Inferencia Estad´ıstica II

Inferencia Estad´ıstica II

Junio de 2004

Problema 1 (3 puntos)

1. El test de Neyman-Pearson (NP) est´a basado en el ratio de verosimilitudes : f₁(X)

f₀(X) = 5e^5(X−1)

1 2

Claramente este ratio crece conX, por lo tanto el test de NP se puede expresar como RechazarH₀ si X > u

El nivel del test α= 5%, entonces el umbral u debe verificar 5% = P(X > u|H₀)

= 1 2

Z 1 u

dx= 1

2(1−u) De la anterior ecuaci´on se deduce que u_α = 0.9.

2. En el gr´afico a continuaci´on aparece los dos riesgos α y β asociados al test de NP :

3. La potencia del test se define como la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa, o sea P(X > u_α|H₁) =

Z 1 0.9

5e^5(x−1)dx

=

e^5(x−1)1

0.9 = 1−e^−0.5 '40%

1

Por lo tanto, s´olo en el 40% de los casos el padre ser´a capaz de detectar si la escopeta est´a trucada bas´andose en un ´unico disparo.

Problema II (3 puntos). El test adecuado para contrastar la independencia entre ambas variables cua- litativas (color de los ojos y color del pelo) est´a basado en el estad´ıstico de Pearson :

K_n^∗ =

3

X

i=1 4

X

j=1

Nij − ^Ni._n^N.j2 Ni.N.j

n

=

"

25− ^44·45₁₂₄ 2 44·45

124

+. . .+ 8− ^21·33₁₂₄ 2 21·33

124

#

' 15.1 donde n= 124.

Sabemos que la distribuci´on asint´otica de este estad´ıstico es unaχ² con (3−1)(4−1) = 6 grados de libertad.

El cuantil 5% de esta distribuci´on siendo igual aχ²_6,5% = 12.59, rechazamos la hip´otesis de independencia.

Problema III (4 puntos)..

1. La funci´on de perdida siendo cuadr´atica, la mejor predicci´on de θ ser´a aqu´ı : d_Q =E_Q(θ) = 10

puesto que la distribuci´on a priori Q es exponencial con media _λ¹ = 10. El riesgo bayesiano de esta predicci´on es w_Q(d_Q) =var_Q(θ) = _λ¹2 = 100.

2. .

(a) La distribuci´on de θ condicionada por X es una Gamma G(X+ 1, λ+ 1) con λ= ₁₀¹. (b) Por lo tanto, la mejor predicci´on de θ conociendo X ser´a :

d_Q(X) = E_Q(θ|X) = X+ 1

λ+ 1 = X+ 1 1.1 (c) El riesgo de esta predicci´on es

W_Q(d_Q(X)) = E[var_Q(θ|X)]

= E

X+ 1 (λ+ 1)²

= E[X] +1

(λ+ 1)² = λ⁻¹+ 1

(λ+ 1)² = 1 λ(λ+ 1) porque E[X] =E[E(X|θ)] = E[θ] =λ⁻¹.

Puesto que λ(λ+ 1) > λ² concluimos que W_Q(d_Q(X)) < w_Q(d_Q), o sea que d_Q(X) es m´as preciso que d_Q.

2