Problemas de la matemática aplicada: logros del pasado y retos del futuro.

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Problemas de la matem´ atica aplicada:

logros del pasado y retos del futuro.

Jos´e M. Arrieta

Universidad Complutense de Madrid e ICMAT

Grupo de Investigaci´onCADEDIF

Universidad de Oto˜no - CDL

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PROBLEMA Sean∈ N.

Sines par, lo dividimos entre2.

Sines impar, calculamos el n´umero3n + 1.

.... y volvemos a empezar con el nuevo n´umero.

Ejemplo:3→ 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 · · ·

Problema:

¿Independientemente de d´onde empecemos, acaba toda sucesi´on en4,2,1?

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CITA de Mario Livio ”Is God a mathematician?” (2009):

“El mundo no se está quieto. La mayor parte de los objetos que nos rodean están en movimiento o cambian continuamente. Incluso la Tierra bajo nuestros pies, que parece tan firme, está de hecho rotando sobre su eje, girando alrededor del Sol y viajando (junto con éste) alrededor del centro de nuestra galaxia, la V´ıa Láctea. El aire que respiramos se compone de billones de moléculas que se mueven sin cesar de forma aleatoria. Al mismo tiempo, las plantas crecen, los materiales radiactivos se desintegran, la temperatura de la atmósfera sube y baja de forma cotidiana – además de con cada estación – y la expectativa de vida humana no deja de aumentar. Sin embargo, esta agitación cósmica no amilanó a la matemática.

Newton y Leibniz introdujeron la rama denominada Cálculo espec´ıficamente para poder efectuar un análisis riguroso y una modelización precisa del movimiento y del cambio. En nuestros d´ıas, la potencia de esta incre´ıble herramienta que lo abarca todo permite utilizarla para examinar problemas tan dispares como el movimiento de la lanzadera espacial o la propagación

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matemáticos de la “Era de la Razón” (finales del siglo XVII y siglo XVIII) desarrollaron el cálculo hasta crear la poderosa rama de las ecuaciones diferenciales, de innumerables aplicaciones. Esta nueva arma permitió a los cient´ıficos presentar detalladas teor´ıas matemáticas de fenómenos que iban desde la música que produce una cuerda de viol´ın al transporte del calor, desde el movimiento de una peonza al flujo de l´ıquidos y gases. Durante un tiempo, las ecuaciones diferenciales se convirtieron en la herramienta favorita del progreso en f´ısica”.

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Problemas de la ´epoca (siglo XVI-XVII):

Movimiento planetario.

Construcci´on de lentes. ´Optica.

Bal´ıstica.

Resistencia de materiales.

Optimizaci´on de recursos.

Construcci´on de relojes.

Cálculo de áreas, volúmenes, longitudes.

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de naturaleza cambiante.

A partir de aqu´ı se da una relaci´on sim´etrica:

el C´alculo resuelve problemas del mundo real y permite el planteamiento de problemas nuevos y m´as dificiles.

A su vez, estas nuevas cuestiones hacen evolucionar al C´alculo en nuevas formas y se crean mas ramas del C´alculo para abordar estos problemas.

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Dinámica de fluidos Electro-magnetismo Teor´ıa de la Relatividad Mecánica Cuántica

Modelización de fenómenos bológicos, eco- nómicos y de las ciencias sociales en general

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GALILEOGalilei (1564-1642) Johannes KEPLER (1571-1630) Bonaventura CAVALIERI (1598-1647) Pierre FERMAT (1601-1665)

Isaac BARROW (1630-1677) Isaac NEWTON (1642-1727) Gottfried LEIBNIZ (1646-1716) Jacob BERNOULLI (1654-1705) Johann BERNOULLI (1667-1748) Leonhard EULER (1707-1783)

Joseph-Louis LAGRANGE (1736-1813) Pierre-Simon LAPLACE (1749-1827) Augustin CAUCHY (1789-1857) Henri POINCAR´E(1854-1912)

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Construcci´on de relojes

El P´ endulo y la construcci´ on de relojes

l

e m

e=0

e>0 e<0

Describimos la posición del péndulo mediante la funciónθ(t)que expresa el

´angulo que forma la masa con la vertical en funci´on del tiempo.

