La segunda propiedad es la responsable del valor de la suma de todos los coeficientes binomiales de índice superior fijo: para cadan≥1,. Para empezar, recuerde al lector la discusión en la sección 3.7, n! es un número grande siempre que n sea razonablemente grande.
Sobre el teorema del binomio
Esto se puede hacer de n maneras, lo que confirma la validez de la fórmula binomial. Más adelante, en la Sección 5.1.8, veremos otra generalización realmente fantástica del binomio de Newton debida al gran Abel.
Jugando con el binomio de Newton El binomio de Newton
Tenga en cuenta que esta identidad requiere n ≥1, y también tenga en cuenta que la suma en el lado derecho comienza en k= 1 (dado que el caso k= 0 es cero). Por cierto, el lector tiene el derecho (casi la obligación) de preguntarse qué pasaría si ponemos M = n, o incluso M > n en la suma del Teorema 5.1.9.
El multinomio de Newton
Por ejemplo, como debe haber un j2 a la izquierda, es claro que el primer cuadrado debe contener un 1, y como eso deja un −j extra, el segundo debe ser un 1 y el tercero debe ser un 0. Para el lector informado, la lista de polinomios (en j) que se muestra arriba es una base para el espacio vectorial de polinomios de grado ≤ n−1, tan legal como la base estándar {1, j, j2,. El lector interesado puede consultar la Sección B de la Sección 5.3.1 donde encontrará una forma ordenada de calcular los coeficientes de estas combinaciones lineales, en términos de una familia conocida como números de Stirling.
Aquellos más preocupados por verificar que efectivamente se trata de una base pueden revisar el Capítulo 7. De hecho, el enunciado del teorema y () son totalmente equivalentes, y son a su vez equivalentes en el tiempo a las identidades obtenidas tomando, en lugar de la base estándar o de los factoriales decrecientes, cualquier otra base del espacio de polinomios de grados La primera consiste en utilizar el principio de inducción, teniendo en cuenta que en la expresión anterior intervienen dos parámetros, k y n.
Como alternativa daremos un test de corte combinatorio, como el que dimos al principio del apartado para el caso del binomio, aunque tendremos que esperar un poco, para el apartado 5.1.6, cuando asignemos estos coeficientes con multinómicas de significación combinatoria.
Coeficientes bin´ omicos y entrop´ ıa
Antes de dar la prueba de este resultado, vamos a compararlo con los límites del Lema 5.1.10. Pero si su teoría contradice la segunda ley de la termodinámica, entonces, por desgracia, no le doy ninguna esperanza: el único destino posible para su teoría es caer en las profundidades de la humillación. O visite el capítulo 26 dedicado a la transmisión de información para poner esta designación en contexto.
A la derecha, y para el lector avezado, presentamos una ampliación del rango de valores de k pequeña, en la que notamos como allí la estimación (baja) de la entropía es algo peor que al final del Lema 5.1.10 . . En la demostración del Teorema 5.1.11 utilizaremos la siguiente observación, ya de por sí interesante. Para la siguiente estimación usamos que, whenn→ ∞,kn∼nq yn−kn∼np(donde, para facilitar la notación, escribimos p = 1−q), además de la aproximación de Stirling, para escribir que, whenn→ .
Para concluir esta discusión entrópica, señalamos que en ciertos contextos relacionados con la codificación (ver Capítulo 26) es más común usar la función de entropía.
Jacob Bernoulli y las sumas de potencias
La expresión (), y de hecho el argumento que conduce a ella, se debe claramente a Blais Pascal. Este asunto de calcular sumas de potencias se convirtió en el objetivo (y casi en una competencia entre) matemáticos de la época, y Bernoulli no podía mantenerse al margen, ni del objetivo ni de la competencia. 27Jacob Bernoulli fue el primer matemático de la gran saga de Bernoulli, quien dirigió la cátedra de matemáticas en la Universidad de Basilea durante más de cien años.
Definición 5.1.14 La secuencia (Bn) de los números de Bernoulli viene dada por iteración. Arriba hay una definición de números de Bernoulli a través de una regla recursiva. Por cierto, mire la tabla de la página anterior y observe esas columnas en blanco iguales.
Se dice que Jacob Bernoulli, después de descubrir la fórmula, se jactó en un plan decididamente provocativo de que podía calcular el valor de la suma.
El binomio de Newton para exponentes reales
Algunas aplicaciones combinatorias de los coeficientes bin´ omicos En las ´ ultimas p´ aginas los coeficientes bin´ omicos han estado pavone´ andose sin recato,
La primera de estas aplicaciones tiene que ver con contar el número de soluciones de la ecuación diofántica. Así que llamando xj al número de bolas que entran en cada caja j, contar el número de distribuciones es lo mismo (con biyección usando medias) que contar el número de soluciones. Entonces el número de multiconjuntos (de tamaño k y con símbolos en {1, . . . , n}) coincide con el número de soluciones de.
Continuemos: en las cuestiones combinatorias descritas al principio, el problema de contar el número de soluciones de . Y su suma vale lo que agregó a xj más el número de los agregados, es decir, n+k. El lector ambicioso ya esperará la siguiente generalización: dadas dos listas de enteros no negativos (p1, . . . , pk) y (q1, . . . , qk), cuente el número de soluciones de .
Con esta transformación, el problema pasa a ser el de contar el número de soluciones.
