On s'amaguen els nombres primers?

Vaig triar un treball de recerca centrat en un tema matemàtic perquè m'agradava molt el professor de matemàtiques que tenia a l'institut. Les matemàtiques que aprenem als cursos de batxillerat no estan prou especialitzades per respondre la hipòtesi. Es tracta d'una assignatura cursada en els cursos de grau superior de matemàtiques.

Un primer capítol explicant les eines matemàtiques bàsiques de la teoria de nombres.

Introducci´ o

Per demostrar algunes propietats d'aquest capítol, utilitzarem la següent propietat dels nombres naturals. Quan assumim que la propietat que volem demostrar és certa per a l'element n, diem que estem aplicant la hipòtesi d'inducció (H.I.). Vegem amb un exemple com podem utilitzar aquest principi per demostrar certes propietats dels nombres naturals.

El seu professor proposa una suma als alumnes per mantenir-los entretinguts durant molt de temps.

Divisibilitat

Si és el producte de dues potències de nombres primers, n = pk·qr, aleshores qualsevol dels divisors sk+ 1 de la forma pl, que va de 0 a k (normalment ho escrivim = 0 ÷ k), es pot combinar amb qualsevol dels r+ 1 divisors dels formaqs, amb s= 0 ÷ r. Per calcular tots els divisors d'un determinat n, hem de saber combinar tots els possibles productes que podem obtenir amb els factors de la seva descomposició en factors primers. Col·loquem els divisors de la família més llarga a la primera columna de la taula (en el nostre cas 26) i a la primera fila els divisors de la segona família més llarga (en el nostre cas 72).

Observem que les dimensions de la taula són 7×12 = 84, que correspon al nombre total de divisors de 448448.

Congru` encies

Un nombre intern >0 és divisible per 9 si i només si la suma de les xifres de la seva expressió o decimal és divisible per 9. Pierre de Fermat era un advocat francès que estava fascinat per les matemàtiques i sobretot la teoria dels nombres. Aquesta afirmació es coneix com a incongruència de Fermat i normalment s'expressa utilitzant el llenguatge de les congruències.

Els nombres de Fermat es relacionen amb polígons regulars que es poden construir amb un regle i una brúixola. Si el mòdul que considerem en la congruència de Fermat no és un nombre primer, no podem assegurar-nos que es compleixi (2.3). Tanmateix, observem que si p no és primer, pot existir un nombre k < p que compleixi la congruència de Fermat.

Com que 15 no és primer, és evident que la congruència de Fermat no es satisfà. Com que primer coneixem, i després ϕ(p) =p−1, podem considerar la congruència de Fermat com un cas específic de la congruència d'Euler. Per veure que hi ha infinits nombres primers del tipus 4k+ 3 = 4k−1 seguirem un procés semblant al de la demostració d'Euclides.

Comencem suposant que a partir d'un determinat primer tots els primers són de la forma 4k+ 1. Això implica una contradicció que només pot venir del fet que es considera el conjunt de primers del tipus finit 4k−1.

Introducci´ o

Tampoc es necessita molt per calcular que hi ha exactament 95 nombres primers per sota de 500 i que després del 331, que és el 67è nombre primer, el següent nombre primer que trobem és 337. Però a mesura que comencem a moure'ns en magnituds més grans, respondre a les tres preguntes anteriors es pot tornar dramàticament més complicat. I si aquestes quantitats ens semblen grans, no són res en comparació amb les dimensions amb les que podem treballar si aprofundim en els nombres naturals.

El nivell de treball aquí presentat impedeix un estudi molt extens dels resultats assolits en aquest àmbit. No obstant això, podem fer una petita introducció a la filosofia que adoptem davant de preguntes relacionades amb els nombres primers. També farem una breu presentació dels resultats més importants (la majoria dels quals proclamarem sense proves o en absència de les eines necessàries) i quin impacte tenen en el desenvolupament actual de les matemàtiques.

De les tres preguntes comentades anteriorment, en aquest capítol ens centrarem en les dues últimes. Conclourem el capítol amb un apartat on, amb l'ajuda de l'ordinador, analitzarem la certesa d'un dels problemes, sense provar encara, el més important de les matemàtiques: la hipòtesi de Riemann.

La distribuci´ o de primers al llarg de la hist` oria

Una de les raons de la irregularitat en la distribució dels nombres primers és el fet que no hi ha o no s'ha trobat una fórmula prou senzilla per produir tots els nombres primers. Bàsicament, es tracta d'estudiar el comportament de la funció que compta primers menors o iguals a ax, coneguda com aπ(x)1. Aquesta funció es diferencia de la gaussiana en una constant que es pot calcular i val 1,04516.

