Tema 4. Inferencia Estad´ıstica: Estimaci´ on Param´ etrica

Curso 2022/2023

Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Agron´omica Departamento de Matem´atica Aplicada I

Tema 4. Inferencia Estad´ıstica: Estimaci´ on Param´ etrica

4.1. Una variable aleatoria X tiene media desconocida y desviaci´on t´ıpica 25. Una mues- tra aleatoria de 50 valores de X tiene como media ¯x = 112. Hallar el intervalo de confianza del 85% para la media µde X.

4.2. Una muestra aleatoria de tama˜no 10 de la variable poblacional normal X nos da el valor ¯x = 124 para la media muestral y s² = 21 para la varianza muestral. Hallar el intervalo de confianza del 90% para la media µde X.

4.3. Una muestra aleatoria de 28 valores de una variable aleatoria normal X nos da una desviaci´on t´ıpica muestral s = 6. Hallar el intervalo de confianza del 98% para la desviaci´on t´ıpica σ de X.

4.4. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 personas a las que se ha medido el nivel de glucosa en sangre, obteni´endose una media de 110 mg/cc. Si la desviaci´on t´ıpica poblacional es de 20 mg/cc, hallar un intervalo de confianza al 90% para el nivel medio de glucosa en sangre de la poblaci´on. ¿Cu´al es el error cometido?

Si el tama˜no de la muestra fuera de 200 personas ¿cu´al ser´ıa en este caso el error cometido al hallar el intervalo de confianza?

4.5. Los responsables municipales de salud miden la radiactividad en el agua de una fuente natural en una zona abundante en granito. Realizadas 12 mediciones en diferentes fechas de un a˜no se observ´o una media de 3.6 picocurios con una desviaci´on t´ıpica de 0.82. Determinar, al 95% y al 99%, intervalos de confianza para la radiaci´on media y para la varianza.

4.6. El contenido en nicotina de los cigarrillos de una marca determinada sigue una distribuci´on normal. Se toma una muestra de 5 cigarrillos, obteni´endose en esta muestra un contenido medio de 21.2 mg. con s= 2.05. Calcular:

(a) Intervalo de confianza para µcon un nivel de confianza del 90%.

1

(b) Intervalo de confianza para σ², con un nivel de confianza del 95%.

4.7. Un estudiante lee un art´ıculo en el que se afirma que un intervalo de confianza al 95% para la altura media de los espa˜noles mayores de 18 a˜nos es [1.66,1.72]. Se le pregunta por el significado de esta afirmaci´on y contesta que quiere decir que el 95%

de los espa˜noles tiene una altura comprendida entre estos dos n´umeros. ¿Crees que su respuesta es correcta?

4.8. El peso de las sand´ıas de una plantaci´on sigue una distribuci´on normal de media desconocida y desviaci´on t´ıpica 750 g. Hallar el n´umero m´ınimo de sand´ıas que se han de elegir para estimar, al 95% de confianza, el peso medio con un error menor que 300 g.

4.9. La cantidad de azufre encontrado en plantas secas de mostaza sigue una distribuci´on normal X. Se ha observado una muestra de nueve plantas con los siguientes resul- tados:

0.7 0.8 0.6 0.95 0.65 1 0.9 0.2 0.55

Si aceptamos como valor deσel valor calculado de la cuasi-desviaci´on t´ıpica muestral ˆ

s, ¿cu´al ser´ıa el tama˜no m´ınimo de la muestra que habr´ıa de ser considerada para que el intervalo de confianza al 95% para el nivel medio de azufre tenga una longitud inferior a 0.1?

4.10. En una explotaci´on de cultivo de trigo se quiere estimar el rendimiento medio y para ello se toman muestras de diferentes parcelas con id´enticas caracter´ısticas. Por experiencias anteriores, se conoce que el rendimiento del trigo sigue una distribuci´on normal con desviaci´on t´ıpica de 70 kg/ha.

a) ¿Cu´antas parcelas de trigo se deben evaluar como m´ınimo para estimar la media de rendimiento con una confianza del 95%, si la amplitud del intervalo no debe superar el valor de la desviaci´on t´ıpica?

b) Finalmente se decide tomar una muestra de 9 parcelas al azar y se obtiene una media de 2600 kg/ha. Hallar un intervalo de confianza al 99%.