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El movimiento de la masa del p´endulo se rige por la ecuaci´on θ⁰⁰+g

l sin(θ) = 0

Es una Ecuaci´on Diferencial de segundo orden (tiene dos derivadas) y es no lineal (ser´ıa lineal si fueraθ⁰⁰+^g_lθ = 0.)

Buscamos funcionesθ(t)que sean soluci´on de la Ecuaci´on Diferencial.

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Periodo

Supongamos que el péndulo se suelta desde el reposo (sin velocidad inicial) y desde la posiciónθ₀. ¿Cuál es el movimiento del péndulo?, ¿Cuál es su periodo?, es decir, ¿Cuánto tarda el péndulo en ir desdeθ₀hasta −θ0y volver?.

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El periodoT (θ₀)dependede la posici´on inicialθ₀. El gr´afico deT (θ₀)es de la forma

g

e

</ /

0

/ l 2

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El periodoT (θ₀)dependede la posici´on inicialθ₀. El gr´afico deT (θ₀)es de la forma

g

e

</ /

T( )e

0

l 0

2/

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En el siglo XVII, Christiann Huygens (1629-1695) se preguntó, qué perfil deber´ıa tener una funcióny = f (x)para que las oscilaciones de un objeto que se deslizase sobre ella tuvieran un periodo independiente de la posición inicial (isocrona). Esta es la base de la construcción del mecanismo del reloj de péndulo.

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Supongamos por tanto que el perfil de la funci´ony = f (x)es

x y

f(x)

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Y en el año 1690, Jacques Bernoulli encontró la solución:

</ /

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Y en el año 1690, Jacques Bernoulli encontró la solución:

CICLOIDE

</ /

(19)

(20)

En base a la cicloide, Huygens construy´o un mecanismo de reloj de p´endulo de forma que la masa segu´ıa la curva de una cicloide:

o o o

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Movimiento Planetario

Basandose en las observaciones de Tycho Brahe, el astr´onomo Johannes Kepler, en sus libros “Astronom´ıa nueva”(1609) y “La armon´ıa del

mundo”(1619) lleg´o a enunciar sus tres leyes sobre el movimiento planetario

J. Kepler Tycho Brahe

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Movimiento Planetario

Las Leyes de Kepler

1 Los planetas se mueven en ´orbitas el´ıpticas ocupando el Sol uno de los focos de la elipse.

2 El ´area barrida por un planeta en tiempos iguales es igual.

3 El cuadrado del periodo de revoluci´on es proporcional al cubo de los semiejes mayores de la elipse.

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Newton, en sus “Principia”, resolvi´o el problema de dos cuerpos, es decir, el movimiento de un planeta bajo la acci´on gravitatoria del Sol.

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x y

(0,v) (a,0) F F

e r

m

md²~r

dt² =−GMm r²

~r r

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Esta Ecuaci´on Diferencial de segundo orden es en realidad un sistema de

ecuaciones: ( _d2x

dt² =−GM_(x2+y^x²)^3/2 d²y

dt² =−GM_(x²_+y^y²₎^3/2

Pasando a coordenadas polares, de forma quex = r cos(θ), y = r sin(θ)y escribiendo las ecuaciones en estas dos coordenadas, es decir, describiendo el movimiento del planeta como(r (t), θ(t)), tenemos

¨

x = (¨r− ˙rθ²) cos(θ)− (2 ˙r ˙θ + ˙r ˙θ) sin(θ)

¨

y = (¨r− ˙rθ²) sin(θ) + (2 ˙r ˙θ + ˙r ˙θ) cos(θ)

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Tras varios c´alculos se llega a que

r (θ) = a²v²/GM 1 + e cos(θ) dondee =|a²v²/GM− 1|.

Pero es conocido que esta es la ecuaci´on de una c´onica con uno de sus focos en el origen de coordenadas y de excentricidade. De forma que

1 si e = 0es unc´ırculo,

2 si 0 < e < 1es unaelipse,

3 si e = 1es unapar´abola,

4 si e > 1es unahip´erbola.