Més tard, el 1859, Georg Bernhard Riemann va presentar un article sobre vuit plans que s'ha convertit en un dels escrits matemàtics més importants de la història. Aquesta funció s'ha conegut des de llavors com a funció zeta de Riemann, ζ(s), i es defineix a partir de la suma infinita. Quan es calcula l'expressió de la funció J(x), Riemann es veu obligat a estudiar com es distribueixen en el pla complex els valors complexos ρ que cancel·len la funció zeta.

Per demostrar aquest teorema, Hadamard i de la Vallée Poussin van utilitzar totes les eines introduïdes per Riemann al voltant de la funció o funcions. Els resultats més positius aconseguits fins ara podrien ser: la demostració de l'existència de zeros infinits de la funció zeta sobre la línia crítica (Littlewood, 1915); i la demostració que 2/5 de tots els zeros de la funció zeta es troben a la línia crítica. Al mateix temps, s'han demostrat resultats que depenen de la certesa de la hipòtesi.

Avui dia, amb les noves tecnologies i amb l'ajuda d'ordinadors, s'ha pogut calcular milions de zeros de la funció zeta, i cap d'ells està tan sols lleugerament separat de la línia crítica, com va predir Riemann. Tanmateix, la comunitat matemàtica internacional considera aquest fet només com un punt a favor de la hipòtesi.

Resultats matem` atics

Daniel Meissel utilitza el sedàs d'Eràtòstenes (taula 3.1) i eines de combinació per calcular el valor exacte de π(x) per a valors baixos de x. El mètode es basa en el principi d'inclusió-exclusió i en l'ús de la funció o enter dex,⌊x⌋. Si calculem el valor numèric d'aquesta darrera expressió, obtenim el resultat conegut però sorprenent del nombre de nombres primers per sota de x= 100.

Aquesta constant, la irracionalitat de la qual encara no s'ha establert, sorgeix de manera natural quan s'estudien les sèries harmòniques discretes. La naturalesa de γ va ser estudiada seriosament per primera vegada per L.Euler i apareix en diverses qüestions de la teoria analítica dels nombres relacionades amb l'estudi dels nombres primers. En el primer terç del segle XIX, com s'ha esmentat a l'apartat anterior (3.2), hi va haver un tens debat entre Gauss i Legendre, cadascú defensava el seu enfocament a π(x) com millor.

Si ens centrem en el comportament asimptòtic de π(x) (és a dir, com x → ∞) òbviament esperem que el terme d'error relatiu tendeixi a zero. Va ser demostrat simultàniament per Jacques Hadamard i Charles de la Vallée-Poussin el 1896, i les eines utilitzades en la seva demostració són molt, molt elaborades. En el cas que x sigui un nombre senar, x= 2n+ 1, podem obtenir una cota inferior de π(x) utilitzant el fet que la funció lnx és estrictament creixent com a desigualtat.

Utilitzant aquest teorema, podem determinar els límits inferior i superior de la mida de l'enèsim nombre primer, pn. Aquest darrer teorema ens diu que de fet les tres preguntes anteriors es redueixen a dues, perquè estimar el valor de π(n) equival a estimar el valor de pn. Estudiant el comportament asimptòtic de π(n), acabem d'obtenir el comportament asimptòtic del valor de pn.

Després d'aquesta darrera regla, la de determinar l'nè nombre primer, demostrarem una curiosa propietat del nombre 30 que ens permet determinar el valor de l'n+ 1è nombre primer, pn +1, en funció dels nombres primers anteriors. .

Podem pensar que els zeros de la funció zeta determinen quins nombres naturals són primers i quins no. El que hem de dissenyar és una estratègia que ens permeti veure com els zeros de la funció zeta prediuen la distribució dels nombres primers. En primer lloc, farem una comprovació numèrica de l'aproximació del conjunt de primers sota la funció proposada per Riemann.

Ara ens agradaria mostrar gràficament com els zeros no trivials de la funció riemanniana ζ(s) s'aproximen a π(x) d'una manera sorprenent. Un cop definides les funcions, podem veure com amb més zeros de ρk la funció pi[x] s'acosta cada cop més a la funció π(x). A la figura 3.12 podem veure la funció π(x) aproximada per la funció Ri(x) sense considerar el terme de correcció.

D'altra banda, fent la investigació, vaig aprendre moltes coses sobre els nombres primers que no sabia. També vaig aprendre i entendre algunes de les demostracions més importants relacionades amb els nombres primers. També vaig saber que la pregunta inicial que em va fer el meu tutor: quants nombres primers hi ha sota un nombre determinat.

El que més m'ha sorprès del treball ha estat com un valor molt concret, els zeros de la funció zeta de Riemann -ζ(s) -, pot dir quins nombres naturals són primers i quins no. També em van fer entendre que encara no entenem del tot el comportament dels nombres primers.