4.11. Se est´a poniendo a prueba un proceso que en fotobiolog´ıa se denomina abscisi´on, con la esperanza de aumentar la cosecha de fruta (porcentaje de fruta mantenida en los ´arboles) en los naranjos de una cierta plantaci´on. El proceso implica exponer a los ´arboles a luz coloreada durante quince minutos cada noche. Se recolect´o la

fruta de 10 naranjos experimentales bajo condiciones normales primero, y despu´es tras el nuevo tratamiento, obteni´endose una media de 33.9 y una desviaci´on t´ıpica muestral de 4.11 en el incremento entre las cosechas.

a) Hallar un intervalo de confianza al 95% para el incremento medio de la cosecha.

A ra´ız del resultado obtenido, ¿podemos pensar que la cosecha ha aumentado en un 40%?

b) Si aceptamos como valor deσel valor de la desviaci´on t´ıpica muestral calculada,

¿cu´al es el n´umero m´ınimo de naranjos que debemos estudiar para estimar el incremento medio de la cosecha de fruta con un error menor del 2%? Considerar el mismo nivel de confianza del apartado anterior.

4.12. En una finca, en el momento de la maturaci´on, se quiere estudiar la cantidad media de uva por pie de vi˜na, suponiendo normalidad en los datos.

a) Se quiere construir un intervalo de confianza al 95% para la cantidad media de uva por cepa. ¿Cu´al es el tama˜no muestral necesario para que el error cometido sea menor que 0.5 kg? (En un estudio realizado anteriormente, se estim´o la varianza poblacional en 2 kg).

b) Se toma una muestra de 30 cepas, y se obtiene, para esa muestra, una cantidad media de uva por cepa de 4.7 kg con una cuasidesviaci´on t´ıpica de 1.4 kg. Cons- truir un intervalo de confianza al nivel de 95% para la cantidad media de uva por cepa en la finca.

4.13. Se pretende estimar el contenido medio de celulosa de una determinada variedad de alfalfa, para la que se supone una distribuci´on normal con desviaci´on t´ıpica de 1.2 mg/g.

a) Determinar el n´umero m´ınimo de mediciones necesarias para obtener dicha estimaci´on con un nivel de confianza del 95% y un margen de error a lo sumo de 0.5.

b) Una vez planificado el experimento, se considera una muestra de 25 cortes de alfalfa que resulta tener un contenido medio de celulosa de 145 mg/g y una desviaci´on t´ıpica de 2 mg/g.

b1) Estimar mediante un intervalo de confianza la desviaci´on t´ıpica poblacional al 95% de confianza.

b2) A la vista del resultado obtenido, se decide desechar el valor supuesto a pri- ori para la desviaci´on t´ıpica poblacional. Estimar finalmente el contenido medio de celulosa al 95% de confianza. ¿C´omo podr´ıa reducirse el margen de error cometido en esta estimaci´on manteniendo el nivel de confianza?

Razonar la respuesta.

4.14. La longitud de la ballena azul se distribuye normalmente con una desviaci´on t´ıpica de 7.5 m. En un estudio realizado a 25 ejemplares se ha estimado el intervalo de confianza [21.06,26.94] para la longitud media. Hallar la media muestral y el nivel de confianza de dicha estimaci´on.

4.15. Para cuantificar los da˜nos producidos por las heladas en una plantaci´on de naranjos, se hizo un recuento de naranjas producidas por cada ´arbol en una muestra de 42 naranjos y se obtuvo un promedio muestral de 525 naranjas por ´arbol. La producci´on de cada naranjo que maneja la empresa se considera normal con una desviaci´on de 30 naranjas por ´arbol.

a) Construir un intervalo de confianza al 90% para la producci´on media por ´arbol.

b) Un segundo estudio realizado, proporciona un intervalo de confianza para la producci´on media de [514,536]. ¿A qu´e nivel de confianza se ha realizado dicho estudio?

4.16. Se extrajo una muestra aleatoria de 16 plantas para estimar la varianza en la con- centraci´on de cobre en las plantas halladas en el R´ıo Tinto. Se quemaron las plantas, se analizaron sus cenizas y se obtuvieron los siguientes datos para la concentraci´on de cobre X (medida en partes por mill´on):

5, 3, 34, 18, 27, 14, 8, 50, 38, 43, 35, 20, 70, 25, 60, l9.

