Recuperaci´ on de la presi´ on del fluido

En esta secci´on presentamos una estrategia para recuperar la presi´on del fluido. Para k= 3 plan- teamos un problema de Poisson generalizado con dato proveniente de la funci´on de corriente apro- ximada. Se plantea un esquema discreto usando elementos virtuales de clase C⁰ para aproximar la presi´on. Considerando una hip´otesis adicional sobre las mallas (quasi-uniformidad, tal como vere- mos m´as adelante en A3), mostramos existencia y unicidad del problema discreto y establecemos una estimaci´on de error para la presi´on en norma H¹.

Iniciamos usando la identidad−∆u=curl(rotu)−∇(divu) (ver (1.1)) en la ecuaci´on de momento del Problema 2.1.1 para obtener

f =K⁻¹u−ν∆u+∇p

=K⁻¹u+ν(curl(rotu)− ∇(divu)) +∇p

=K⁻¹u+νcurl(rotu) +∇p,

(4.69)

donde hemos usado en la ´ultima igualdad la incompresibilidad del fluido (divu = 0 en Ω). Dado que la funci´on de corriente ψ se obtiene resolviendo el Problema 2.2.2 y u =curlψ, entonces de (4.69) obtenemos

∇p=f −K⁻¹curlψ−νcurl(rotcurlψ), (4.70) usando la identidad rot (curlψ) =−∆ψen (4.70) se tiene que

∇p=f −K⁻¹curlψ+νcurl(∆ψ). (4.71) Ahora, testeando con∇q, dondeq∈He¹(Ω) en (4.71) se satisface el siguiente problema variacional:

Z

Ω

∇p· ∇q = Z

Ω

f· ∇q− Z

Ω

K⁻¹curlψ· ∇q+ν Z

Ω

curl(∆ψ)· ∇q.

Por tanto, la presi´onpdel fluido puede ser obtenida como la ´unica soluci´on del siguiente problema:

Problema 4.4.1 Dadas f ∈[L²(Ω)]² y ψ la ´unica soluci´on del Problema 2.2.2, hallarp∈He¹(Ω) tal que

B∇(p, q) =G^ψ(q) ∀q ∈He¹(Ω), donde B :He¹(Ω)×He¹(Ω)→R, est´a definida por:

B∇(p, q) :=

Z

Ω

∇p· ∇q ∀p, q∈He¹(Ω) (4.72) y G^ψ :He¹(Ω)→R es el funcional definido por:

G^ψ(q) :=

Z

Ω

f · ∇q− Z

Ω

K⁻¹curlψ· ∇q+ν Z

Ω

curl(∆ψ)· ∇q ∀q ∈He¹(Ω). (4.73)

Notemos que si ψ ∈ H³(Ω), entonces el funcional G^ψ(·) definido en (4.73) es lineal y acotado.

Adem´as, la forma bilinealB∇(·,·) es acotada y usando la desigualdad de Poincar´e generalizada se sigue que es el´ıptica, tal como se establece en el siguiente lema:

Lema 4.4.1 Existe una constante λ >0 tal que

B∇(q, q)≥λkqk²_1,Ω ∀q∈He¹(Ω).

Como consecuencia del resultado anterior y del Lema de Lax-Milgram se tiene el siguiente resultado de existencia y unicidad del Problema 4.4.1:

Teorema 4.4.1 Seaψla ´unica soluci´on del Problema 2.2.2. Supongamos queψ∈H³(Ω), entonces existe una ´unica p∈He¹(Ω), soluci´on del Problema 4.4.1 la cual satisface la siguiente dependencia continua del dato f:

kpk_1,Ω ≤Ckfk_0,Ω.

Con el fin de establecer un esquema discreto que permita aproximar la soluci´on del Problema 4.4.1, escribimos la forma bilineal B∇(·,·) definida en (4.72), como sigue:

B∇(p, q) = X

K∈T_h

B_∇^K(p, q) ∀p, q∈He¹(Ω), donde

B_∇^K(p, q) = Z

K

∇p· ∇q ∀p, q∈H¹(K). (4.74) Ahora, con el fin de introducir la discretizaci´on, para cada pol´ıgono simple K ∈ T_h consideramos el conjunto

B1(∂K) :=

q_h ∈C⁰(∂K) :q_h|_e∈P1(e) ∀e⊂∂K y el espacio finito dimensional dado por:

Hb_h^K :=

q_h ∈H¹(K) :q_h|_e∈B1(∂K), ∆q_h|_K ∈P0(K) .

El siguiente conjunto de operadores lineales est´an bien definidos para todo q_h ∈Hb_h^K: Los valores de qh en los NK v´ertices de K.

Definimos el proyector Π^∇_K : Hb_h^K → P1(K) ⊆ Hb_h^K, para cada q_h ∈ Hb_h^K como la soluci´on del problema (en cada elemento K):

B_∇^K(Π^∇_Kq_h, v) =B_∇^K(q_h, v) ∀v∈P1(K),

\Π^∇_Kqh =qbh, dondeqb_h es definido en (3.2).

