La velocidad se obtiene a través de un procesamiento posterior de la función real. En [2] se propone y analiza una discretización utilizando elementos virtuales de bajo orden para el Problema de Stokes en términos de la función actual.
Definiciones y notaciones
La siguiente declaración determina una estimación del error en normL2 para la función actual. En la Tabla 5.9 reportamos los errores y tasas de convergencia para la función actual ψ del Ejemplo 5.3, metk= 2, obtenida con el método del elemento virtual analizado en este trabajo.
Problema Continuo 12
Problema de Brinkman en t´ erminos de la funci´ on de corriente
En la Tabla 5.3 reportamos errores y tasas de convergencia para la función actual ψ, por ejemplo 5.1, con k= 2, a= 1e4, obtenida con el método del elemento virtual analizado en este trabajo. En la Tabla 5.5 reportamos errores y tasas de convergencia para la función actual ψ, por ejemplo 5.2, cona= 1 y polinomio gradok= 2, obtenidos con el método del elemento virtual analizado en este trabajo.
Discretizaci´ on por VEM 18
Espacios virtuales locales y globales
Concluimos que para cada vh ∈ Vehk(K) (con k = 2), los valores de los operadores lineales en D1 y D2 son suficientes para definir vh y ∇vh en la frontera K, de modo que la proyección Πk, ∆ K está determinado únicamente por la información proporcionada por los operadores en D1 y D2. Dado que Whk(K) ⊆ Vehk(K), el operador Πk,∆K está bien definido sobre Whk(K) y se determina solo usando los valores de los operadores en D1 −D5.
Construcci´ on de las formas bilineales y del lado derecho
Dado que K−1 es un tensor general, la forma bilineal Ah,Kcurl(·,·) no satisface la propiedad de consistencia. Sin embargo, para esta forma bilineal tenemos un resultado alternativo, que consiste en evaluar la diferencia entre la forma bilineal continua y la discreta. Entonces, usando la simetría de T, sumando y restando los términos apropiados y usando la ortogonalidad de la proyección ΠKk−1, tenemos eso.
Nótese que Fh(·) se puede calcular usando los grados de libertad propuestos desde ΠKk−1. Así, podemos considerar el lado derecho alternativo: para cada K ∈ Th y para cada k≥2 definimos Consideramos globalmente el siguiente lado derecho alternativo: Feh :Wh →R está definido por Feh(vh) := X. 3.29) Tenga en cuenta que Feh(·) se puede calcular a partir de los grados de libertad propuestos porque ΠKk−2 .
Problema discreto
En la Tabla 5.1 reportamos errores y tasas de convergencia para la función actual ψ en el Ejemplo 5.1, con k= 2 y a= 1, obtenidos con el método del elemento virtual analizado en este trabajo. En la Tabla 5.2 reportamos los errores y tasas de convergencia para la función de corriente ψ y la presión p del fluido, por ejemplo 5.1, con k= 3 y a= 1, obtenidos con el método del elemento virtual analizado en este trabajo. En la Tabla 5.4, reportamos errores y tasas de convergencia para la función de corriente ψ y la presión p del fluido para el ejemplo 5.1, medk= 3,a= 1e4, obtenida con el método del elemento virtual analizado en este trabajo.
En la Tabla 5.7 reportamos los errores y tasas de convergencia para la función actual ψ del Ejemplo 5.3 con polinomio de grado k = 2 obtenido por el método del elemento virtual analizado en este trabajo. En la Tabla 5.8 reportamos los errores y tasas de convergencia para la función de corriente ψ y presión p del líquido, para el Caso 5.3, con k = 3, obtenidos por el método del elemento virtual analizado en este trabajo. La Tabla 5.10 reporta los errores y tasas de convergencia para la función instantánea ψ y presión p del fluido para el Caso 5.3 con polinomio de grado k = 3 obtenido por el método del elemento virtual analizado en este trabajo.
