛,𝑚coprimos, entonces es válida para𝑛𝑚.

• Demostrar que la fórmula es cierta para las potencias de primos enteros𝑛 = 𝑝^𝑒.

La mayoría de estas ideas se encuentran en el libro de Hardy y Wright [5, sección 20] con un enfoque ligeramente distinto.

Proposición 44. Dado𝑛 ∈Ž,𝑟₂(𝑛) = 𝑟₂(2𝑛).

Demostración. Sea𝑛 = 𝑎²+𝑏²una representación de𝑛. Entonces, se puede comprobar que(𝑎−𝑏)²+(𝑎+𝑏)² es una representación de2𝑛. Recíprocamente, sea2𝑛 = 𝑐²+𝑑². Entonces,𝑐 ≡ 𝑑mód2y𝑛 = (^𝑐+𝑑₂ )²+(^𝑐−𝑑₂ )². Por tanto,(𝑎,𝑏) ↦ (𝑎 − 𝑏,𝑎 + 𝑏)es una biyección entre𝑅₂(𝑛)y𝑅₂(2𝑛). ▪ Observación45. El hecho de que si𝑛 = 𝑎²+ 𝑏², entonces2𝑛 = (𝑎 − 𝑏)²+ (𝑎 + 𝑏)², es también consecuencia de la igualdad(𝑎²+𝑏²)(𝑐²+𝑑²) = (𝑎𝑐−𝑏𝑑)²+(𝑎𝑑 +𝑏𝑐)²para cualesquiera𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 ∈’, lo cual se deduce de que𝑁sea multiplicativa y, por tanto,𝑁(𝑎 + 𝑏i)𝑁(𝑐 + 𝑑i) = 𝑁((𝑎 + 𝑏i)(𝑐 + 𝑑i)). Dicha fórmula nos indica que el producto de enteros representables es representable, y nos da un modo de obtener una representación de𝑛𝑚conocidas representaciones de𝑛y de𝑚, que es lo que aplicamos para𝑚 =2=1²+1². Solamente existen fórmulas similares que expresan el producto de dos sumas de𝑘cuadrados como una suma de𝑘 cuadrados para𝑘 ∈ {1, 2, 4, 8}, como afirma el problema de Hurwitz; para más información, véase el libro

de Jacobson [6, sección 7.6]. ◀

La proposición44nos indica que, a la hora de calcular𝑟₂(𝑛), podemos primero simplificar𝑛dividiendo por 2tantas veces como sea posible. El análogo para los primos𝑝 ≡3mód4que presentamos a continuación nos permite simplificar las potencias de𝑝por pares, lo cual tiene sentido porque recordamos que, si𝑝es divisor de𝑛con multiplicidad impar, entonces𝑛no es representable.

Proposición 46. Sean𝑛,𝑝 ∈Žcon𝑝primo y 𝑝 ≡3mód4. Entonces,𝑟₂(𝑛) = 𝑟₂(𝑝²𝑛).

Demostración. Si𝑛 = 𝑎²+ 𝑏², entonces𝑝²𝑛 = (𝑝𝑎)²+ (𝑝𝑏)². Recíprocamente, si𝑝²𝑛 = 𝑐²+ 𝑑², entonces, repitiendo el argumento del teorema43(es decir, que como𝑝es inerte,𝑝 ∣ 𝑐²+ 𝑑² = (𝑐 + 𝑑i)(𝑐 − 𝑑i) enš[i]y, por tanto,𝑝 ∣ 𝑐,𝑑enš), vemos que𝑛 = (𝑐/𝑝)²+ (𝑑/𝑝)²es una representación de𝑛. Por tanto, (𝑎,𝑏) ↦ (𝑝𝑎,𝑝𝑏)es una biyección entre𝑅₂(𝑛)y𝑅₂(𝑝²𝑛). ▪ Hasta el momento no hemos tenido que lidiar con el tema de las permutaciones y cambios de signo entre representantes. Con el fin de evitar este detalle, consideramos una variación sobre el conjunto de representaciones.