Ahora, introducimos nuestro espacio virtual local:

H_h^K :=

q_h∈Hb_h^K : Z

K

q_h = Z

K

Π^∇_Kq_h

. (4.76)

Podemos ahora presentar el espacio virtual global para aproximar la presi´on del fluido: para cada descomposici´on{T_h}_h>0 de Ω en pol´ıgonos simplesK, se define

H_h:=n

q_h ∈He¹(Ω) :q_h|_K ∈H_h^Ko

. (4.77)

Los grados de libertad para H_h (ver [8, 9]) est´an dados por:

P₁ : Los valores deq_h en los v´ertices de T_h.

Ahora continuamos con la construcci´on de la forma bilineal discreta, para esto, consideremos la proyecci´on L² sobre [P0(K)]²: para cadav∈[L²(K)]², la proyecci´onΠ^K₀ : [L²(K)]² →[P0(K)]² es la ´unica funci´on tal que

Z

K

q·(v−Π^K₀ v) = 0 ∀q∈[P0(K)]². (4.78)

Observaci´on 4.4.1 Para cada q_h ∈ H_h, la funci´on Π^K₀ ∇q_h es calculable usando los grados de libertad P1 (ver [8, 9]).

Seas^K_∇(·,·) cualquier forma bilineal sim´etrica definida positiva que verifique

c₄B_∇^K(q_h, q_h)≤s^K_∇(q_h, q_h)≤c₅B_∇^K(q_h, q_h) ∀q_h ∈H_h^K, con Π^∇_Kq_h= 0, (4.79) en el Cap´ıtulo 5 introduciremos una forma bilineal s^K_∇(·,·) satisfaciendo (4.79). Definimos la si- guiente forma bilineal discreta

B^h_∇(p_h, q_h) := X

K∈T_h

B_∇^h,K(p_h, q_h) ∀p_h, q_h∈H_h, (4.80) donde

B_∇^h,K(ph, qh) :=

Z

K

Π^K₀ ∇p_h·Π^K₀ ∇q_h+s^K_∇ ph−Π^∇_Kph, qh−Π^∇_Kqh

∀p_h, qh∈H_h^K. (4.81)

El siguiente teorema nos entrega propiedades de las formas bilineales B_∇^h,K(·,·) y B_∇^K(·,·).

Teorema 4.4.2 Las formas bilineales localesB_∇^h,K(·,·) y B_∇^K(·,·) definidas en (4.81) y (4.74) sa- tisfacen las siguientes propiedades:

Consistencia: para cada h >0 y para cadaK ∈ T_h, se tiene que

B_∇^h,K(q, v_h) =B_∇^K(q, v_h) ∀q∈P1(K), ∀v_h∈H_h^K. (4.82) Estabilidad: existen constantes positivas α₇, α₈ independientes de h_K y K tales que

α7B_∇^K(qh, qh)≤B_∇^h,K(qh, qh)≤α8B_∇^K(qh, qh) ∀q_h∈H_h^K. (4.83) El siguiente paso consiste en construir una aproximaci´on para el funcionalG^ψ(·) definido en (4.73), calculable a partir de los grados de libertadP1. Para esto, dadoK ∈ T_h, consideremos la proyecci´on L² sobre P1(K): para cadav∈L²(K), la proyecci´on Π^K₁ :L²(K)→P1(K) es la ´unica funci´on tal que

Z

K

q(v−Π^K₁ v) = 0 ∀q∈P1(K). (4.84) Para k= 3 y para cada K ∈ T_h, definimos el siguiente funcional lineal: dadof ∈[L²(Ω)]² y dada ψ_h ∈W_h la ´unica soluci´on del Problema 3.4.1 consideremos

G^ψh,K(q_h) :=

Z

K

f ·Π^K₀ ∇q_h− Z

K

K⁻¹Π^K₂ curlψ_h·Π^K₀ ∇q_h +ν

Z

K

curl(Π^K₁ (∆ψ_h))·Π^K₀ ∇q_h ∀q_h∈H_h^K,

dondeΠ^K₂ es la proyecci´on definida en (3.12) (conk= 3) y Π^K₁ la proyecci´on definida en (4.84).

Observaci´on 4.4.2 Notemos que la funci´onΠ^K₁ (∆ψ_h)∈P1(K)es calculable a partir de los grados de libertadD1,D2 yD4. En efecto, seaK ∈ T_h yψh ∈Wh,k= 3. Entonces, para todop1∈P1(K) tenemos que

Z

K

Π^K₁ (∆ψh)p1 = Z

K

∆ψhp1

=− Z

K

∇ψ_h· ∇p₁+ Z

∂K

∂nψhp1

= Z

K

ψ_h∆p1− Z

∂K

∂np1ψ_h+ Z

∂K

∂nψ_hp1

=− Z

∂K

∂np1ψ_h+ Z

∂K

∂nψ_hp1,

(4.85)

dado que ψ_h ∈ W_h, (con k = 3), entonces ψ_h|_e ∈ P3(e) ∀e⊆ ∂K y ∂_nψ_h|_e ∈ P2(e) ∀e⊆ ∂K.

