HOJA 3 Matem´ atica Discreta2015/2016
Sobre grafos 1. Halla el n´umero de v´ertices de los siguientes grafos simples:
(a) Gtiene 9 aristas y todos sus v´ertices son de grado 3.
(b) Ges un grafo regular con 15 aristas.
(c) Gtiene 10 aristas, dos de sus v´ertices son de grado 4, y los restantes de grado 3.
2. Describe (es decir, nombra, dibuja. . . ) o explica por qu´e no puede existir:
(a) un grafo con 7 v´ertices, todos de grado 3;
(b) un grafo con 15 v´ertices y 105 aristas;
(c) dos grafos no isomorfos, cada uno con 6 v´ertices, todos de grado de 2;
(d) un grafo conexo con 8 v´ertices y cuya sucesi´on de grados sea (1,1,1,2,3,4,5,7).
(e) un grafo con 20 v´ertices y sucesi´on de grados (1,1,1
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3
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9
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1
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(f) un grafo conexo con 25 v´ertices y sucesi´on de grados (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
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12
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).
3. Demuestra que en todo grafo G conexo con m´as de dos v´ertices tiene que haber al menos 2 v´ertices con el mismo grado.
4. ¿Cu´antos grafos no isomorfos con tres v´ertices pueden construirse? ¿Y con cuatro v´ertices? ¿Y con cinco?
5. Demuestra que los dos siguientes grafos son isomorfos. ¿Cu´antos isomorfismos distintos hay entre ellos?
HOJA 3
Matem´atica Discreta2014/2015 1. Halla el n´umero de v´ertices de los siguientes grafos simples:(a) Gtiene 9 aristas y todos sus v´ertices son de grado 3.
(b) Ges un grafo regular con 15 aristas.
(c) Gtiene 10 aristas, dos de sus v´ertices son de grado 4, y los restantes de grado 3.
2. Describe (es decir, nombra, dibuja. . . ) o explica por qu´e no puede existir:
(a) un grafo con 7 v´ertices, todos de grado 3;
(b) un grafo con 15 v´ertices y 105 aristas;
(c) dos grafos no isomorfos, cada uno con 6 v´ertices, todos de grado de 2;
(d) un grafo conexo con 8 v´ertices y cuya sucesi´on de grados sea (1,1,1,2,3,4,5,7).
(e) un grafo con 20 v´ertices y sucesi´on de grados (1,1,1
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3. Demuestra que en todo grafoGconexo con m´as de dos v´ertices tiene que haber al menos 2 v´ertices con el mismo grado.
4. ¿Cu´antos grafos no isomorfos con tres v´ertices pueden construirse? ¿Y con cuatro v´ertices? ¿Y con cinco?
5. Demu´estrese que los dos siguientes grafos son isomorfos. ¿Cu´antos isomorfismos distintos hay entre ellos?
1 2 3
4 5 6
a
b
c d e
f g 7
6. Estudia si son isomorfos los siguientes grafos:
G1 G2
a)
G3 G4
b)
7. (a) Sea un grafoGconnv´ertices y 2 componentes conexas. En estas condiciones, ¿cu´al es el n´umero m´aximo y m´ınimo de aristas que puede tener?
6. Estudia si son isomorfos los siguientes grafos:
HOJA 3 Matem´ atica Discreta2014/2015 1. Halla el n´umero de v´ertices de los siguientes grafos simples:
(a) Gtiene 9 aristas y todos sus v´ertices son de grado 3.
(b) Ges un grafo regular con 15 aristas.
(c) Gtiene 10 aristas, dos de sus v´ertices son de grado 4, y los restantes de grado 3.
2. Describe (es decir, nombra, dibuja. . . ) o explica por qu´e no puede existir:
(a) un grafo con 7 v´ertices, todos de grado 3;
(b) un grafo con 15 v´ertices y 105 aristas;
(c) dos grafos no isomorfos, cada uno con 6 v´ertices, todos de grado de 2;
(d) un grafo conexo con 8 v´ertices y cuya sucesi´on de grados sea (1,1,1,2,3,4,5,7).
(e) un grafo con 20 v´ertices y sucesi´on de grados (1,1,1
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3. Demuestra que en todo grafo G conexo con m´as de dos v´ertices tiene que haber al menos 2 v´ertices con el mismo grado.
4. ¿Cu´antos grafos no isomorfos con tres v´ertices pueden construirse? ¿Y con cuatro v´ertices? ¿Y con cinco?