El caminante de P´ olya y los coeficientes bin´ omicos En la red que aparece dibujada a la derecha, ca-
El argumento concluye observando que en los dos conjuntos de la derecha, es suficiente contar el número de formas en que se pueden alcanzar los puntos (n−1, k−1) y (n−1, k), respectivamente. Esto da como resultado una partición del conjunto de caminos, ya que todos los caminos a (n, k) deben pasar necesariamente por uno (y solo uno) de los nodos de la barrera. Para un nodo de red particular, que tomaremos como coordenadas (n+ 1, k+ 1) por conveniencia, consideramos una barrera diagonal que incluye nodos con coordenadas (j, k), donde j=k,.
Verifique el lector que cada ruta ahora se cuenta una vez (y solo una vez), lo que nos permite usar la regla de la suma. Imagina al lector uno de ellos, como el que aparece en el dibujo de la derecha. Para kfixed consideramos el conjunto de coeficientes binomiales de la diagonalk del triángulo de Pascal-Tartaglia, que escribiremos como j+k para este ejemplo.
Y como sorpresa al final resulta que (). nótese que ahora sumamos hasta infinito), lo que nos dice que cuando sumamos k, tenemos 1 y que el resto de las cadenas, hasta ∞, suman 1 más.
Demostraci´ on del principio de inclusi´ on/exclusi´ on
El último carácter distinto de cero estará en las filas con intersecciones k con k: será un (−1)k+1 etiquetado exactamente en la fila por la intersección de todos los Aj donde está ω; además, todo ceros. Dado que el argumento es válido para cualquier ω (aunque habrá un valor diferente de k en cualquier caso), concluimos que cada columna de la matriz suma 1. Proporcione al lector algunas generalizaciones del principio de inclusión/exclusión en Ejemplo 5.1.1 y en el Ejercicio 5.1.23.
Las desigualdades de Bonferroni
Así, en este equilibrio entre el tamaño de sumadores y el número de sumadores, podría ocurrir que α1 sea menor que α2. Primero, veamos cómo podemos derivar las desigualdades de Bonferroni de la Proposición 5.1.20. Con cada αj sumado (con su signo), nos acercamos más y más al valor real del tamaño de la unión; y estas aproximaciones se alternan: una con exceso, la siguiente por defecto.
Esta sigue siendo la prueba del teorema 5.1.20, en el que utilizaremos dos resultados, que son de interés en sí mismos. Tenemos por un lado la secuencia de números (α1, α2, . . . , αn) común al principio de inclusión/exclusión: cada αj cuenta los tamaños de las intersecciones j a j de los conjuntos A1, . Consideramos una secuencia adicional de números, (β0, β1, . . . , βn), donde βk cuenta el número de elementos de A que están exactamente en k de los conjuntos A1.
El lector comprueba ahora, mediante una simple manipulación algebraica de la fórmula factorial, que sik≥t+ 1,.
Algunas aplicaciones
Lo que afortunadamente completa el círculo, porque resulta que la suma del lado derecho cuenta el número de aplicaciones sobreyectivas entre {1,. Retomamos esta cuestión en el apartado 5.3.1 para encontrar un método alternativo de cálculo del número de aplicaciones sobreyectivas, partiendo de una de las familias de números más nobles de la combinatoria: los números de Stirling (de segunda especie). Nos interesa encontrar una fórmula explícita para el número de chatarra, a la que nos referiremos como Dn.
Como complemento al análisis de desorden del ejemplo anterior, analizamos permutaciones que fijan un número determinado de elementos. Ejemplo 5.1.3 Permutaciones que especifican un número determinado de elementos y un número medio de puntos de permutación fijos. La fórmula () nos permite estimar cuán comunes son las permutaciones en función del número de símbolos que definen.
Ya sabemos por el ejemplo anterior que para n grande, el número de líos es Dn(0) = Dn≈n!/e.
Listas con restricciones y principio de inclusi´ on/exclusi´ on
Coeficientes multin´ omicos Los coeficientes multin´ omicos
Ahora veremos que estos coeficientes polinómicos responden a dos preguntas combinatorias, y luego veremos por qué aparecen en el desarrollo del multinomio. Ya tuvimos, en el apartado 5.1.3, un primer contacto con el lenguaje de bolas en cajas. Digamos que tienes que distribuir bolas numeradas en 3 casillas numeradas, con bolas a1 en la primera casilla, a2 en la segunda y a3 en la tercera, donde a1+a2+a3 =n.
El lector podrá comprobar que el mismo argumento se puede aplicar al caso general, para obtener que el número de distribuciones de bolas distintas en k cajas, numeradas con bolas a1 en la primera caja, a2 en la segunda, etc., donde a1 + a2 + · · ·+ak=n, viene dado por el coeficiente multinomial. En el lenguaje de las bolas y las cajas, queremos distribuir 25 bolas numeradas (las personas) en 4 cajas numeradas (los grupos de trabajo), con 4 en la primera, 6 en la segunda, 7 en la tercera y 8 en la cuarta. . Para argumentar combinatoriamente, necesitamos contar el número de veces que aparece cada término xa11· · ·xakk en el desarrollo de (x1+· · ·+xk)n.
Concluimos este breve apartado insistiendo en la interpretación en términos de listas, no tanto por el resultado, que ya es conocido, sino por una forma de argumentar que es útil en muchas ocasiones.
F´ ormulas de inversi´ on bin´ omica