Definición 47. Una representación𝑛 = 𝑎²+ 𝑏²se dicepositivasi𝑎 >0y𝑏 ≥0. Se define elconjunto de representaciones positivas de𝑛como sigue:

𝑅₂⁺(𝑛) = {(𝑥,𝑦) ∈š²∶ 𝑥²+ 𝑦²= 𝑛,𝑥 >0,𝑦 ≥0}.

Definimos también la función𝑟⁺₂(𝑛) = #𝑅⁺₂(𝑛)que cuenta las representaciones positivas de𝑛. ◀

Vía la biyecciónš²→š[i] ∶ (𝑎,𝑏) ↦ 𝛾 = 𝑎 + 𝑏i, podemos pensar que𝑅₂(𝑛)y𝑅⁺₂(𝑛)son subconjuntos de

š[i], y diremos que𝑎 + 𝑏i es un entero gaussianopositivosi(𝑎,𝑏) ∈ 𝑅₂⁺(𝑛). Bajo esta correspondencia, 𝑟₂(𝑛)es claramente el número de enteros gaussianos𝛾tales que𝑁(𝛾) = 𝑛. El siguiente resultado nos dice que al considerar solamente generadores positivos estamos eliminando la multiplicación por4que aparece al considerar asociados (pues hay precisamente cuatro unidades), de modo que𝑟₂(𝑛)cuenta los cuatro asociados de un𝛼 ≠0como representaciones distintas, mientras que𝑟⁺₂(𝑛)cuenta solamente una de ellas.

Lema 48. Sea𝑛 ∈Ž. Si pensamos(𝑥,𝑦) ∈ 𝑅₂(𝑛)como el entero gaussiano𝛼 = 𝑥 + 𝑦i≠0, entonces𝛼 tiene un único asociado𝛽que pertenece a𝑅⁺₂(𝑛). Por tanto,𝑟₂(𝑛) =4𝑟⁺₂(𝑛).

Demostración. Que los cuatro asociados distintos de𝛼,

{𝛼 = 𝑥 + 𝑦i, i𝛼 = −𝑦 + 𝑥i, −𝛼 = −𝑥 − 𝑦i, −i𝛼 = 𝑦 − 𝑥i},

pertenecen a𝑅₂(𝑛), pero solo uno de ellos pertenece a𝑅₂⁺(𝑛), es una mera comprobación. La fórmula es

una consecuencia inmediata. ▪

Observación49. Recordemos que𝛼 ∼ 𝛽 ⟺ (𝛼) = (𝛽). Por tanto, estamos seleccionando el único generador positivo de cada ideal (no nulo). Es más, podemos definir una norma𝑁^′sobre el conjunto de ideales del siguiente modo: para𝐼 = (𝛼), se define𝑁^′(𝐼) = 𝑁(𝛼).𝑁^′está bien definida porque(𝛼) = (𝛽) ⟺ 𝛼 = 𝜖𝛽para alguna unidad𝜖, y𝑁(𝛼) = 𝑁(𝜖)𝑁(𝛽) = 𝑁(𝛽)por ser𝑁multiplicativa y por la propiedad2de la proposición30. Además,𝑁^′es multiplicativa por serlo𝑁. Por abuso de notación, denotaremos a ambas normas como𝑁. Teniendo esto en cuenta,𝑟⁺₂(𝑛)contabiliza el número de ideales deš[i]de norma𝑛(vía la correspondencia que asocia a cada(𝑎,𝑏) ∈ 𝑅⁺₂(𝑛)el ideal(𝑎 + 𝑏i)), a diferencia de𝑟₂(𝑛), que contabiliza

el número de elementos de norma𝑛. ◀

Intentemos ahora entender el factor4de la ecuación (2), así como el hecho de que en el ejemplo4el número4tuviera cuatro representaciones mientras que el número10tenía ocho representaciones, cuando en ambos casos hay una sola representación salvo permutaciones y asociados. Para ello consideramos el conjunto de elementos no nulos deš[i], y la acción sobre él (por multiplicación) del grupo de unidades