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Algunas conclusiones

Galileo Esto supone un triunfo ...

del m´etodo cient´ıfico de Galileo

de la mecánica y de la matemática y principalmente del cálculo del determinismo

de la capacidad de predicci´on (predictibilidad)

(28)

Algunas conclusiones

de la raz´on

(29)

Algunas conclusiones

de la raz´on

del determinismo

(30)

Algunas conclusiones

de la raz´on

de la mecánica y de la matemática y principalmente del cálculo

del determinismo

(31)

Algunas conclusiones

de la raz´on

(32)

Algunas conclusiones

de la raz´on

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Determinismo y predictibilidad de Laplace

Fue Pierre-Simon Laplace (1749-1827) (Marqu´es de Laplace) quien dijo:

“Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Un intelecto que en un momento dado supiera todas las fuerzas que actúan en la naturaleza y todas las posiciones de todos los elementos que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente capaz para analizar todos estos datos, podr´ıa condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podr´ıa ser incierto y el futuro as´ı como el pasado estar´ıan

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EL CUESTIONAMIENTO DE

LA PREDICTIBILIDAD

(35)

En los años 60, el meteorólogo y matemático Edward Lorenz (1917-2008), en base a trabajos de Barry Saltzmann y otros, fue capaz de simplificar las ecuaciones del movimiento de un fluido por “convección térmica” a un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias.

 



x

^�

= −σx + σy y

^�

= −xz + rx − y z

^�

= xy − bz

σ = 10, r = 24, b = 8/3

Jos´e M. Arrieta Matem´atica Aplicada: Logros y retos 28 / 62

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EL sistema de Lorenz

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0 10 20 30 40 50 60 ï20

ï10 0 10 20

Primera Coordenada, x₁(t)

0 10 20 30 40 50 60

ï30 ï20 ï10 0 10 20 30

Segunda Coordenada, x₂(t)

0 10 20 30 40 50 60

0 10 20 30 40

Tercera Coordenada, x₃(t)

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ï15 ï10

ï5 0

5 10

15

ï20 ï15 ï10 ï5 0 5 10 15 20 5 10 15 20 25 30 35

(39)

ï15 ï10

ï5 0

5 10

15

ï20 ï15 ï10 ï5 0 5 10 15 20 5 10 15 20 25 30 35

@ Condicion Inicial

(40)

ï15 ï10

ï5 0

5 10

15

ï20 ï15 ï10 ï5 0 5 10 15 20 5 10 15 20 25 30 35

@ Condicion Inicial

(41)

ï15 ï10

ï5 0

5 10

15

ï20 ï15 ï10 ï5 0 5 10 15 20 5 10 15 20 25 30 35

@ Condicion Inicial Otra Condicion Inicial A

(42)

ï15 ï10

ï5 0

5 10

15

ï20 ï15 ï10 ï5 0 5 10 15 20 5 10 15 20 25 30 35

@ Condicion Inicial Otra Condicion Inicial A

(43)

ï15 ï10

ï5 0

5 10

15

ï20 ï15 ï10 ï5 0 5 10 15 20 5 10 15 20 25 30 35

¿Qué sucede si tomamos dos condiciones iniciales muy cercanas?

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ï15 ï10

ï5 0

5 10

15

ï20 ï15 ï10 ï5 0 5 10 15 20 5 10 15 20 25 30 35

x1=(1.000001, 1, 2.000001) x0=(1,1,2) por ejemplo:

¿Qué sucede si tomamos dos condiciones iniciales muy cercanas?

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0 10 20 30 40 50 60 ï20

ï10 0 10 20

EFECTO MARIPOSA

0 10 20 30 40 50 60

ï20 0 20

0 10 20 30 40 50 60

ï30 ï20 ï10 0 10 20

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Sobre el“efecto Mariposa”:

El t´ermino “Efecto Mariposa” fue acu˜nado en el t´ıtulo de la

conferencia que E. Lorenz impartió el año 1972 en el congreso 139 de la Asociación Americana por el Avance de la Ciencia: Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas? (¿Produce el aleteo de una mariposa de Brasil un tornado en Texas?)

consiste en una sensibilidad con respecto a los datos iniciales

si bien dos condiciones iniciales distintas terminan dibujando el mismo cuadro, nunca lo hacen de la misma forma por muy cerca que est´en las dos condiciones iniciales

cuestiona la “predicitibilidad” de los sistemas deterministas: el

“intelecto” del que habla Laplace deber´a conocer perfectamente todos los datos iniciales. En otro caso, no podr´a “predecir” el futuro.

