Las dos pruebas completas que dio Riemann para la ecuación funcional se pueden encontrar en la Sección 2.3. Luego usamos 1.2.4 y en la última identidad usamos algunas propiedades básicas de la función gamma (ver sección A.5 del Apéndice 1).
Número de Ceros y Factorización
Ahora, junto con Riemann, elaboraremos una fórmula con la que podemos estimar el número de ceros, que denotaremos por NT, de la función t en la banda crítica B dentro del intervalo [0,T]. Dado que el lado derecho, la serie, es convergente para ℜ s1, la función zeta no se puede cancelar.
Función de Distribución de los Primos
Ahora definimos la función que usaremos para estudiar la distribución de números primos y la que hemos usado en los comentarios introductorios a esta sección. Ahora nos queda claro cuál es la conexión entre la distribución de números primos y la función zeta.
Manipulaciones en la Ecuación Integral
Lo que nos interesa ahora es que podamos calcular con precisión el valor de la expresión 1.6.3 y relacionarlo con el logaritmo integral. El último término que queda es el que resulta de la descomposición de s como producto de sus raíces (las que tienen parte real positiva).
Conclusión
El principal problema es que Riemann no tiene una estimación del orden de los términos oscilatorios ∑ ∑Lix/n. Riemann se limita a decir en su trabajo que sería interesante estudiar el efecto de los términos oscilatorios sobre la distribución de los números primos.
Comentarios Finales
Riemann propone en su trabajo examinar el número de que son significativos en la expresión anterior, es decir, la influencia de los términos oscilantes sobre la distribución de los números primos. No fue hasta 1896 que Hadamard y de la Vallée Poussin, independientemente el uno del otro, demostraron el teorema de los números primos, es decir, la fórmula 1.8.1, utilizando métodos alternativos.
Capítulo 2: Resultados Auxiliares
Introducción
El capítulo finaliza con el punto 2.6, que bajo el epígrafe de cálculos intermedios recoge todos los cálculos que estaban en el punto 1.6.
Propiedades Básicas de la Función Zeta
Como sabemos por la definición de la función logaritmo, el conjunto de valores complejos {z∈ℂ ∣ ℜ z 0} es singular para la función mencionada. Elegimos la rama de la función logarítmica sin ambigüedades, por lo que s no tiene valores múltiples.
La función se anula para todos los enteros negativos pares
- Ecuación Funcional
- Representación de la función s
- Número de Ceros y Factorización
- Cálculos Intermedios
Es decir, además de lo discutido sobre la fórmula de Poisson en la sección 1.3, Riemann habría tratado de derivar la relación de Euler de la ecuación integral 1.2.4, o uno de sus equivalentes. La segunda, que ya hemos discutido en la sección 1.3, se basa en el uso de la identidad de Poisson, o su versión especial conocida como identidad de Jacobi. En la sección 1.4 esperamos la demostración de la identidad 1.4.3, a partir de la cual Riemann demuestra una serie de importantes propiedades de.
En este apartado daremos cuenta detallada de los hechos que se trataron en el apartado 1.4. Empezamos por tomar un valor de T tal que la función s, que es equivalente a s, no tiene ningún cero en la línea ℑ s=T. Como discutimos en la Sección 1.6, queremos mostrar la integral logarítmica, por lo que expresamos 2.6.1 como una integral.
Capítulo 3: Teorema de los Números Primos
Introducción
En este capítulo daremos dos de ellos: el primero, la sección 3.2, es relativamente breve y utiliza la fórmula de inversión de Fourier. Entre las diversas demostraciones actualmente conocidas del teorema en cuestión, cabe mencionar las publicadas por Selberg y Erdös en las que solo se utilizan métodos elementales (lo que no quiere decir que la demostración sea elemental, sino todo lo contrario).
Primera Demostración: Teoría de Fourier
Seguimos explicando la idea de probar el teorema de los números primos usando el análisis de Fourier. Hacemos el cambio de variable x e y en la integral en 3.2.1, de modo que estemos a la izquierda. ℝ (que . representa el conjunto de funciones de decaimiento rápido) e integramos sobre el conjunto de valores −∞b.
No es difícil probar, aunque requiere un poco de esfuerzo, que el valor absoluto de la función ∣fb∣ O1b4 y que tiende en el límite a una función f cuando hacemos 0 (esta última confirmación se puede demostrar en la siguiente sección).
Segunda Demostración: Variable Compleja
Lo primero que nos interesará es establecer una relación entre 1x y la función de Riemann s. Estamos interesados en obtener algunas estimaciones para el valor absoluto de la función zeta de Riemann en la vecindad de la línea =1 (en la línea misma ya la izquierda de ella) para finalmente demostrar el teorema de los números primos. Ya en ese momento, consulte la sección 2.2, estudiamos la extensión analítica de la función zeta de Riemann a todo el plano complejo.
Nótese en cualquier caso que la ecuación 3.3.8 nos da una continuación analítica de la función zeta para s0. Los valores comentados anteriormente que necesitamos nos dan el orden de la inversa de la función zeta de Riemann y de los valores absolutos de la función y su derivada. Gracias a esta última desigualdad podemos ver que la función zeta no tiene cero en la recta vertical =1.
Demostraciones alternativas
Chebyshev 1
Hay muchas demostraciones similares a esta que usan el mismo esquema de demostraciones y se pueden consultar en el capítulo 10 de la referencia [P3], como se mencionó anteriormente.