Estimaciones de Error 33
Finalmente, si usamos la bilinealidad de AKcurl( , ) para los últimos tres términos del lado derecho de la igualdad de (4.28), tenemos eso. La siguiente declaración estima el error de la función actual en el estándar H1. De hecho, al sumar y restar curlφ y ΠKk−1curlφ, usando las propiedades de estabilidad y desigualdad triangular del proyector ΠKk−1 junto con la estimación (4.35) y la Proposición 4.1.2 tenemos.
Usando (4.39) anterior y aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a R2, se sigue que. Entonces, sumando y restando φI y usando la definición del problema continuo y discreto (como se hizo para obtener (4.36)), se sigue que. Siguiendo los mismos pasos de la demostración del Teorema 4.2.1, podemos evaluar los términos T1, T2 y T3 tales que.
Recuperaci´ on de la velocidad del fluido
Recuperaci´ on de la presi´ on del fluido
Nota 4.4.2 Tenga en cuenta que la función ΠK1(∆ψh)∈P1(K) se puede calcular a partir de los grados de libertad D1, D2 y D4. Teorema 4.4.3 Si se cumplen los supuestos A1−A2 (ver Sección 3.1), entonces existe una constante C >0, independiente de h, de modo que para cada v∈H2(Ω) existe vI ∈Hh, tal que . Para el término T1 aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz, Proposición 4.4.2, y la obtenemos. Esto se sigue de la definición del término T1 y la desigualdad de Cauchy-Schwarz en R2.
Para estimar T2, sumamos y restamos K−1curlψ ΠK0 ∇qh y K−1curlψh ΠK0 ∇qh, aplicamos la desigualdad triangular, la desigualdad de Cauchy-Schwarz, y observamos que 4.94), donde hemos utilizado la ortogonalidad y estabilidad del proyectorΠK0. Observación 4.4.3 La condición de integral cero para los elementos del espacio virtual Hh viene impuesta por un multiplicador de Lagrange real. Esto significa que (4.87) se reformula de manera equivalente de la siguiente manera: encuentra (ph, ξ)∈Mh×R tal que.
Ejemplo 1: Tensor constante
La Figura 5.2 muestra la función de corriente exacta y aproximada junto con el campo de velocidades del fluido, para el Ejemplo 5.1, obtenido con el método del elemento virtual analizado en este trabajo, utilizando la malla Th2,h= 1/32, ν= 1, a = 1 y polinomio de grado k= 2. La tabla contiene los errores y las tasas de convergencia usando diferentes valores de ν, a saber, 1e0,1e−3,1e−6 y usando la familia de mallas Th2. La tabla contiene los errores y las tasas de convergencia usando diferentes valores de ν, a saber, 1e0,1e−3,1e−6 y usando la familia de mallas Th2.
La Figura 5.3 muestra la función de corriente exacta y aproximada, la presión exacta y aproximada junto con el campo de velocidad para el Caso 5.1 obtenido por el método del elemento virtual analizado en este trabajo, utilizando la malla Th2,h= 1/32, ν = 1e −6, a = 1e4 y el grado del polinomio k = 3.
Ejemplo 2: Tensor variable
En la Tabla 5.6 reportamos los errores y tasas de convergencia para la función instantánea ψ y para la presión del fluido p, para el Caso 5.2, zona= 1 y polinomio grado k= 3, obtenidos por el método del elemento virtual analizado en este trabajo. La tabla contiene errores y tasas de convergencia usando diferentes valores de ν, a saber, 1e0.1e−3.1e−6 y usando la familia de mallas Th4. La figura 5.4 muestra la función de corriente exacta y aproximada, la presión exacta y aproximada junto con el campo de velocidad para el ejemplo 5.2 obtenido por el método del elemento virtual analizado en este trabajo, utilizando la cuadrícula Th4,h = 1/32, ν = 1e −6 y el polinomio de grado k= 3.