š[i]^∗, que identificamos con el grupo cíclico𝐶₄generado por la multiplicación por i. La acción es libre¹¹y, por tanto, cada órbita¹²tiene longitud4; de hecho, la órbita de𝛼 ≠0es{i𝛼,−𝛼,−i𝛼,𝛼}. Podemos considerar también la acción (sobre el conjunto de elementos no nulos deš[i]) del grupo diédrico𝐷₄, tomando como generadores la multiplicación por i y la conjugación. En ese caso, la órbita de𝛼 = 𝑥 + 𝑦i≠0es

𝛼 = 𝑥 + 𝑦i↔ (𝑥,𝑦), 𝛼 = 𝑥 − 𝑦i↔ (𝑥,−𝑦), i𝛼 = −𝑦 + 𝑥i↔ (−𝑦,𝑥), i𝛼 = 𝑦 + 𝑥i↔ (𝑦,𝑥),

−𝛼 = −𝑥 − 𝑦i↔ (−𝑥,−𝑦), −𝛼 = −𝑥 + 𝑦i↔ (−𝑥,𝑦),

−i𝛼 = 𝑦 − 𝑥i↔ (𝑦,−𝑥), −i𝛼 = −𝑦 − 𝑥i↔ (−𝑦,−𝑥).

En términos de ideales,𝐶₄permuta los generadores de(𝛼), mientras que𝐷₄permuta los generadores de (𝛼)y los de su ideal conjugado(𝛼). Como siempre hay cuatro asociados distintos, la órbita puede tener longitud4u8, y tiene longitud4si y solo si(𝛼) = (𝛼). Esto último ocurre si y solo si

• o bien𝑥 =0o𝑦 =0, caso en que(𝛼)está generado por un número natural,

• o bien𝑥 = 𝑦, caso en que(𝛼)está generado por𝑚(1+i)para algún𝑚 ∈Ž.

Por último, si incluimos al elemento0=0+0i↔ (0, 0), se trataría del único punto fijo de las acciones antes mencionadas.

Continuamos simplificando el problema3: veremos que𝑟⁺₂(𝑛)es una función multiplicativa en𝑛; es decir, si𝑛,𝑚 ∈Žymcd(𝑚,𝑛) =1, entonces𝑟⁺₂(𝑚𝑛) = 𝑟⁺₂(𝑚)𝑟⁺₂(𝑛). La multiplicatividad es una propiedad importante de funciones sobreŽque reduce considerablemente la dificultad de determinar su valor, y aparece frecuentemente al tomar enfoques aritméticos, como es nuestro caso. Por este motivo es conveniente que tratemos algunos resultados básicos sobre estas funciones.

11Recordamos que una acción de un grupo𝐺en un conjunto𝑋se dicelibresi de la igualdad𝑔⋅ 𝑥 = ℎ ⋅ 𝑥, siendo𝑔,ℎ ∈ 𝐺,𝑥 ∈ 𝑋, se deduce que𝑔= ℎ. En nuestro caso esto está claro pues𝜖𝛼 = 𝜖^′𝛼 ⟹ (𝜖 − 𝜖^′)𝛼 =0y, por integridad, se tiene que𝜖 = 𝜖^′.

12Laórbitade un elemento𝑥(siendo𝐺una acción en𝑋) es el conjunto{𝑔⋅ 𝑥}𝑔∈𝐺de los trasladados de𝑥por𝐺.

5.1. Apunte sobre funciones multiplicativas

Definición 50. Sea𝑀un monoide¹³con elemento unidad1. Unafunción aritmética𝑀-valorada(o sim- plemente unafunción aritméticacuando no haya ambigüedad sobre𝑀) es una función𝑓 ∶Ž→ 𝑀. ◀

Definición 51. Una función aritmética𝑓se dice que esmultiplicativasi𝑓(1) =1y si para cualesquie- ra𝑛,𝑚 ∈ Žtales quemcd(𝑛,𝑚) = 1 se verifica que 𝑓(𝑛𝑚) = 𝑓(𝑛)𝑓(𝑚). Si, además,𝑓 verifica que 𝑓(𝑛𝑚) = 𝑓(𝑛)(𝑚)para cualesquiera𝑛,𝑚 ∈Ž(independientemente de su mcd), entonces se dice que𝑓es

completamente multiplicativa. ◀

Un ejemplo trivial de función completamente multiplicativa es la función constante1. Para𝑀 =ƒtambién lo es la exponenciación compleja𝑓(𝑛) = 𝑛^𝑠. Un ejemplo menos obvio y que está relacionado con las representaciones por dos cuadrados es el siguiente.