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(48)

(49)

(50)

(51)

Elsistema de Lorenz:

puso de manifiesto que sistemas deterministas sencillos pueden exhibir un comportamiento din´amico muy complicado (ca´otico)

año 2001 que Warwick Tucker prueba que realmente es caótico y que el atractor de Lorenz es un “atractor extraño”, resolviendo as´ı el problema nô 14 de Steven Smale.

W. Tucker

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Elsistema de Lorenz:

puso de manifiesto que sistemas deterministas sencillos pueden exhibir un comportamiento din´amico muy complicado (ca´otico)

a pesar de su evidente comportamiento numérico caótico no es hasta el año 2001 que Warwick Tucker prueba que realmente es caótico y que el atractor de Lorenz es un “atractor extraño”, resolviendo as´ı el problema nô 14 de Steven Smale.

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Ecuaciones de Navier-Stokes

Una de las ecuaciones más importantes y que más desarrollos matemáticos ha producido son las del movimiento de los fluidos: las ecuaciones de Claude-Louis NAVIER (1785-1831) y George G. STOKES (1819-1903) (y sus multiples variantes)

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Din´amica de Fluidos

Se obtienen de aplicar la segunda Ley de Newton y la ley de conservaci´on de la masa a las part´ıculas que componen el fluido.

Si~u(x, y , z, t)es la velocidad del fluido yp(x, y , z, t)es la presi´on en el punto(x, y , z)del espacio y en el instantet, entonces:







∂~u

∂t + (~u· ~∇)~u − ν∆~u = −∇p + f div (~u) = 0

(55)

Las ecuaciones de Navier-Stokes tienen las dos siguientes caracter´ısticas:

Surgen de problemas concretos de din´amica de fluidos y tienen aplicaciones directas a la f´ısica, ingenier´ıa, aeron´autica, medicina, etc..

que para resolver los numerosos problemas planteados se necesitan matem´aticas de altura.

(56)

Las ecuaciones de Navier-Stokes tienen las dos siguientes caracter´ısticas:

Surgen de problemas concretos de din´amica de fluidos y tienen aplicaciones directas a la f´ısica, ingenier´ıa, aeron´autica, medicina, etc..

Componen uno de los mayores desaf´ıos matem´aticos actuales. Es claro que para resolver los numerosos problemas planteados se necesitan matem´aticas de altura.

(57)

Uno de los problemas del milenio

SE SABE QUE:

0 ∈ C

inicial) tal que

div (~u0) = 0, Z

R³|~u0|²<∞, entonces existeT > 0y una unica funci´on

~

u(t, x, y , z)∈ C^∞([0, T ]× R³)yp(t, x, y , z)∈ C^∞([0, T ]× R³), soluci´on de







∂~u

∂t + (~u· ~∇)~u − ν∆~u = −∇p

div (~u) = 0, ~u(0, x, y , z) = ~u₀(x, y , z)

EL MILL ´ON DE DOLARES:Probar o refutar queT =∞

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Uno de los problemas del milenio

SE SABE QUE:Dada una funci´on~u₀(x, y , z)∈ C^∞(R³)(la condici´on inicial) tal que

div (~u0) = 0, Z

~







∂~u

∂t + (~u· ~∇)~u − ν∆~u = −∇p

div (~u) = 0, ~u(0, x, y , z) = ~u₀(x, y , z)

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Uno de los problemas del milenio

SE SABE QUE:Dada una funci´on~u₀(x, y , z)∈ C^∞(R³)(la condici´on inicial) tal que

div (~u0) = 0, Z

~







∂~u

∂t + (~u· ~∇)~u − ν∆~u = −∇p

div (~u) = 0, ~u(0, x, y , z) = ~u₀(x, y , z)

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Uno de los problemas del milenio

A finales de 2013 saltó la noticia que Mukhtarbay Otelbaev (Astana, Kazajistán) hab´ıa encontrado una demostración de queT =∞.

