Actualmente se conocen seis, de los que se conservan numerosas copias manuscritas. La aritmética no es un trabajo teórico, sino una colección de problemas (189) con una o más soluciones en números racionales y con algunas explicaciones relevantes. Entonces entre ellos están los que son cuadráticos, que son el resultado de la multiplicación de un número llamado lado del cuadrado, por sí mismo. U, entonces TÚ.
Cubos de barra, que resultan de la multiplicación de cuadrados con sus lados correspondientes, cuya notación sería la letra K con inscripción U, es decir, KU. El producto del cuadrado en sí es el cuadrado, que se denotará con una doble D con la inscripción U, es decir, DUD. El producto del cuadrado y el cubo del mismo lado es el cubo cuadrado y se denotará con las letras DK con la inscripción U, es decir, DKU.
Lo que resulta de multiplicar el cubo por sí mismo es el cubo-cubo, y se denotará por una doble K con superíndice U, es decir, KUK. El número simple [inc'ognita], que no tiene ninguna de estas propiedades y consta de un número indefinido de unidades, se llama simplemente número (rijmäc) y se indica con el signo. Y hay otro signo que denota un número determinado y constante de unidades, una letra M con un superíndice O, es decir, Mo.
La opinión de Bachet al respecto es que Diofanto tenía fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas.
Comentario de Bachet
Para factorizar a2 en la suma de dos cuadrados, haga una división (siempre posible en números racionales) a=u+v en dos números planos similares y diferentes (es decir, asu =m2λy v=n2λ); entonces los números son x=|u−v|e y= 2√. De esta forma se obtienen también todas las descomposiciones posibles de un cuadrado (entero) en dos cuadrados enteros.
Observaci´ on de Fermat
Comentario de Bachet
Observaci´ on de Fermat
La ecuaci´ on triple de Fermat
Utilizando el método de Schaewen hoy podemos llegar, repitiendo la solución de Heath, a la solución positiva.
Desde Euler hasta hoy
Encuentra tres (o cuatro) números A,B,C,(D) tales que el producto de cada dos, reducido en uno, sea un cuadrado perfecto.
Comentario (y teorema) de Bachet
Observaci´ on (y teorema) de Fermat
La secuencia de números m-gonales es la de sumas sucesivas de la progresión aritmética 1,m−1,2m−3,3m−5,. Y así indefinidamente, ya sea hexagonal, heptagonal o cualquier poligonal; Esta afirmación general y admirable puede enunciarse según el número de ángulos. No puedo escribir aquí la prueba, que depende de numerosos y muy oscuros misterios de la ciencia de los números; Tengo la intención de dedicar un libro completo a este tema, extendiendo así a esta parte de la Aritmética un progreso asombroso más allá de los límites previamente conocidos.
Es bastante improbable que Fermat tuviera una demostración de este resultado, porque cuando se lo comunicó a Mersenne por carta en 1636, le dijo que estaba esperando una solución. Cada número de la forma 8n−1 es la suma de como máximo cuatro cuadrados, no sólo en números enteros que otros puedan ver, sino también en fracciones, lo cual demostré. En 1645 envió el problema a Pascal indicándole que, para demostrarlo, era necesario demostrar que todo número primo de la forma 4n+ 1 es suma de dos cuadrados.
Huius eventus demonstratio est ab Eulero: De numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum 1758
De Euler a Cauchy
Euler (1773): prueba de caso nuevo = 4. Euler felicita a Lagrange por su gran logro Euler también introdujo una aproximación al teorema general de Fermat utilizando funciones generadoras.
Pero la recta que conecta dos puntos racionales de la forma cúbica vuelve a cortar al núcleo cúbico en un punto con coordenadas racionales. En nuestro caso, cortar el cubo con la línea que conecta los puntos A y B crea el punto C.
Pero partiendo de cualquier triángulo rectángulo, puedo encontrar un número infinito de otros triángulos con la misma área. El recurso algebraico que utiliza Fermat para hacer esto es equivalente (aunque se discute si se dio cuenta; el primero en afirmar explícitamente que fue Newton) a volver a intersecar la forma cúbica con su tangente en un punto racional conocido. En concreto, este cuarto triángulo se crea cuando se calcula la recta tangente en el punto B.
Es necesario que el número dado a sea par,∗ y que 2a+ 1 no sea divisible por un número primo de la forma 4n−1 ∗ [condiciones necesarias para que 2a+ 1 sea suma de dos cuadrados]. Necesitamos factorizar el número 2a+ 1 = 13 en dos cuadrados mayores que 6, o en dos cuadrados cuya diferencia sea menor que 1. Busquemos primero una fracción cuadrática como 4α12 que suma 612, la mitad de 13, un cuadrado formas.
Comentario de Bachet
En cuanto a la segunda condición necesaria, señala como falsa la lectura de Xilandro: "que a sea dos veces primo". En este argumento, Bachet confunde una condición necesaria con una suficiente; La condición de Xilandro no es necesaria porque, por ejemplo, paraa pero 12 no es dos veces primo. Que el Estado sea aceptado en la forma que le hemos dado hasta que alguien restaure el pensamiento de Diofanto a partir de un códice mejor restaurado".
Observaciones de Fermat
Puedo probarlo muy fácilmente; De manera más general, ningún número divisible por 3 pero no por 9 puede ser suma de dos cuadrados, ni números enteros ni fraccionarios. La primera demostración de que si un número no es suma de dos cuadrados enteros, tampoco es suma de dos cuadrados racionales, cuestión discutida sin éxito por Fermat y Euler, resulta ser la dada por L. Es necesario que el número dado a no sea impar, y que 2a+ 1, después de dividirlo por el cuadrado mayor que lo contenga como factor, no pueda dividirse por un número primo de la forma 4n−1.
Debo confesar sinceramente que nunca he encontrado nada en teoría de números que me guste tanto como la demostración de este teorema, y me gustaría que se tomaran la molestia de demostrarlo, es más, de valorar mi invento más de lo que vale. " La prueba de suficiencia, la parte más difícil, consiste en demostrar que todo número primo de la forma 4n+1 es la suma de dos cuadrados.
Comentario de Bachet