Ejemplo 52. Es fácil comprobar que la función¹⁴ (3) 𝜒(𝑛) = {(−1)^𝑛−12 si𝑛 ≡1mód2,

0 si𝑛 ≡0mód2,} =⎧

⎨

⎩

1 si𝑛 ≡1mód4,

−1 si𝑛 ≡3mód4, 0 si𝑛 ≡0mód2

es una función completamente multiplicativa con valores en el submonoide{−1, 0, 1}de(Ž,⋅, 1). ◀

También es fácil comprobar la siguiente proposición, por lo que dejamos la demostración para el lector.

Proposición 53.

• Una función𝑓 ∶Ž→ 𝑀es multiplicativa si y solo si𝑓(1) =1y para cualesquiera𝑝,𝑛 ∈Žy 𝑒 ∈Ž, siendo𝑝primo ymcd(𝑝,𝑛) =1, se verifica que𝑓(𝑝^𝑒𝑛) = 𝑓(𝑝^𝑒)𝑓(𝑛).

• Dos funciones multiplicativas𝑓,𝑔∶Ž→ 𝑀son iguales si y solo si𝑓(𝑝^𝑒) =𝑔(𝑝^𝑒)para cada primo 𝑝 ∈Žy cada𝑒 ∈Ž.

Pasamos ahora a introducir la convolución de Dirichlet, que es una operación de funciones aritméticas y que preserva la multiplicatividad. Este hecho nos será muy útil para determinar la expresión de𝑟⁺₂(𝑛). De ahora en adelante consideramos solamente funciones aritméticasƒ-valoradas.

Definición 54. Sean𝑓,𝑔funciones aritméticas. Definimos laconvolución de Dirichletde𝑓y𝑔como (𝑓 ∗𝑔)(𝑛) = ∑

𝑑∣𝑛

𝑓(𝑑)𝑔(𝑛 𝑑) = ∑

𝑎𝑏=𝑛

𝑓(𝑎)𝑔(𝑏),

donde la suma se toma sobre todos los divisores positivos de𝑛. ◀

Proposición 55. Si 𝑓,𝑔son funciones multiplicativas, entonces𝑓 ∗𝑔también es multiplicativa.

Demostración. Está claro que(𝑓 ∗𝑔)(1) = 1. Basta demostrar que(𝑓 ∗𝑔)(𝑝^𝑒𝑛) = (𝑓 ∗𝑔)(𝑝^𝑒)(𝑓 ∗𝑔)(𝑛)si 𝑝es primo,𝑒 ∈Žymcd(𝑝,𝑛) =1. Observamos que todo divisor𝑑de𝑝^𝑒𝑛es de la forma𝑑 = 𝑝^𝑐𝑑^′para 0≤ 𝑐 ≤ 𝑒y𝑑^′∣ 𝑛únicos. Por tanto, se tiene que

(𝑓 ∗𝑔)(𝑝^𝑒𝑛) = ∑

𝑑∣𝑝^𝑒𝑛

𝑓(𝑑)𝑔(𝑝^𝑒𝑛 𝑑 ) = ∑

0≤𝑐≤𝑒 𝑑^′∣𝑛

𝑓(𝑝^𝑐𝑑^′)𝑔(𝑝^𝑒𝑛

𝑝^𝑐𝑑^′) = ∑

0≤𝑐≤𝑒 𝑑^′∣𝑛

𝑓(𝑝^𝑐)𝑓(𝑑^′)𝑔(𝑝^𝑒−𝑐)𝑔(𝑛 𝑑^′)

= ( ∑

0≤𝑐≤𝑒

𝑓(𝑝^𝑐)𝑔(𝑝^𝑒 𝑝^𝑐)) ( ∑

𝑑^′∣𝑛

𝑓(𝑑^′)𝑔(𝑛

𝑑^′)) = (𝑓 ∗𝑔)(𝑝^𝑒) (𝑓 ∗𝑔)(𝑛). ▪

13Unmonoidees un conjunto𝑀con una operación interna asociativa y con elemento neutro. El lector puede pensar que se trata de un grupo pues tomaremos𝑀 =ƒ, pero no es necesaria la existencia de elemento opuesto para la definición.