(61)

Uno de los problemas del milenio

Para finales de enero de 2014 ya se hab´ıa encontrado un contraejemplo a uno de los teoremas fundamentales del art´ıculo de Otelbaev. Este obstáculo no se ha podido salvar y la demostración de Otelbaev se da por errónea. Uno de los art´ıfices de este “contraejemplo” fue Terence Tao (1975-):

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Uno de los problemas del milenio

Para finales de enero de 2014 ya se hab´ıa encontrado un contraejemplo a uno de los teoremas fundamentales del art´ıculo de Otelbaev. Este obstáculo no se ha podido salvar y la demostración de Otelbaev se da por errónea. Uno de los art´ıfices de este “contraejemplo” fue Terence Tao (1975-):

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Problemas del milenio

Otro problema del milenio: ¿P = NP?

operaciones se necesitan para resolver un cierto problema? PROBLEMA DE TIPO P.Un ejemplo:

Primer problema: dadosN números enteros:a1, a2, . . . , aN, decidir si la suma es nula. Este problema “cuesta”N operaciones: cada suma es una operación y decidir si la suma es nula o no es otra operación. Es decir, el número de operaciones que hay que hacer para llegar a la respuesta es un polinomio en la variableN (que representa la

complejidad del problema).

OTRO EJEMPLO: TenemosN conjuntos deN n´umeros enteros cada uno. Decidir si existe alg´un conjunto que tenga una suma nula

“cuesta” N²operaciones. De nuevo, el n´umero de operaciones es un polinomio en N.

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Otro problema del milenio: ¿P = NP?

Eficiencia en los algoritmos para resolver problemas discretos: ¿Cu´antas operaciones se necesitan para resolver un cierto problema?

PROBLEMA DE TIPO P.Un ejemplo:

Primer problema: dadosN números enteros:a1, a2, . . . , aN, decidir si la suma es nula. Este problema “cuesta”N operaciones: cada suma es una operación y decidir si la suma es nula o no es otra operación. Es decir, el número de operaciones que hay que hacer para llegar a la respuesta es un polinomio en la variableN (que representa la

“cuesta” N²operaciones. De nuevo, el n´umero de operaciones es un polinomio en N.

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Otro problema del milenio: ¿P = NP?

Eficiencia en los algoritmos para resolver problemas discretos: ¿Cu´antas operaciones se necesitan para resolver un cierto problema?

PROBLEMA DE TIPO P.Un ejemplo:

Primer problema: dadosN números enteros:a₁, a₂, . . . , aN, decidir si la suma es nula. Este problema “cuesta”N operaciones: cada suma es una operación y decidir si la suma es nula o no es otra operación.

Es decir, el n´umero de operaciones que hay que hacer para llegar a la respuesta es un polinomio en la variableN (que representa la

“cuesta” N² operaciones. De nuevo, el n´umero de operaciones es un polinomio en N.

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Otro problema del milenio: ¿P = NP?

PROBLEMA DE TIPO NP.Un ejemplo:

Problema: TenemosN n´umeros enteros:a₁, a2, . . . , aN. Decidir si existe un subconjunto de estos n´umeros cuya suma sea nula.

Este problema tiene una caracter´ıstica importante: si tenemos un candidato a solución (es decir un subconjunto de estosN números) podemos decidir si es solución o no con no mas deN operaciones.

SIN EMBARGO: el mejor algor´ıtmo que tenemos para resolver el problema es:

Construir todos los subconjuntos dea₁, a2, . . . , aN (en total2^N) y comprobar uno a uno si su suma es0 o no

En total necesitamos por lo menos2^N operaciones, que no es un polinomio enN, sino una funci´on exponencial enN.

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Otro problema del milenio: ¿P = NP?

La pregunta es: ¿Existirá siempre algún algor´ıtmo de forma que el problema se pueda resolver con un “coste” polinomial en cuanto al número de operaciones?

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Otro problema del milenio: ¿P = NP?

Otro ejemplo: Problema del Vendedor Viajante.

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Otro problema del milenio: ¿P = NP?

Otro ejemplo: Problema del Vendedor Viajante.

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Otro problema del milenio: ¿P = NP?

Problema del Vendedor Viajante con las capitales de estados de EEUU.

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Otro problema del milenio: ¿P = NP?