Suponiendo que X est´a normalmente distribuida:

a) Calcular el intervalo de confianza al 90% de la desviaci´on t´ıpica poblacional.

b) Si el valor m´aximo obtenido para la estimaci´on de la desviaci´on t´ıpica es 32.9,

¿a qu´e nivel de confianza se habr´a calculado el intervalo?

4.17. En un estudio sobre la altura de las espigas de trigo, se toma una muestra de 100 espigas y se estima que la altura media de las espigas de trigo es 10.1±0.64, con una confianza del 95%. Estimar la desviaci´on t´ıpica de la poblaci´on al mismo nivel de confianza.

4.18. Se prueban dos f´ormulas diferentes para el octanaje de un combustible oxigenado para motor. La varianza del octanaje para la formula 1 es σ₁² = 1.5, mientras que para la f´ormula 2 es σ₂² = 1.2. Se consideran dos muestras aleatorias de tama˜nos n1 = 15 y n2 = 20 observando que los octanajes promedio son ¯x1 = 89.6 y ¯x2 = 92.5. Construir un intervalo de confianza al 95% para la diferencia en el octanaje promedio.

4.19. Se quiere estudiar la influencia que puede tener el tabaco en el peso de los ni˜nos al nacer. Para ello se consideran dos grupos de mujeres embarazadas, 35 mujeres fumadoras y 27 que no lo son, obteni´endose en el primer caso una media de 3.6 kg en el peso de sus hijos, con una cuasi-desviaci´on t´ıpica de 0.5 kg y en el segundo caso, una media de 3.2 kg y una cuasi-desviaci´on t´ıpica de 0.8 kg.

En ambos grupos, los pesos de los reci´en nacidos provienen de distribuciones nor- males de medias desconocidas y varianzas iguales. Hallar un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de los pesos promedios.

4.20. Un agricultor posee dos plantaciones de olivos y prueba en una de ellas un abono que supuestamente mejora la producci´on de aceitunas. Meses despu´es toma una muestra de ´arboles de cada plantaci´on y anota los kilos de aceitunas producidos por cada ´arbol, obteniendo los siguientes resultados:

Parcela 1: 17 16 21 14 18 24 16 14 21 23 13 18 Parcela 2: 18 14 19 11 23 21 10 13 19 24 15 20

Hallar un intervalo de confianza al 99% para la diferencia de las medias de pro- ducci´on, suponiendo igualdad de varianzas.

4.21. Para comprobar si la tolerancia a la glucosa en sujetos sanos tiende a decrecer con la edad se realiz´o un test oral de glucosa a dos muestras de pacientes sanos, 10 j´ovenes y 10 adultos. El test consisti´o en medir el nivel de glucosa en sangre a los 60 minutos de una toma de 100 g de glucosa obteni´endose una media de 145.5 y varianza 38 para los j´ovenes y una media de 184 y varianza 82 para los adultos.

Hallar un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de medias, suponiendo que ambas poblaciones se distribuyen normalmente y con varianzas iguales. A ra´ız del resultado obtenido, ¿Existe una diferencia significativa en el contenido medio de glucosa en sangre entre j´ovenes y adultos?

4.22. Para comparar los pesos medios en gramos de animales de un a˜no engordados con 2 dietas diferentes, se toman dos muestras de tama˜no 82 y 112, respectivamente.

Para la muestra de animales engordados con la dieta tipo 1 se obtiene una media de 1860 g y una varianza de 200, y para la muestra de animales engordados con la dieta tipo 2, una media de 1800 g y una varianza de 250. Suponiendo que los pesos de los animales engordados con ambas dietas se distribuyen normalmente con varianzas iguales, construir un intervalo de confianza a un nivel del 99% para la diferencia de pesos medios. ¿Podemos pensar que existe diferencia significativa entre ambas dietas?

4.23. En una granja av´ıcola se ha tomado una muestra aleatoria de 200 polluelos de pato, entre los cuales se han encontrado 120 hembras. Hallar un intervalo de confianza, con un nivel del 98% para la proporci´on de hembras entre estos polluelos.

4.24. En una cierta regi´on se llev´o a cabo una reforestaci´on con plantas de vivero. Una grave sequ´ıa durante la siguiente estaci´on mat´o a muchas de estas plantas. Se se- leccion´o aleatoriamente una muestra de 1000 de plantas, resultando estar muertas 300 de ellas. Obtener un intervalo para la proporci´on de plantas muertas al 90% y al 95% de confianza.

