ALGEBRA LINEAL ´
(5-11-2013)
Grado en Matem´aticas Curso 2013–14
Hoja no 6
Aplicaciones Lineales.
1. Seanf ygdos aplicaciones lineales. Demostrar:
(i) Ker(f)∩Ker(g)⊂ker(f+g).
(ii) SiIm(f)∩Im(g) ={0}, entoncesKer(f)∩Ker(g) =Ker(f+g).
2. Sea f :R3[x]−→ R3[x] la aplicaci´on que asocia a cada polinomio su derivada. Demuestra quef es lineal, escribe su matriz respecto a la base can´onica deR3[x] y describe su n´ucleo y su imagen.
3. Seaf :M2×3(R)−→R2[x] definido por
f a b c a0 b0 c0
!
= (a+b) + (c+c0)x+ (a0+b0)x2
(i) CalcularKer(f).
(ii) Demostrar que la expresi´onf([v]) =f(v) define un isomorfismo entre el espacio cocienteM2×3(R)/W yR2[x], dondeW =Ker(f).
(iii) Decidir si esta misma expresi´on define un homomorfismo cuandoW es el subespacio generado por los vectores
1 −1 0
0 0 0
!
, 0 0 0
1 −1 0
!
y 1 0 0
0 0 0
!
(iv) Probar que el homomorfismof :V1→V2induce un homomorfismof :V1/W →V2⇔W ⊂Ker(f)
4. Seaf :M2×3(R)−→M2×3(R) el endomorfismo definido por
f a b c a0 b0 c0
!
= 2a 2b 4c
3a0 3b0 4c0
!
yW el subespacio del apartado (iii) del ejercicio anterior. Demostrar que f induce un endomorfismof del espacio cocienteM2×3(R)/W. Calcular su matriz respecto de alguna base.
5. SeaV un espacio vectorial de dimensi´on finita yW un subespacio deV.
(i) Demostrar que la aplicaci´on can´onica π :V → V /W definida por π(v) = [v] es un epimorfismo.
Calcular su n´ucleo y aplicar el primer teorema de isomorf´ıa.
(ii) Demostrar que existen bases deV y de V /W respecto de las cuales la matriz de πes de la forma (0m×n|Im) para ciertos enterosm, n. ¿Qu´e representanmyn?
6. Sea la aplicaci´onf :R[x]−→Cdefinida porf(p(x)) =p(i).
(i) Demostrar quef es un homomorfismo suprayectivo entre espacios vectoriales sobre el cuerpoR. (ii) Demostrar queKer(f) ={(x2+ 1)p(x)| p(x)∈R[x]}. (Sugerencia: habr´a que dividir porx2+ 1).
(iii) Concluir que se tiene un isomorfismo
R[x]/Ker(f)7−→∼ C
(iv) Dar bases de los espacios vectoriales reales R[x]/Ker(f) yCrespectivamente.