Adem´as, como p1 ∈P1(K) entonces las integrales sobre la frontera del lado derecho de la igualdad (4.85) son calculable usando los grados de libertad D₁,D₂ y D₄ y por tanto Π^K₁ (∆ψ_h) tambi´en lo es.

Consideremos el funcional linealG^ψh:H_h→R definido por:

G^ψh(qh) := X

K∈T_h

G^ψh,K(qh) ∀q_h ∈Hh. (4.86) Notemos que a partir de las Observaciones 4.4.1 y 4.4.2 se tiene que G^ψh(·) es calculable usando los grados de libertad P₁.

Ahora se introduce el problema discreto asociado al Problema 4.4.1:

Problema 4.4.2 Hallar p_h ∈H_h tal que

B_∇^h(p_h, q_h) =G^ψh(q_h) ∀q_h ∈H_h, (4.87) donde B_∇^h(·,·) es la forma bilineal definida en (4.80)y G^ψh(·) es el funcional definido en (4.86).

Usando las propiedades de estabilidad, acotamiento (ver (4.83)) y Teorema 4.4.1 podemos demos- trar que la forma bilineal B_∇^h(·,·) es acotada y uniformemente el´ıptica (tal como se hizo en la demostraci´on del Teorema 3.4.1).

A continuaci´on presentamos un resultado de aproximaci´on en el espacio polinomial (ver [27]).

Proposici´on 4.4.1 Si la suposici´on A1 se satisface (ver Secci´on 3.1), entonces existe una cons- tante C >0, independiente de hK, tal que para cada v∈H²(K) existe vπ ∈P1(K), tal que

kv−v_πk_0,K+h_K|v−v_π|_1,K ≤Ch²_K|v|_2,K.

Para las proyecciones Π^K₀ y Π^K₁ definidas en (4.78) y en (4.84), tenemos el siguiente resultado de aproximaci´on (ver [21, 8, 35]):

Proposici´on 4.4.2 Consideremos las proyecciones Π^K₀ y Π^K₁ definidas en (4.78)y en (4.84), res- pectivamente. Entonces, las siguientes propiedades de aproximaci´on son ciertas: existe una cons- tante C >0 independiente de hK tal que

kv−Π^K₀ vk_0,K ≤Ch^δ_K|v|_δ,K ∀v∈[H^δ(K)]², 0≤δ ≤1, kv−Π^K₁ vk_0,K ≤Ch^δ_K|v|_δ,K ∀v∈H^δ(K), 0≤δ≤2.

Presentamos ahora un resultado de interpolaci´on en el espacio virtual H_h (ver [27]).

Proposici´on 4.4.3 Si las supocisiones A1−A2 se satisfacen (ver Secci´on 3.1), entonces existe una constante C >0, independiente de h, tal que para cada v∈H²(Ω) existev_I ∈H_h, tal que

kv−vIk_0,Ω+h|v−vI|_1,Ω ≤Ch²|v|_2,Ω.

Con el objetivo de establecer existencia y unicidad del Problema 4.4.2 consideraremos una hip´otesis adicional sobre las mallas, llamada quasi-uniformidad (ver [19]).

A3: Para cada h > 0 y para cada K ∈ T_h, existe una constante bc > 0, independiente de h, tal que hK ≥bc h.

El siguiente resultado es conocido como desigualdad inversa en espacios polinomiales sobre pol´ıgonos (ver [32, Lema 3.1]).

Lema 4.4.2 Asumiendo que A1−A3 se satisfacen (ver Secci´on 3.1), entonces existe C >e 0, independiente de h, tal que

|q|_1,K ≤Che ⁻¹_K kqk_0,K ∀q|_K ∈P`(K), `≥0. (4.88) El siguiente lema establece el acotamiento de G^ψh(·) definido en (4.86) bajo la suposici´onA3.

Proposici´on 4.4.4 Sea ψ la ´unica soluci´on del Problema 2.2.2. Asumiendo que A1− A3 se satisfacen y queψ∈H³(Ω), entonces el funcionalG^ψh:H_h →Rdefinido en (4.86)es un funcional lineal y acotado.