14En teoría de números,𝜒se conoce comosímbolo de reciprocidad cuadrática de−1o como elcarácter de Dirichlet no trivial módulo4.

5.2. Expresión de la función de representación

Veamos ahora la principal razón por la que hemos introducido las funciones multiplicativas.

Teorema 56. La función𝑟⁺₂(𝑛) ∶Ž→š_≥0es multiplicativa.

Demostración. Está claro que𝑟⁺₂(1) =1. Queremos demostrar que𝑟⁺₂(𝑝^𝑒𝑛) = 𝑟⁺₂(𝑝^𝑒)𝑟⁺₂(𝑛)para cualquier primo𝑝y cualesquiera𝑛,𝑒 ∈ Žconmcd(𝑝,𝑛) = 1. Pensando los elementos de𝑅⁺₂(𝑚)como ideales de norma𝑚, la multiplicatividad de la norma demuestra que la aplicación de multiplicación de ideales 𝑅⁺₂(𝑝^𝑒) × 𝑅⁺₂(𝑛) → 𝑅₂⁺(𝑝^𝑒𝑛) ∶ ((𝛽),(𝛾)) ↦ (𝛽𝛾)está bien definida. Basta demostrar que se trata de una biyección.

La inyectividad se sigue de que𝛽,𝛾deben ser coprimos enš[i]porque sus normas son coprimas enš (propiedad7de la proposición30) y del corolario24. En efecto, si𝛽𝛾 = 𝛽^′𝛾^′con𝑁(𝛽) = 𝑁(𝛽^′) = 𝑝^𝑒y 𝑁(𝛾) = 𝑁(𝛾^′) = 𝑛, entoncesmcd(𝑁(𝛽),𝑁(𝛾^′)) =1implica quemcd(𝛽,𝛾^′) = 1, luego𝛽 ∣ 𝛽^′. Del mismo modo se deduce que𝛽^′∣ 𝛽, luego𝛽,𝛽^′son asociados, y lo análogo es cierto para𝛾,𝛾^′. En términos de ideales, esto significa que(𝛽) = (𝛽^′)y(𝛾) = (𝛾^′).

La epiyectividad equivale a demostrar que si𝛼 ∈ š[i]tiene norma𝑝^𝑒𝑛entonces se puede factorizar 𝛼 = 𝛽𝛾con 𝑁(𝛽) = 𝑝^𝑒y 𝑁(𝛾) = 𝑛. Consideramos la factorización de𝛼enš[i], 𝛼 = 𝜋₁⋯ 𝜋_𝑟, sien- do𝜋_𝑖primos gaussianos contados con multiplicidad y únicos salvo asociados. Entonces, tenemos que 𝑝^𝑒𝑛 = 𝑁(𝛼) = 𝑁(𝜋₁) ⋯ 𝑁(𝜋_𝑟). Algunas de las normas𝑁(𝜋_𝑗)deben ser divisibles por𝑝. Reordenando, po- demos suponer que son𝜋₁,…,𝜋𝑠, con1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑟, y entonces𝑝 ∤ 𝑁(𝜋_𝑠+1),…,𝑁(𝜋𝑟). Sabemos que𝑁(𝜋𝑗) debe ser de la forma𝑞o𝑞²para algún primo entero𝑞, luego𝑁(𝜋𝑗) = 𝑝o𝑝²para1≤ 𝑗 ≤ 𝑠, mientras que mcd(𝑝,𝑁(𝜋_𝑠+1⋯ 𝜋𝑟)) = 1. Necesariamente𝑁(𝜋₁⋯ 𝜋𝑠) = 𝑝^𝑒y𝑁(𝜋_𝑠+1⋯ 𝜋𝑟) = 𝑛. Por tanto, debe darse

que𝛽 = 𝜋₁⋯ 𝜋𝑠y𝛾 = 𝜋_𝑠+1⋯ 𝜋𝑟salvo asociados. ▪

Finalmente, podemos resolver el problema3utilizando los resultados previos.