Si hay Nciudades, hay en total(N− 1)!caminos que pasan por todas las ciudades. Un primer algoritmo es calcular la distancia de todos los caminos: N!operaciones (que es como∼ N^N por la f´ormula de Stirling).

Mediante técnicas de programación dinámica se puede reducir a

∼ N²2^N operaciones.

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Otros problema del milenio

La conjetura de Poincar´e. (Resuelta en 2003 por Grigori Perelman (1966-).)

La hip´otesis de Riemann. (Los ceros de la funci´on Zeta de Riemann tienen todos parte real =1/2)

La conjetura de Hodge. (Problema de geometr´ıa algebraica) La teor´ıa cuantica de Yang-Mills.

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Algunas reflexiones sobre retos de la Matem´ atica Aplicada

Lo digital, la computaci´on est´a revolucionando la sociedad.

No hay “descubrimiento” actual que no utilice

modelos/simulaciones num´ericas. (Detecci´on de ondas

gravitacionales: el equipo de la Dra. Alicia Sintes de UIB jugó un papel importante en la modelización y computación)

Big Data (Datos masivos) Dise˜no de nuevos materiales.

Biotecnolog´ıa. Biomedicina.

Neurociencia computacional Comunicaciones. Internet (Google).

Tratamiento de im´agenes.

Informaci´on cu´antica

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Algunas reflexiones sobre retos de la Matem´ atica Aplicada

Los medios de comunicaci´on se hacen eco de los grandes hitos de la matem´atica.

La conjetura ABC (Shinichi Mochizuki (1969-))

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Algunas reflexiones sobre retos de la Matem´ atica Aplicada

La demostraci´on de las ternas pitag´oricas (Marijn Heule, Oliver Kullmann, Victor Marek)

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Algunas reflexiones sobre retos de la Matem´ atica Aplicada

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Algunas reflexiones sobre retos de la Matem´ atica Aplicada

Existencia de n´umeros “gemelos” primos. (Yitang Zhang)

Conjetura:l´ım infn→∞(pn+1− pⁿ) = 2

Yitang Zhang prob´o:l´ım infn→∞(pn+1− pⁿ)≤ 70 × 10⁶ Ahora ya se ha “bajado” al´ım infn→∞(pn+1− pⁿ)≤ 246

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Algunas reflexiones sobre retos de la Matem´ atica Aplicada

Es admirablemente sencillo enunciar problemas de teor´ıa de números, matemática discreta, combinatoria, etc.. para que el público en general lo entienda y aprecie:

El problema de los cuatro colores: todo mapa se puede colorear con tan s´olo 4 colores.

El ´ultimo teorema de Fermat:xⁿ+ yⁿ= zⁿ.

Conjetura de Goldbach: Todo n´umero par mayor que 2 se escribe como suma de dos primos.

El problema de “Collatz” ( tambi´en conocido como problema de Siracusa, Problema de Kakutani, Problema del granizo, etc...)

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Algunas reflexiones sobre retos de la Matem´ atica Aplicada

Es admirablemente sencillo enunciar problemas de teor´ıa de números, matemática discreta, combinatoria, etc.. para que el público en general lo entienda y aprecie:

El problema de los cuatro colores: todo mapa se puede colorear con tan s´olo 4 colores.

El ´ultimo teorema de Fermat:xⁿ+ yⁿ= zⁿ.

Conjetura de Goldbach: Todo n´umero par mayor que 2 se escribe como suma de dos primos.

El problema de “Collatz” ( tambi´en conocido como problema de Siracusa, Problema de Kakutani, Problema del granizo, etc...)

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Algunas reflexiones sobre retos de la Matem´ atica Aplicada

Un reto importante de la Matemática Aplicada es la DIVULGACI ÓN, es decir, SABER EXPLICARSE al gran público.

Ejemplo: Navier-Stokes vs Conjetura de Collatz Divulgaci´on:

Naukas Gaussianos CienciaXplora

Mateaventuras (Clara Grima) Secci´on MATERIA

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Algunas reflexiones sobre retos de la Matem´ atica Aplicada

Ejemplo: Navier-Stokes vs Conjetura de Collatz

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Algunas reflexiones sobre retos de la Matem´ atica Aplicada

Ejemplo: Navier-Stokes vs Conjetura de Collatz Divulgaci´on: