EntoncesPV(~v) =~v−PV⊥(~v) =~v+ 4~n= (20,21,1)t. 4) [2 puntos]Halla una base del n´ucleo y una base de la imagen para la aplicaci´on lineal f :R3 −→R2 dada por f x y z

1) [2 puntos]Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

(ιx˙ + 2y= 5,

x+ (1−ι)y˙ = 2−3 ˙ι.

Multiplicando la primera ecuaci´on por ι˙y sum´andosela a la segunda, se tiene

˙

ιx+ 2y = 5 (1 + ˙ι)y = 2 + 2 ˙ι

⇒ y= 2 + 2 ˙ι

1 + ˙ι = 2, x= 5−2·2

˙

ι = 1

˙ ι =−˙ι.

2) [2 puntos]Halla una base en la que la matriz

5 −4 6 −5

se diagonalice.

5−λ −4

6 −5−λ

=λ²−5²−(−4)6 =λ²−1 ⇒ autovalores: λ₁= 1, λ₂ =−1.

Los autovectores respectivos~vi son soluciones de(A−λiI)~vi =~0:

λ₁ = 1 ⇒

4 −4 6 −6

x y

= 0

0

, por ejemplo ~v₁= 1

1

λ2=−1 ⇒

6 −4 6 −4

x y

= 0

0

, por ejemplo ~v2 = 2

3

Una base es {~v₁, ~v₂}.

3)[2 puntos]Halla la proyecci´on ortogonal de (16,25,−3)^t∈R³sobre el planox−y+z= 0.

V =subespacio deR³ correspondiente al plano⇒ V^⊥ est´a generado por~n= (1,−1,1)^t. Si~v= (16,35,−3)^t, el vector del enunciado,

P_V^⊥(~v) = ~v·~n

k~nk²~n= 16−25−3

3 ~n=−4~n.

EntoncesP_V(~v) =~v−P_V⊥(~v) =~v+ 4~n= (20,21,1)^t.

4) [2 puntos]Halla una base del n´ucleo y una base de la imagen para la aplicaci´on lineal

f :R³ −→R² dada por f x y z

!

=

x+ 2y+ 3z 10x+ 20y+ 30z

.

La matriz es A =

1 2 3 10 20 30

que tiene una fila m´ultiplo de la otra ⇒ rg(A) = 1 ⇒ dimIm(f) = 1,dimKer(f) = 3−1 = 2.

La imagen est´a generada por las columnas, as´ı que una base es por ejemplo{(1,10)^t}. El n´ucleo est´a formado por las soluciones de x+ 2y+ 3z = 0. Como dimKer(f) = 2, basta escoger dos linealmente independientes, por ejemplo {(3,0,−1)^t,(2,−1,0)^t}.

5)[2 puntos]¿Es cierto siempre que si A, B∈ M_n(R) son matrices con determinante nulo su suma tambi´en lo es? Razona tu respuesta.

1 0

0 0

1 0

1) [2 puntos]Halla una base del n´ucleo y una base de la imagen para la aplicaci´on lineal

f :R³ −→R² dada por f x y z

!

=

x+ 2y+ 3z 10x+ 20y+ 30z

.

La matriz es A =

1 2 3 10 20 30

que tiene una fila m´ultiplo de la otra ⇒ rg(A) = 1 ⇒ dimIm(f) = 1,dimKer(f) = 3−1 = 2.

La imagen est´a generada por las columnas, as´ı que una base es por ejemplo{(1,10)^t}. El n´ucleo est´a formado por las soluciones de x+ 2y+ 3z = 0. Como dimKer(f) = 2, basta escoger dos linealmente independientes, por ejemplo {(3,0,−1)^t,(2,−1,0)^t}.

2)[2 puntos]Halla la proyecci´on ortogonal de (16,25,−3)^t∈R³sobre el planox−y+z= 0.

V =subespacio deR³ correspondiente al plano⇒ V^⊥ est´a generado por~n= (1,−1,1)^t. Si~v= (16,35,−3)^t, el vector del enunciado,

P_V^⊥(~v) = ~v·~n

k~nk²~n= 16−25−3

3 ~n=−4~n.

EntoncesP_V(~v) =~v−P_V⊥(~v) =~v+ 4~n= (20,21,1)^t.

3) [2 puntos]Halla una base en la que la matriz

5 −4 6 −5

se diagonalice.

5−λ −4

6 −5−λ

=λ²−5²−(−4)6 =λ²−1 ⇒ autovalores: λ1= 1, λ2 =−1.

Los autovectores respectivos~v_i son soluciones de(A−λ_iI)~v_i =~0:

λ₁ = 1 ⇒

4 −4 6 −6

x y

= 0

0

, por ejemplo ~v₁= 1

1

λ₂=−1 ⇒

6 −4 6 −4

x y

= 0

0

, por ejemplo ~v₂ = 2

3

Una base es {~v1, ~v2}.

4) [2 puntos]Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

(ιx˙ + 2y= 5,

x+ (1−ι)y˙ = 2−3 ˙ι.

Multiplicando la primera ecuaci´on por ι˙y sum´andosela a la segunda, se tiene

˙

ιx+ 2y = 5 (1 + ˙ι)y = 2 + 2 ˙ι

⇒ y= 2 + 2 ˙ι

1 + ˙ι = 2, x= 5−2·2

˙

ι = 1

˙ ι =−˙ι.

5)[2 puntos]¿Es cierto siempre que si A, B∈ M_n(R) son matrices con determinante nulo su suma tambi´en lo es? Razona tu respuesta.

1) [2 puntos]Halla una base en la que la matriz

5 −4 6 −5

se diagonalice.

5−λ −4

6 −5−λ

=λ²−5²−(−4)6 =λ²−1 ⇒ autovalores: λ1= 1, λ2 =−1.

Los autovectores respectivos~v_i son soluciones de(A−λ_iI)~v_i =~0:

λ1 = 1 ⇒

4 −4 6 −6

x y

= 0

0

, por ejemplo ~v1= 1

1

λ₂=−1 ⇒

6 −4 6 −4

x y

= 0

0

, por ejemplo ~v₂ = 2

3

Una base es {~v1, ~v2}.

2) [2 puntos]Halla una base del n´ucleo y una base de la imagen para la aplicaci´on lineal

f :R³ −→R² dada por f x y z

!

=

x+ 2y+ 3z 10x+ 20y+ 30z

.

La matriz es A =

1 2 3 10 20 30

que tiene una fila m´ultiplo de la otra ⇒ rg(A) = 1 ⇒ dimIm(f) = 1,dimKer(f) = 3−1 = 2.

La imagen est´a generada por las columnas, as´ı que una base es por ejemplo{(1,10)^t}. El n´ucleo est´a formado por las soluciones de x+ 2y+ 3z = 0. Como dimKer(f) = 2, basta escoger dos linealmente independientes, por ejemplo {(3,0,−1)^t,(2,−1,0)^t}.

3)[2 puntos]Halla la proyecci´on ortogonal de (16,25,−3)^t∈R³sobre el planox−y+z= 0.

V =subespacio deR³ correspondiente al plano⇒ V^⊥ est´a generado por~n= (1,−1,1)^t. Si~v= (16,35,−3)^t, el vector del enunciado,

P_V^⊥(~v) = ~v·~n

k~nk²~n= 16−25−3

3 ~n=−4~n.

EntoncesP_V(~v) =~v−P_V⊥(~v) =~v+ 4~n= (20,21,1)^t.

4) [2 puntos]Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

(ιx˙ + 2y= 5,

x+ (1−ι)y˙ = 2−3 ˙ι.

Multiplicando la primera ecuaci´on por ι˙y sum´andosela a la segunda, se tiene

˙

ιx+ 2y = 5 (1 + ˙ι)y = 2 + 2 ˙ι

⇒ y= 2 + 2 ˙ι

1 + ˙ι = 2, x= 5−2·2

˙

ι = 1

˙ ι =−˙ι.

5)[2 puntos]¿Es cierto siempre que si A, B∈ M_n(R) son matrices con determinante nulo su suma tambi´en lo es? Razona tu respuesta.

No. Por ejemplo,

1 0 1 0 ,

0 0 1 1

= 0 pero

1 0

2 1

= 1.

1)[2 puntos]Halla la proyecci´on ortogonal de (16,25,−3)^t∈R³sobre el planox−y+z= 0.

V =subespacio deR³ correspondiente al plano⇒ V^⊥ est´a generado por~n= (1,−1,1)^t. Si~v= (16,35,−3)^t, el vector del enunciado,

P_V^⊥(~v) = ~v·~n

k~nk²~n= 16−25−3

3 ~n=−4~n.

EntoncesP_V(~v) =~v−P_V⊥(~v) =~v+ 4~n= (20,21,1)^t.

2) [2 puntos]Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

(ιx˙ + 2y= 5,

x+ (1−ι)y˙ = 2−3 ˙ι.

Multiplicando la primera ecuaci´on por ι˙y sum´andosela a la segunda, se tiene

˙

ιx+ 2y = 5 (1 + ˙ι)y = 2 + 2 ˙ι

⇒ y= 2 + 2 ˙ι

1 + ˙ι = 2, x= 5−2·2

˙

ι = 1

˙ ι =−˙ι.

3) [2 puntos]Halla una base del n´ucleo y una base de la imagen para la aplicaci´on lineal

f :R³ −→R² dada por f x y z

!

=

x+ 2y+ 3z 10x+ 20y+ 30z

.

La matriz es A =

1 2 3 10 20 30

que tiene una fila m´ultiplo de la otra ⇒ rg(A) = 1 ⇒ dimIm(f) = 1,dimKer(f) = 3−1 = 2.

La imagen est´a generada por las columnas, as´ı que una base es por ejemplo{(1,10)^t}. El n´ucleo est´a formado por las soluciones de x+ 2y+ 3z = 0. Como dimKer(f) = 2, basta escoger dos linealmente independientes, por ejemplo {(3,0,−1)^t,(2,−1,0)^t}.

4) [2 puntos]Halla una base en la que la matriz

5 −4 6 −5

se diagonalice.

5−λ −4

6 −5−λ

=λ²−5²−(−4)6 =λ²−1 ⇒ autovalores: λ1= 1, λ2 =−1.

Los autovectores respectivos~vi son soluciones de(A−λiI)~vi =~0:

λ₁ = 1 ⇒

4 −4 6 −6

x y

= 0

0

, por ejemplo ~v₁= 1

1

λ2=−1 ⇒

6 −4 6 −4

x y

= 0

0

, por ejemplo ~v2 = 2

3

Una base es {~v1, ~v2}.

5)[2 puntos]¿Es cierto siempre que si A, B∈ M_n(R) son matrices con determinante nulo su suma tambi´en lo es? Razona tu respuesta.

1) [2 puntos]Halla una base en la que la matriz

5 −4 6 −5

se diagonalice.

5−λ −4

6 −5−λ

=λ²−5²−(−4)6 =λ²−1 ⇒ autovalores: λ1= 1, λ2 =−1.

Los autovectores respectivos~v_i son soluciones de(A−λ_iI)~v_i =~0:

λ1 = 1 ⇒

4 −4 6 −6

x y

= 0

0

, por ejemplo ~v1= 1

1

λ₂=−1 ⇒

6 −4 6 −4

x y

= 0

0

, por ejemplo ~v₂ = 2

3

Una base es {~v1, ~v2}.

2)[2 puntos]Halla la proyecci´on ortogonal de (16,25,−3)^t∈R³sobre el planox−y+z= 0.

V =subespacio deR³ correspondiente al plano⇒ V^⊥ est´a generado por~n= (1,−1,1)^t. Si~v= (16,35,−3)^t, el vector del enunciado,

P_V⊥(~v) = ~v·~n

k~nk²~n= 16−25−3

3 ~n=−4~n.

EntoncesP_V(~v) =~v−P_V^⊥(~v) =~v+ 4~n= (20,21,1)^t.

3) [2 puntos]Halla una base del n´ucleo y una base de la imagen para la aplicaci´on lineal

f :R³ −→R² dada por f x y z

!