Teorema 57. Para cada𝑛 ∈Ž,𝑟⁺₂(𝑛) = 𝑑₁(𝑛) − 𝑑₃(𝑛)y, por tanto,𝑟₂(𝑛) =4(𝑑₁(𝑛) − 𝑑₃(𝑛)).

Demostración. Basta probar la fórmula para𝑟⁺₂(𝑛)y aplicar el lema48. Para ello, consideramos de nuevo la función𝜒del ejemplo52. Por definición se tiene que

(𝜒 ∗1)(𝑛) = ∑

𝑑∣𝑛

𝜒(𝑑)1(𝑛/𝑑) = ∑

𝑑∣𝑛

𝜒(𝑑) = ∑

𝑑≡1𝑑∣𝑛mód4

1 − ∑

𝑑≡3𝑑∣𝑛mód4

1 = 𝑑₁(𝑛) − 𝑑₃(𝑛).

Por tanto, tenemos que demostrar que𝑟⁺₂(𝑛) = (𝜒 ∗1)(𝑛). Ambas funciones son multiplicativas: para𝑟⁺₂(𝑛) es consecuencia del teorema56, mientras que𝜒 ∗1es multiplicativa por serlo las funciones𝜒y1, como consecuencia de la proposición55. De la proposición53se deduce que basta con demostrar que ambas funciones coinciden sobre las potencias de primos, para lo cual utilizaremos la siguiente propiedad: si𝑝 es primo y𝑒 ∈Ž, entonces los divisores de𝑝^𝑒son precisamente𝑝^𝑐variando𝑐en el conjunto{0, 1,…,𝑒}.

Separamos a continuación la demostración según las congruencias módulo4.

• Para𝑝 =2, tenemos que𝑟⁺₂(2^𝑒) = 𝑟⁺₂(1) =1por la proposición44. Por otro lado, todos los divisores de2^𝑒distintos de𝑑 =1son pares, luego𝑑₁(2^𝑒) − 𝑑₃(2^𝑒) =1y se da la igualdad.

• Para un primo𝑝 ≡3mód4, aplicando la proposición46y el teorema43tenemos que

𝑟⁺₂(𝑝^𝑒) = {𝑟⁺₂(1) =1 si𝑒 ≡0mód2,

0 si𝑒 ≡1mód2.

Observamos que𝑝^𝑐≡1mód4si y solo si𝑐es par y que𝑝^𝑐≡3mód4si y solo si𝑐es impar, por lo que𝑑₁(𝑝^𝑒) − 𝑑₃(𝑝^𝑒)es la diferencia entre la cantidad de números pares e impares en el conjunto {0, 1,…,𝑒}, que claramente coincide con el valor arriba indicado en la expresión de𝑟⁺₂(𝑝^𝑒).

• Si𝑝 ≡1mód4, entonces todos los divisores de𝑝^𝑒son congruentes con1mód4. Así,𝑑₁(𝑝^𝑒) − 𝑑₃(𝑝^𝑒) es precisamente el número de divisores de𝑝^𝑒, que es𝑒+1. Por otro lado,𝑟⁺₂(𝑝^𝑒)es el número de ideales (𝛼)de norma𝑝^𝑒. Como𝑝es un primo que descompone, esto es,𝑝 = 𝜋𝜋con𝑁(𝜋) = 𝑁(𝜋) = 𝑝, tenemos que𝛼𝛼 = 𝜋^𝑒𝜋^𝑒y, por la factorización única, los ideales mencionados son de la forma (𝛼) = (𝜋)^𝑟(𝜋)^𝑠con𝑟 + 𝑠 = 𝑒y0≤ 𝑟,𝑠, luego hay precisamente𝑒 +1de ellos. ▪