Demostraci´on. Para demostrar el acotamiento, consideremosq_h ∈H_h, entonces por la definici´on

del funcional G^ψh(·) (ver (4.86)) tenemos G^ψh(qh) = X

K∈T_h

Z

K

f ·Π^K₀ ∇q_h− Z

K

K⁻¹Π^K₂ curlψh·Π^K₀ ∇q_h +ν

Z

K

curl(Π^K₁ (∆ψ_h))·Π^K₀ ∇q_h

≤ X

K∈T_h

kfk_0,KkΠ^K₀ ∇q_hk_0,K+ X

K∈T_h

CkΠ^K₂ curlψ_hk_0,KkΠ^K₀ ∇q_hk_0,K

+ X

K∈Th

ν Z

K

curl(Π^K₁ (∆ψ_h))·Π^K₀ ∇q_h

≤Ckfk_0,Ωkq_hk_1,Ω+Ckψ_hk_1,Ωkq_hk_1,Ω+ X

K∈T_h

ν Z

K

curl(Π^K₁ (∆ψ_h))·Π^K₀ ∇q_h,

(4.89)

donde hemos usado la desigualdad de Cauchy- Schwarz y propiedades de estabilidad de los proyec- tores Π^K₂ y Π^K₀ . Para acotar el ´ultimo t´ermino de (4.89) notemos que a partir de la definici´on de Π^K₀ , se tiene que

Z

K

∇q_h·p0 = Z

K

Π^K₀ ∇q_h·p0 ∀p₀∈[P0(K)]². En particular, curl Π^K₁ ∆ψh

∈ [P0(K)]², por lo tanto usando lo anterior, sumando y restando el t´erminocurl(∆ψ)· ∇q_h obtenemos que

Z

K

curl(Π^K₁ (∆ψ_h))·Π^K₀ ∇q_h = Z

K

curl(Π^K₁ (∆ψ_h))· ∇q_h

= Z

K

curl(Π^K₁ ∆ψ_h)−curl(∆ψ)

· ∇q_h+ Z

K

curl(∆ψ)· ∇q_h

= Z

K

curl Π^K₁ ∆ψh−∆ψ

· ∇q_h+ Z

K

curl(∆ψ)· ∇q_h

≤

curl ∆ψ−Π^K₁ ∆ψ_h

0,Kk∇q_hk_0,K+kcurl(∆ψ)k_0,Kk∇q_hk_0,K

≤C|∆ψ−Π^K₁ ∆ψ_h|_1,Kkq_hk_1,K +C|ψ|_3,Kk∇q_hk_0,K

≤C

∆ψ−Π^K₁ ∆ψ _1,K +

Π^K₁ ∆ψ−Π^K₁ ∆ψ_{h 1,K}

kq_hk_1,K +Ckψk_3,Kkq_hk_1,K

≤C

C|∆ψ|_1,K+

Π^K₁ (∆ψ−∆ψ_h) 1,K

kq_hk_1,K+Ckψk_3,Kkq_hk_1,K

≤C

|ψ|_3,K +

Π^K₁ (∆ψ−∆ψh) 1,K

kq_hk_1,K+Ckψk_3,Kkq_hk_1,K,

(4.90)

donde hemos sumado y restado el t´ermino Π^K₁ ∆ψen la quinta desigualdad y usado desigualdad de Cauchy-Schwarz junto con propiedades de estabilidad de la proyecci´on Π^K₁ (ver Proposici´on 4.4.2).

Ahora bien, dado que A1−A3se satisfacen, podemos usar el Lema 4.4.2, de modo que existe una

constante positiva C >e 0, independiente de h, tal que

|Π^K₁ (∆ψ−∆ψh)|_1,K ≤Che ⁻¹_K kΠ^K₁ (∆ψ−∆ψh)k_0,K ≤Che ⁻¹_K k(∆ψ−∆ψh)k_0,K

≤Che ⁻¹_K k∆(ψ−ψ_h)k_0,Ω≤Che ⁻¹_K kψ−ψ_hk_2,Ω

≤Che ⁻¹_K h^m´ın{1,2}(|f|_1,h+kψk_3,Ω)

≤CChe ⁻¹_K h(|f|_1,h+kψk_3,Ω)

≤ CCe

bc (|f|_1,h+kψk_3,Ω),

(4.91)

donde hemos usadoA3y el Teorema 4.1.1. De las estimaciones (4.90) y (4.91) y la desigualdad de Cauchy-Schwarz en R², resulta

X

K∈T_h

ν Z

K

curl(Π^K₁ (∆ψ_h))·Π^K₀ ∇q_h≤C(kψk_3,Ω+|f|_1,h)kq_hk_1,Ω. (4.92) Finalmente, de (4.89) y (4.92) se obtiene

|G^ψh(q_h)| ≤C(kψ_hk_1,Ω+kψk_3,Ω+|f|_1,h)kq_hk_1,Ω

≤C(kfk_0,Ω+|f|_1,h),

donde hemos usado la depencia continua del dato y el Teorema 2.2.2.

El siguiente teorema establece la existencia y unicidad del problema discreto 4.4.2.

Teorema 4.4.3 Sea f ∈ [L²(Ω)]² tal que f|_K ∈ [H¹(K)]², para cada K ∈ T_h. Sean ψ y ψ_h las

´

unicas soluciones de los Problemas 2.2.2 y 3.4.1, respectivamente. Asumiendo que A1−A3 se satisface y que ψ ∈ H³(Ω), entonces existe una ´unica p_h ∈ H_h soluci´on del Problema 4.4.2 que satisface la siguiente dependencia continua del dato:

kp_hk_1,Ω≤C(kfk_0,Ω+|f|_1,h).