Ejemplo 3: Soluci´ on dependiendo de ν
Sin embargo, como ν tiende a cero, se observa una pérdida de convergencia en las tasas H1 y H2, esto se debe a que estas estimaciones de error dependen de potencias negativas de ν (ver [40, Sección 6]). La figura 5.5 muestra la función de corriente exacta y aproximada junto con el campo de velocidad, por ejemplo 5.3, obtenida por el método del elemento virtual analizado en este trabajo, usando la malla Th1,h= 1/ 64,ν = 2e−8 y el polinomio gradosk= 2. La tabla contiene los errores y tasas de convergencia para diferentes valores de ν, utilizando la familia de redes Th1.
Esta tabla contiene errores y tasas de convergencia para diferentes valores de ν ahora usando la familia de mallas Th3. Esta tabla contiene errores y tasas de convergencia usando diferentes valores de ν y usando la familia de mallas Th3. La figura 5.6 muestra la función instantánea y la presión (exacta y aproximada) junto con el campo de velocidad, para el ejemplo 5.3, obtenido por el método del elemento virtual.
Ejemplo 4: Lado derecho alternativo
La figura 5.7 muestra la función de corriente exacta y aproximada junto con el campo de velocidad del ejemplo 5.4 obtenido por el método del elemento virtual analizado en este trabajo, utilizando la malla Th3,h= 1/ 64,ν = 1e−6 y el polinomio de grado= 3 La Tabla 5.12 reporta los errores y tasas de convergencia para la función instantánea ψ y presión p del líquido, para el caso 5.4, con el grado del polinomio k = 3, obtenido por el método de elementos virtuales analizado en este trabajo, teniendo en cuenta cuenta el lado derecho alternativo definido en (3.29). La tabla mencionada contiene los errores y tasas de convergencia para diferentes valores de ν utilizando la familia de mallas Th3.
En la Tabla 5.12 notamos que el método converge con los mismos órdenes de esquema cuando se observa el lado derecho Fh( ) definido en (3.28), como se prevé en el análisis realizado en la Nota 4.4.4 (ver Capítulo 4). La Figura 5.8 muestra la función de corriente y la presión del fluido (exacta y aproximada) junto con el campo de velocidades, por ejemplo 5.4, obtenido con el método del elemento virtual analizado en este trabajo, utilizando la malla Th3,h= 1/64, ν = 1e −6 y polinomio de grado k= 3.
Ejemplo 5: El problema de la cavidad
Russo, Virtual element implementation for general elliptic equations, Building bridges: connections and challenges in modern approaches to numerical partial differential equations, Notes Comput. Manzini, Residual a posteriori error estimation for the virtual element methods for elliptic problems, ESAIM Math. Vacca, A virtual element method for the miscible displacement of incompressible fluids in porous media, arXiv math.NA], (2019).
Gatica, A mixed virtual element method for the pseudostress-velocity formulation of the Stokes problem, IMA J. Sequeira, A mixed virtual element method for a nonlinear Brinkman model of porous media flow Calcolo pp. Paulino, On the virtual element method for three- dimensional linear elasticity problems on arbitrary polyhedral meshes, Comput.
Conclusiones y Trabajo Futuro 89
Trabajo futuro
Palawaen ti naadal a diskreto nga eskema kadagiti sabali a parikut ti mekanika ti pluido a kas ti Navier-Stokes ken Oseen, a napormula kadagiti termino ti panagandar ti ayus. Pasciak, Dagiti Teorema ti Panagbalbaliw para iti Biharmoniko a Problema ti Dirichlet, Iti Kabarbaro a Panagrang-ay kadagiti Komputasional ken Naipakat a PDE Kluwer Plenum, Nueva York (2002), pp. Cayco, Dagiti Pamay-an ti Finite nga Elemento para iti Pormulasion ti Pannakaandar ti Agayus dagiti Ekuador ti Navier-Stokes, tesis ti PhD, CMU, Pittsburgh, PA., (1985).
Nicolaides, Analysis of the incoherent stream function and finite element pressure spaces of the Navier-Stokes equations, Comp. Nicolaides, A finite element technique for optimal pressure recovery from the stream function formulation of viscous flows, Math. Rivera, A priori and a posteriori error estimates for virtual element spectral analysis for elasticity equations, IMA J.