5. Demu´estrese que los dos siguientes grafos son isomorfos. ¿Cu´antos isomorfismos distintos hay entre ellos?
1 2 3
4 5 6
a
b
c d e
f g 7
6. Estudia si son isomorfos los siguientes grafos:
G1 G2
a)
G3 G4
b)
7. (a) Sea un grafoG connv´ertices y 2 componentes conexas. En estas condiciones, ¿cu´al es el n´umero m´aximo y m´ınimo de aristas que puede tener?
7. (a) Sea un grafoGconnv´ertices y 2 componentes conexas. En estas condiciones, ¿cu´al es el n´umero m´aximo y m´ınimo de aristas que puede tener?
(b) Comprueba que si G tiene n v´ertices y p componentes conexas, entonces el n´umero de aristas debe cumplir que
n−p≤ |A(G)| ≤ 1
2(n−p) (n−p+ 1).
8. Siete estudiantes se van de vacaciones y deciden que cada uno escribir´a una tarjeta a los otros tres. ¿Es posible que cada uno de ellos reciba tarjetas de exactamente los tres a los que ha escrito?
9. Cuatro parejas celebran una fiesta. Al terminar, uno de los ocho pregunt´o a los dem´as a cu´antas hab´ıan saludado al llegar, recibiendo una respuesta diferente de cada uno. ¿A cu´antos hab´ıa saludado la persona que hizo la pregunta? ¿Y su pareja?
10. En una reuni´on de 20 personas hay, en total, 48 pares de personas que se conocen.
(a) Justifica por qu´e hay, el menos, una persona que a lo sumo conoce a otras cuatro.
(b) Supongamos que s´olo hay una persona que conoce a lo sumo a cuatro personas. ¿A cu´antas personas conoce exactamente?
11. SeaG= (V, A) un grafo connv´ertices. Se define sugrafo complementario GCcomo aqu´el que tiene los mismos v´ertices queGy las aristas que le “faltan” aG. Esto es,
V(GC) =V(G) y A(GC) =A(Kn)\A(G).
(a) Demuestra queG= (V, A) yG0 = (V0, A0) son isomorfos si y s´olo si sus complementarios son isomorfos.
(b) Encuentra un grafo con 5 v´ertices que sea isomorfo a su complementario.
(c) ¿Existe un grafo con 3 v´ertices que sea isomorfo a su complementario? ¿Y con 6 v´ertices?
(d) Si G tienen v´ertices y su sucesi´on de grados es (g1, g2, . . . , gn), ¿cu´al es la sucesi´on de grados de su complementario?
Sobre ´arboles 12. ¿Existen ´arboles de siete v´ertices y con
a) cinco v´ertices de grado 1 y dos de grado 2?;
b) v´ertices de grados (1,1,1,2,2,2,3)?
13. Halla el n´umero de ´arboles distintos que se pueden formar con los v´ertices{1,2, . . . , n}si (a) n= 6 y cuatro v´ertices tienen grado 2;
(b) n= 5 y exactamente tres v´ertices tienen grado 1.
(c) n= 8, dos de los v´ertices tienen grado 4 y los seis restantes tienen grado 1.
14. Si G es ´arbol con pv´ertices de grado 1 y q v´ertices de grado 4, y ning´un otro v´ertice, ¿qu´e relaci´on hay entrepyq? Dibuja un ´arbol que cumpla estas condiciones conqarbitrario.
15. Un bosque es un grafo sin ciclos. Prueba que, siGes un bosque, entonces|A(G)|=|V(G)| −p, dondepes el n´umero de componentes conexas deG.
16. ¿Es cierto que
(a) si|A(G)| ≥ |V(G)|, entonces Gcontiene, al menos, un ciclo?;
(b) si Ges conexo y|A|=|V|+ 1, entoncesGposee exactamente dos ciclos?
17. SeaGun grafo conexo. Demuestra queGes ´arbol si y s´olo siGtiene un ´unico ´arbol abarcador.
18. Consideremos el grafo que se obtiene al tomarntri´angulos con exactamente un v´ertice com´un (el n´umero total de v´ertices es 2n+1 y el n´umero de aristas es 3n). ¿Cu´antos ´arboles abarcadores tiene?
19. Calcula el n´umero de ´arboles abarcadores distintos del grafo bipartito completoK2,r. ¿Cuantos tiene el grafo bipartito completoK3,r?
Ejercicios adicionales
20. Demuestra que un grafoGes bipartito si y s´olo si no contiene ciclos de longitud impar.
21. El teorema de Kirchhoff afirma que el n´umero de ´arboles abarcadores de un grafoGcon matriz de vecindadesM coincide con un cofactor cualquiera de la matriz diferenciaD−M, dondeD es la matriz diagonal cuyos registros son los grados de los v´ertices.
Aplica este resultado al grafo completoKn y deduce la f´ormula de Cayley para el n´umero de
´
arboles distintos connv´ertices.