Demostraci´on. Es consecuencia de la el´ıpticidad y acotamiento de la forma bilineal B_∇^h(·,·), el Teorema 4.4.4 y el Lema de Lax-Milgram.

Para establecer la convergencia de este esquema, usamos la consistencia y estabilidad de las formas bilineales B_∇^h,K(·,·) (ver (4.82) y (4.79) respectivamente) y procedemos como en [5, Teorema 3.1]

para obtener la siguiente proposici´on:

Proposici´on 4.4.5 Sean p y p_h, las ´unicas soluciones de los Problemas 4.4.1 y 4.4.2, respectiva- mente. Supongamos que A3 se satisface, entonces existe C >0, independiente de h, tal que

kp−p_hk_1,Ω ≤C

kG^ψ −G^ψhk_H⁰

h+kp−p_Ik_1,Ω+|p−pπ|_1,h . para todo pI ∈Hh y para todopπ ∈L²(Ω) tal quepπ|_K∈P1(K) ∀K∈ T_h, donde

kG^ψ−G^ψhk_H⁰

h:= sup

qh∈Hh

qh6= 0

|G^ψ(q_h)−G^ψh(q_h)|

kq_hk_1,Ω .

Ahora acotaremos el t´ermino kG^ψ−G^ψhk_H⁰

h como se muestra en la siguiente proposici´on:

Proposici´on 4.4.6 Sean f ∈ [L²(Ω)]² tal que f|_K ∈ [H¹(K)]², para cada K ∈ T_h, ψ y ψ_h las ´unicas soluciones de los Problemas 2.2.2 y 3.4.1, respectivamente. Sean G^ψ(·) y G^ψh(·) los funcionales definidos en (4.73) y (4.86), respectivamente. Asumiendo que A1−A3 se satisfacen y que ψ∈H⁴(Ω), entonces se tiene la siguiente estimaci´on:

kG^ψ−G^ψhk_H⁰

h ≤Ch(kfk_0,Ω+|f|_1,h).

Demostraci´on. Sea qh ∈ Hh, entonces usando la definici´on de G^ψ(·) y G^ψh(·) junto con la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos

G^ψ(qh)−G^ψh(qh) ≤ X

K∈T_h

Z

K

f · ∇q_h−Π^K₀ ∇q_h

+ X

K∈T_h

Z

K

K⁻¹curlψ· ∇q_h−K⁻¹Π^K₂ curlψ_h·Π^K₀ ∇q_h

+ X

K∈T_h

ν Z

K

curl(∆ψ)· ∇q_h−curl Π^K₁ ∆ψ_h

·Π^K₀ ∇q_h :=T₁+T₂+T₃,

donde T₁:= X

K∈Th

Z

K

f · ∇q_h−Π^K₀ ∇q_h

, T₂ := X

K∈Th

Z

K

K⁻¹curlψ· ∇q_h−K⁻¹Π^K₂ curlψ_h·Π^K₀ ∇q_h y

T₃ := X

K∈T_h

ν Z

K

curl(∆ψ)· ∇q_h−curl Π^K₁ ∆ψ_h

·Π^K₀ ∇q_h .

Para el t´erminoT1, aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la Proposici´on 4.4.2 y obtenemos que

Z

K

f · ∇q_h−Π^K₀ ∇q_h

= Z

K

f −Π^K₀ f

· ∇q_h−Π^K₀ ∇q_h

≤C

f −Π^K₀ f 0,K

∇q_h−Π^K₀ ∇q_h 0,K

≤Ch_K|f|_1,Kk∇q_hk_0,K

=ChK|f|_1,Kkq_hk_1,K,

de la definici´on del t´erminoT₁ y la desigualdad de Cauchy-Schwarz enR² se sigue que

T₁ ≤Ch|f|_1,hkq_hk_1,Ω. (4.93)

Para estimar T₂, sumamos y restamos K⁻¹curlψ·Π^K₀ ∇q_h y K⁻¹curlψ_h ·Π^K₀ ∇q_h, aplicamos desigualdad triangular, la desigualdad de Cauchy-Schwarz y observamos que

Z

K

K⁻¹curlψ· ∇q_h−K⁻¹Π^K₂ (curlψ_h)·Π^K₀ ∇q_h

≤ Z

K

K⁻¹curlψ· ∇q_h−K⁻¹curlψ·Π^K₀ ∇q_h +

Z

K

K⁻¹curlψ_h·Π^K₀ ∇q_h−K⁻¹Π^K₂ (curlψ_h)·Π^K₀ ∇q_h +

Z

K

K⁻¹curlψ·Π^K₀ ∇q_h−K⁻¹curlψ_h·Π^K₀ ∇q_h

≤ Z

K

K⁻¹curlψ· ∇q_h−Π^K₀ ∇q_h

+ Z

K

K⁻¹curlψ_h−K⁻¹Π^K₂ curlψ_h

·Π^K₀ ∇q_h +

Z

K

K⁻¹curl(ψ−ψh)