Riemann 1
Riemann 2
Littlewood
Este método para demostrar el teorema de los números primos es el que podemos encontrar en las referencias [P3] y [G1].
Capítulo 4: Distribución de Ceros para la Función Zeta de Riemann
Introducción
Estimaciones Horizontales de Densidad de Ceros
Finalmente, si pasamos al mundo de las conjeturas, lo que la hipótesis de Riemann confirma con esta notación es que N,T=0 para cualquier valor de la variable mayor que 1/2. Con la hipótesis de la densidad, decimos que si no se satisface la hipótesis de Riemann, el número de ceros aumenta cerca de la línea crítica. Las estimaciones relacionadas con N,T se obtienen normalmente a partir de valores medios de la función zeta.
Esta primera estimación está muy lejos de la hipótesis de la densidad, como comentamos anteriormente. A partir de estas funciones podemos definir una tercera, a la que llamaremos fXs, que actuará como "contador" de los ceros de la función. Intuitivamente podemos pensar que fXs normalmente estará cerca de cero, excepto los ceros de la función s que estarán cerca de uno.
Resultados Auxiliares
La prueba de esta identidad es esencialmente la fórmula de suma de Poisson, que podemos encontrar detallada en la página 70 de la referencia [J2]. Tercero, enunciaremos y demostraremos un teorema que mejorará el 4.2.4 en la sección 4.2. Recordamos la definición que dimos en el apartado anterior de la aplicación fXs = 1− sMxs verdadero.
No incluiremos la prueba de este resultado ya que es esencialmente la misma que la prueba que daremos de la igualdad 4.3.8 a continuación. Para probar nuestro primer resultado de densidad en la Sección 4.2, necesitamos la fórmula 4.3.8 que se encuentra a continuación. Algo muy similar a esto se muestra al final de la demostración de la fórmula de Riemannvon Mangoldt - el párrafo anterior a la figura 2.5.2 - en la sección 2.5.
Teorema de Hardy
Para extender la fórmula a 0 1, tendremos que eliminar de alguna manera la singularidad que tiene la función Gu−1 a cero. Entonces veremos que esta función y todas sus derivadas tienden a cero cuando x i = ei/4, pero no de cualquier forma: x no puede salir de la banda B que definimos un poco. Dado que e−1/u tiende a cero cuando u0 más rápido que cualquier potencia de u, vemos que Gx y todas sus derivadas tiende a cero cuando x tiende a i desde el interior de la banda B (ver más abajo).
Está claro, como la función Gx anterior, que Hx y todas sus derivadas tienden a cero cuando x tiende a i=ei /4. Supongamos que 1/2it –que recordamos que es real– tuviera solo un número finito de ceros, entonces la función de cierta T tendría un signo constante (que suponemos, sin pérdida de generalidad, como positivo) entonces. Aquí es donde se llega a la contradicción, ya que por un lado todas las derivadas de la función eu/2Heu tienden a cero cuando u i/4 se acerca al eje imaginario, mientras que por otro lado esto no es posible ya que es una suma de cosas positivas.
Hipótesis de los Primos Consecutivos
Denotando el n-ésimo primo por pn, reformulamos el problema de los primos consecutivos como el de determinar los valores más pequeños de y ' para que se cumpla la desigualdad. Sin un análisis exhaustivo, podemos suponer que el estudio de la diferencia xh− x será bastante complicado, porque puede interpretarse como el análisis del “drenaje” de la función, que está al borde de la no convergencia - véase la fórmula explícita 4.5.5 para la función x un poco más adelante. Si tomamos T≪x y hacemos que represente la parte imaginaria de los ceros de la función zeta, tenemos esto.
Si hacemos un buen estudio de la ubicación de los ceros de la función zeta en dicha fórmula, obtendremos resultados no triviales para el problema de los números primos consecutivos. Lo que vamos a mostrar es que la hipótesis de la densidad, suponiendo que sea cierta, implica pn1−pn ≪ pn1/2, lo que se conoce como la hipótesis de los primos consecutivos. Ahora usaremos el hecho de que la función zeta (consulte la sección X) no tiene ceros en la región definida por .
APÉNDICE 1
- Introdución
- Transformada de Fourier y Sumación de Poisson
- Sumación de Abel
- Fórmula de Inversión de Möbius
- Propiedades de la Función Gamma
- Tres Teoremas de Cauchy
- Funciones Enteras de Orden Finito
- Fórmula de Jensen
La demostración de la fórmula de suma de Poisson es simple e ingeniosa, y no podemos resistirnos a no incluir aquí los pasos esenciales. La fórmula de inversión de Möbius es simplemente la transformación inversa de la fórmula del producto de Euler. Podemos escribir la fórmula de inversión de Möbius de la siguiente manera, que es la que usamos para la función zeta de Riemann.
La definición habitual, que es la que dimos en el primer capítulo, se basa en la integral de Euler. En otras palabras, tendremos que calcular el desarrollo de la función en serie de Laurent y quedarnos con el primer coeficiente. Aunque queda claro de las hipótesis, notamos que M es el máximo de la función en el disco considerado.
APÉNDICE 2
BIBLIOGRAFÍA
Puede descargarse de la dirección de Internet http://www.users.globalnet.co.uk/~perry/maths/.