4.25. Supongamos que una encuesta establece que [0.52,0.57] es el intervalo de confianza al 98% para la proporci´on de votantes que prefieren al candidato A en las pr´oximas elec- ciones. ¿Qu´e porcentaje de la muestra prefiere al candidato A? ¿Cu´antos votantes respondieron a la encuesta?

4.26. Para estimar el n´umero de ranas que hay en un estanque procedemos a pescar cierta cantidad, 30, y las marcamos con un anillo, devolvi´endolas al estanque. Transcur- ridos unos d´ıas pescamos 100 ranas y observamos que 7 de ellas est´an marcadas.

Calcular un intervalo al 99% de confianza para la proporci´on de ranas marcadas en el estanque y estimar el n´umero total de ranas en dicho estanque.

4.27. El departamento de publicidad de una empresa dice que, de 1000 personas encues- tadas, 556 recuerdan la ´ultima campa˜na publicitaria y concluye afirmando que el 55.6% de la poblaci´on recuerda dicha campa˜na, con un margen de error de ⁺₋3%.

¿Cu´al es el nivel de confianza de esta afirmaci´on?

4.28. Tomada una muestra al azar de 500 personas de una determinada comunidad, se encontr´o que 300 le´ıan la prensa diaria regularmente.

a) Si aseguramos que la proporci´on estimada de lectores en la comunidad es [0.5638,0.6362], ¿cu´al es el nivel de confianza de esta afirmaci´on?

b) A la vista del resultado anterior, se pretende repetir la experiencia para con- seguir una cota de error de 0.05 con el mismo nivel de confianza. ¿Cu´antos individuos ha de tener la muestra?

4.29. En una poblaci´on se desea conocer la probabilidad de que un individuo sea al´ergico al polen de las acacias. En 100 individuos tomados al azar se observaron 10 al´ergicos.

Hallar el intervalo de confianza al 95% para la probabilidad pedida. ¿Cu´antos indi- viduos se deber´ıan observar para que, con una confianza del 95%, el error m´aximo en la estimaci´on de la proporci´on de al´ergicos sea del 0.01?

4.30. En una gran zona ganadera se desea estimar la proporci´on de ovejas que sufren una cierta enfermedad degenerativa. Calcular el tama˜no muestral necesario para estimar esta proporci´on con un error menor que 0.03 a un nivel de confianza del 95% sabiendo que, en una peque˜na muestra preliminar, se seleccionaron treinta ovejas, de las cuales dos resultaron padecer la enfermedad.

4.31. Un productor de semillas desea saber con un error de estimaci´on del 1% el por- centaje de semillas que germinan. ¿Qu´e tama˜no de muestra debe tomarse al nivel de confianza del 95%?

4.32. Se quiere determinar el porcentaje de espa˜noles con ojos azules con un error menor que 0.05 y un nivel de confianza del 95%. ¿Qu´e tama˜no debe tener como m´ınimo la muestra que se utilice?

4.33. Se toma una muestra de 20 esp´arragos, de los que 15 superan los 25 mm de grosor.

a) Hallar un intervalo de confianza al 99% para la proporci´on de esp´arragos de la plantaci´on que superan los 25 mm de grosor.

b) Hallar el n´umero de esp´arragos que se deber´ıan medir para estimar dicha pro- porci´on con un error menor del 0.05, al mismo nivel de confianza.

4.34. Para evaluar una vacuna para la gripe se realiza el siguiente experimento: se se- lecciona un grupo de 200 personas de riesgo y se vacuna a la mitad de ellos, pero el resto no son vacunados sino que se les suministra un placebo. De las personas vacunadas, enferman 10 y de los no vacunados 20. Al 95% de confianza, se pide:

(a) Construir un intervalo para la proporci´on de personas que pasan la gripe es- tando vacunados y otro para la proporci´on de personas que pasan la gripe sin estar vacunados. A partir de los intervalos obtenidos, ¿podr´ıa decirse que la vacuna es eficaz?

(b) Determinar el tama˜no muestral necesario para reducir a la mitad el error cometido al estimar la proporci´on de vacunados que enferman en el apartado anterior.

(c) Si, a partir de los datos muestrales iniciales, se estima que el porcentaje de vacunados de gripe que enferman est´a entre un 3% y un 17%, determinar el nivel de confianza de esta afirmaci´on.