·Π^K₀ ∇q_h

≤ Z

K

K⁻¹curlψ−Π^K₀ (K⁻¹curlψ)

· ∇q_h−Π^K₀ ∇q_h

+ Z

K

K⁻¹curl(ψ−ψ_h)

·Π^K₀ ∇q_h +

Z

K

K⁻¹curlψ_h−K⁻¹Π^K₂ (curlψ_h)

·Π^K₀ ∇q_h

≤

K⁻¹curlψ−Π^K₀ (K⁻¹curlψ) 0,K

∇q_h−Π^K₀ ∇q_h 0,K

+ K⁻¹

_∞kcurl(ψ−ψ_h)k_0,K

Π^K₀ ∇q_h 0,K

+ K⁻¹

_∞

curlψ_h−Π^K₂ (curlψ_h) 0,K

Π^K₀ ∇q_h 0,K,

(4.94) donde hemos usado la ortogonalidad y estabilidad el proyectorΠ^K₀ . Ahora, usando propiedades de aproximaci´on de los proyectores Π^K₀ y Π^K_k−1 (ver Proposiciones 4.4.2 y 4.1.2) y el Teorema 4.2.1 se obtiene

kK⁻¹curlψ−Π^K₀ (K⁻¹curlψ)k_0,Kk∇q_h−Π^K₀ ∇q_hk_0,K +

K⁻¹

∞kcurl(ψ−ψh)k_0,K

Π^K₀ ∇q_h 0,K

+ K⁻¹

_∞

curlψ_h−Π^K₂ (curlψ_h) 0,K

Π^K₀ ∇q_h 0,K

≤ChK|K⁻¹curlψ|_1,Kk∇q_hk_0,K+C|ψ−ψh|_1,Kk∇q_hk_0,K +ChK|curlψh|_1,Kk∇q_hk_0,K

≤Ch_K|K⁻¹curlψ|_1,Kk∇q_hk_0,K+C|ψ−ψ_h|_1,Ωk∇q_hk_0,K+Ch_K|curlψ_h|_1,Kk∇q_hk_0,K

≤Ch|ψ|_2,Kkq_hk_1,K+Ch³(|f|_1,h+kψk_4,Ω)kq_hk_1,K+Ch|ψ_h|_2,Kkq_hk_1,K

≤Ch(|ψ|_2,K +|f|_1,h+kψk_4,Ω)kq_hk_1,K+|ψ_h|_2,Kkq_hk_1,K,

(4.95)

de (4.94) y (4.95), obtenemos que T₂ = X

K∈T_h

Z

K

K⁻¹curlψ· ∇q_h−K⁻¹Π^K₂ (curlψ_h)·Π^K₀ ∇q_h

≤ X

K∈Th

Ch(|ψ|_2,K+|ψ_h|_2,K+|f|_1,h+kψk_4,Ω)kq_hk_1,K.

(4.96)

Luego, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz en (4.96) se sigue que

T2≤Ch(kψk_4,Ω+|f|_1,h+kψ_hk_2,Ω)kq_hk_1,Ω. (4.97) Finalmente, para estimar el t´erminoT₃ procedemos como en (4.90) y (4.91) notando que

Z

K

curl(∆ψ)· ∇q_h−curl Π^K₁ ∆ψ_h

·Π^K₀ ∇q_h

= Z

K

curl(∆ψ)· ∇q_h−curl Π^K₁ ∆ψh

· ∇q_h

= Z

K

curl ∆ψ−Π^K₁ ∆ψ_h

· ∇q_h

≤

curl ∆ψ−Π^K₁ ∆ψ_h

0,Kk∇q_hk_0,K

≤C|∆ψ−Π^K₁ ∆ψ_h|_1,Kkq_hk_1,K

≤C

∆ψ−Π^K₁ ∆ψ _1,K+

Π^K₁ ∆ψ−Π^K₁ ∆ψ_{h 1,K}

kq_hk_1,K

≤C

Ch_K|∆ψ|_2,K+

Π^K₁ (∆ψ−∆ψ_h) 1,K

kq_hk_1,K

≤C

hKkψk_4,K+ +

Π^K₁ (∆ψ−∆ψ_h) 1,K

kq_hk_1,K.