=

x+ 2y+ 3z 10x+ 20y+ 30z

.

La matriz es A =

1 2 3 10 20 30

que tiene una fila m´ultiplo de la otra ⇒ rg(A) = 1 ⇒ dimIm(f) = 1,dimKer(f) = 3−1 = 2.

La imagen est´a generada por las columnas, as´ı que una base es por ejemplo{(1,10)^t}. El n´ucleo est´a formado por las soluciones de x+ 2y+ 3z = 0. Como dimKer(f) = 2, basta escoger dos linealmente independientes, por ejemplo {(3,0,−1)^t,(2,−1,0)^t}.

4) [2 puntos]Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

(ιx˙ + 2y= 5,

x+ (1−ι)y˙ = 2−3 ˙ι.

Multiplicando la primera ecuaci´on por ι˙y sum´andosela a la segunda, se tiene

˙

ιx+ 2y = 5 (1 + ˙ι)y = 2 + 2 ˙ι

⇒ y= 2 + 2 ˙ι

1 + ˙ι = 2, x= 5−2·2

˙

ι = 1

˙ ι =−˙ι.

5)[2 puntos]¿Es cierto siempre que si A, B∈ M_n(R) son matrices con determinante nulo su suma tambi´en lo es? Razona tu respuesta.

No. Por ejemplo,

1 0 1 0 ,

0 0 1 1

= 0 pero

1 0

2 1

= 1.

1) [2 puntos]Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

(ιx˙ + 2y= 5,

x+ (1−ι)y˙ = 2−3 ˙ι.

Multiplicando la primera ecuaci´on por ι˙y sum´andosela a la segunda, se tiene

˙

ιx+ 2y = 5 (1 + ˙ι)y = 2 + 2 ˙ι

⇒ y= 2 + 2 ˙ι

1 + ˙ι = 2, x= 5−2·2

˙

ι = 1

˙ ι =−˙ι.

2) [2 puntos]Halla una base del n´ucleo y una base de la imagen para la aplicaci´on lineal

f :R³ −→R² dada por f x y z

!

=

x+ 2y+ 3z 10x+ 20y+ 30z

.

La matriz es A =

1 2 3 10 20 30

que tiene una fila m´ultiplo de la otra ⇒ rg(A) = 1 ⇒ dimIm(f) = 1,dimKer(f) = 3−1 = 2.

La imagen est´a generada por las columnas, as´ı que una base es por ejemplo{(1,10)^t}. El n´ucleo est´a formado por las soluciones de x+ 2y+ 3z = 0. Como dimKer(f) = 2, basta escoger dos linealmente independientes, por ejemplo {(3,0,−1)^t,(2,−1,0)^t}.

3)[2 puntos]Halla la proyecci´on ortogonal de (16,25,−3)^t∈R³sobre el planox−y+z= 0.

V =subespacio deR³ correspondiente al plano⇒ V^⊥ est´a generado por~n= (1,−1,1)^t. Si~v= (16,35,−3)^t, el vector del enunciado,

P_V^⊥(~v) = ~v·~n

k~nk²~n= 16−25−3

3 ~n=−4~n.

EntoncesP_V(~v) =~v−P_V⊥(~v) =~v+ 4~n= (20,21,1)^t.

4) [2 puntos]Halla una base en la que la matriz

5 −4 6 −5

se diagonalice.

5−λ −4

6 −5−λ

=λ²−5²−(−4)6 =λ²−1 ⇒ autovalores: λ1= 1, λ2 =−1.

Los autovectores respectivos~v_i son soluciones de(A−λ_iI)~v_i =~0:

λ1 = 1 ⇒

4 −4 6 −6

x y

= 0

0

, por ejemplo ~v1= 1

1

λ₂=−1 ⇒

6 −4 6 −4

x y

= 0

0

, por ejemplo ~v₂ = 2

3

Una base es {~v1, ~v2}.

5)[2 puntos]¿Es cierto siempre que si A, B∈ M_n(R) son matrices con determinante nulo su suma tambi´en lo es? Razona tu respuesta.