(4.98)

Ahora bien, de forma an´aloga a como se procedi´o para obtener (4.91), usando desigualdad inversa sobre pol´ıgonos (ver (4.88)), existe una constante positivaC >e 0, independiente de h, tal que

|Π^K₁ (∆ψ−∆ψ_h)|_1,K ≤Che ⁻¹_K kΠ^K₁ (∆ψ−∆ψ_h)k_0,K ≤Che ⁻¹_K k(∆ψ−∆ψ_h)k_0,K

≤Che ⁻¹_K k∆(ψ−ψ_h)k_0,Ω≤Che ⁻¹_K kψ−ψ_hk_2,Ω

≤CChe ⁻¹_K h²(|f|_1,h+kψk_4,Ω)

≤ CC˜

bc h(|f|_1,h+kψk_4,Ω),

(4.99)

donde hemos usado A3y el Teorema 4.1.1. Entonces de (4.98), (4.99) y la desigualdad de Cauchy- Schwarz enR², se sigue que

T3 ≤Ch(kψk_4,Ω+|f|_1,h)kq_hk_1,Ω. (4.100) Por lo tanto, usando las estimaciones (4.93), (4.97) y (4.100) se obtiene

|G^ψ(qh)−G^ψh(qh)| ≤Ch(kψ_hk_2,Ω+kψk_4,Ω+|f|_1,h)kq_hk_1,Ω

≤Ch(kfk_0,Ω+|f|_1,h)kq_hk_1,Ω,

de donde se sigue el resultado.

El siguiente teorema establece la convergencia en norma H¹ de este esquema.

Teorema 4.4.4 Supongamos que A1−A3 se satisfacen (ver Secci´on 3.1). Sean ψ, ψh, p y ph

las ´unicas soluciones de los Problemas 2.2.2, 3.4.1, 4.4.1 y 4.4.2, respectivamente. Asumiendo que f ∈[L²(Ω)]² y f|_K ∈[H¹(K)]² para cadaK ∈ T_h,ψ∈H⁴(Ω)yp∈H²(Ω), entonces existeC >0, independiente de h tal que

kp−p_hk_1,Ω ≤Ch(kfk_0,Ω+|f|_1,h).

Demostraci´on. El resultado se obtiene usando las Proposiciones 4.4.1 y 4.4.3 junto con el Lema 4.4.5, la Proposici´on 4.4.6 y la desigualdad de Cauchy-Schwarz, como sigue :

kp−p_hk_1,Ω ≤C

kG^ψ −G^ψhk_H⁰

h+kp−pIk_1,Ω+|p−pπ|_1,h

≤C(h(kψ_hk_2,Ω+kψk_4,Ω+|f|_1,h) +hkpk_2,Ω+hkpk_2,Ω)

≤Ch(kψ_hk_2,Ω+kψk_4,Ω+|f|_1,h+kpk_2,Ω)

≤Ch(kfk_0,Ω+|f|_1,h),

donde hemos usado en la ´ultima desigualdad la dependencia continua del datof.

Observaci´on 4.4.3 La condici´on de integral nula para los elementos del espacio virtual Hh es impuesta mediante un multiplicador de Lagrange real. Esto significa que (4.87) es reformulado de manera equivalente como sigue: hallar (p_h, ξ)∈M_h×R tal que

B_∇^h(p_h, q_h) +ξ Z

Ω

q_h =G^ψh(q_h), ∀q_h∈M_h, ρ

Z

Ω

p_h = 0, ∀ρ∈R,

(4.101)

con

Mh :=

qh ∈H¹(Ω) :qh|_K∈H_h^K , donde H_h^K es el espacio virtual local definido en (4.76).

Notemos que la restricci´on Z

Ω

p_h = 0, se satisface autom´aticamente para los elementos de H_h (ver (4.77)), sin embargo esta restricci´on no se satiface en el espacioMh que es en donde ahora se busca p_h, pero se impone de manera d´ebil en la segunda ecuaci´on de (4.101). En otras palabras,ξ es una inc´ognita artificial, que act´ua como el multiplicador de Lagrange que se ocupa de la condici´on de integral nula. De antemano se sabe que ξ es cero. Sin embargo, ξ se mantiene en (4.101) para mantener la sim´etria de este sistema equivalente (ver, por ejemplo, [26] para un caso similar con el espacio H(div; Ω)).

Observaci´on 4.4.4 Si consideramos en nuestro esquema como lado derecho al funcional alter- nativo definido en (3.29), los ordenes de convergencia del m´etodo siguen siendo los mismos. En

efecto, sea v_h ∈ W_h, y sea f ∈ [L²(Ω)]² tal que f ∈ [H^k−1(K)]², para cada K ∈ T_h. Entonces, usando la definici´on y la propiedad de ortogonalidad del proyector Π^K_k−2 junto con la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos que:

|Fe(v_h)−Fe^h(v_h)|= X

K∈Th

Z

K

rotfv_h−rotfΠ^K_k−2v_h

= X

K∈T_h

Z

K

rotf(v_h−Π^K_k−2v_h)

= X

K∈T_h

Z

K

(rotf −Π^K_k−2(rotf))(v_h−Π^K_k−2v_h)

≤ X

K∈T_h

krotf−Π^K_k−2(rotf)k_0,Kkv_h−Π^K_k−2v_hk_0,K

≤ X

K∈T_h

Ch^k−2_K |rotf|_k−2,KChKkv_hk_1,K

≤ X

K∈T_h

Ch^k−1_K |f|_k−1,Kkv_hk_2,K

≤ X

K∈Th

Ch^k−1|f|_k−1,hkv_hk_2,Ω,

(4.102)

donde hemos usado desigualdad de Cauchy-Schwarz en R² y propiedades de aproximaci´on del pro- yector Π^K_k−2 (ver [8, Lema 5.1]. De (4.102) se sigue que

kFe−Fe^hk_W⁰

h ≤Ch^k−1|f|_k−1,h.

Cap´ıtulo 5

Resultados Num´ ericos

En este cap´ıtulo presentaremos varios ejemplos num´ericos que ilustran el buen desempe˜no del esquema discreto propuesto y corroboran los resultados te´oricos presentados en este trabajo para los casos k = 2 y k = 3. Para esto se ha implementado un c´odigo en MATLAB sobre mallas poligonales arbitrarias.

Para completar el esquema de VEM, necesitamos elegir las formas bilineales s^K_∆(·,·), s^K_curl(·,·) y s^K_∇(·,·), satisfaciendo (3.16), (3.17) y (4.79), respectivamente. Procediendo como en [3], una elecci´on natural para s^K_∆(·,·) ys^K_curl(·,·) est´an dadas por:

s^K_∆(uh, vh) :=σ^K

N^K

X

i=1

uh(Vi)vh(Vi) +h²_Vi∇u_h(Vi)· ∇v_h(Vi)

∀u_h, vh∈W_h^k(K), y

s^K_curl(u_h, v_h) :=σ_K^K

N^K

X

i=1

u_h(V_i)v_h(V_i) +h²_Vi∇u_h(V_i)· ∇v_h(V_i)

∀u_h, v_h ∈W_h^k(K).

Mientras que para el esquema de la presi´on del fluido, una elecci´on para s^K_∇(·,·) (ver [5, 43]) est´a dada por:

s^K_∇(u_h, v_h) :=

N^K

X

i=1

u_h(V_i)v_h(V_i) ∀u_h, v_h ∈H_h^K,

donde V1, . . . , V_N^K son v´ertices de K, hVi corresponde al di´ametro m´aximo del elemento con Vi

como v´ertice. Los par´ametros σ^K, σ^K

K >0 son factores multiplicativos que tienen informaci´on de las magnitudes f´ısicas y/o elh-escalado, por ejemplo, tomamos aσ^Kcomo la traza de la matriz local A^K_∆(Π^k,∆_K u_h,Π^k,∆_K v_h). El par´ametroσ^K

K es tomado como la traza de K⁻¹Π^K_k−1curlu_h,Π^K_k−1curlv_h

0,K. Testeamos el m´etodo usando diferentes familias de mallas:

T_h¹: Malla triangular;

T_h²: Malla trapezoidal que consiste en particiones del dominio enN×N trapecios congruentes, todos similares al trapecio con v´ertices (0,0), ¹₂,0

, ¹₂,²₃

y 0,¹₃

;

T_h³: Secuencia de TVC (Teselaciones de Voronoi Centroidales) conh= 1/4,1/8,1/16,1/32,1/64;

T_h⁴: Malla hexagonal.

Figura 5.1: Mallas: T_h¹ (arriba izquierda), T_h² (arriba derecha), T_h³ (abajo izquierda), T_h⁴ (abajo derecha).

Para la funci´on de corriente consideremos los siguientes errores calculables en VEM:

e0(ψ) =error(ψ, L²) :=



 X

K∈T_h

kψ−Π^k,∆_K ψ_hk²_0,K





1/2

,

e₁(ψ) =error(ψ, H¹) :=



 X

K∈T_h

|ψ−Π^k,∆_K ψ_h|²_1,K





1/2

,

e2(ψ) =error(ψ, H²) :=



 X

K∈T_h

|ψ−Π^k,∆_K ψ_h|²_2,K





1/2

. Mientras que para la presi´on consideremos

e1(p) =error(p, H¹) :=



 X

K∈T_h

p−Π^∇_Kph

2 1,K





1/2

.

Para mostrar las tasas de convergencia experimentales introducimos la siguiente notaci´on:

r0(ψ) := log(e₀(ψ)/e⁰₀(ψ))

log(h/h⁰) , r1(ψ) := log(e₁(ψ)/e⁰₁(ψ)) log(h/h⁰) , r₂(ψ) := log(e₂(ψ)/e⁰₂(ψ))

log(h/h⁰) y r₁(p) := log(e₁(p)/e⁰₁(p)) log(h/h⁰) .

dondehyh⁰denota dos tama˜nos de malla consecutivos con sus respectivos erroreseiye⁰_i,i= 0,1,2.

In document M´ etodo de Elementos Virtuales para Problemas de Fluidos (página 58-73)