En este proceso, es importante que los futuros docentes conozcan y utilicen adecuadamente el lenguaje de la geometría en el Plano Cartesiano y sus funciones. Solicitar al grupo de estudiantes de magisterio que resuelvan las tareas propuestas en el grupo nº 25 de las páginas 163 y 164 del material de apoyo para el estudio de la asignatura.
MATERIAL
APOYO
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
División de un segmento en una razón dada
El segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapezoide es igual a la mitad de la diferencia entre las longitudes de los lados paralelos. El segmento de recta que conecta los puntos medios de los lados no paralelos de un trapezoide biseca ambas diagonales.
GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
Sustituir x por –x cambia la ecuación; la curva no es simétrica con respecto al eje Y. La ecuación (2) sólo se satisface para valores de xey que cancelan al menos uno de los factores en su primer término (Apéndice IB, 2). Se comprueba lo contrario; Sean (x1, x1) las coordenadas de cualquier punto que satisfaga (1) de tal manera que la ecuación.
Si de (2) se puede derivar la expresión analítica de la condición o condiciones geométricas dadas, cuando se aplica al punto (x1, x1), entonces (1) es la ecuación del lugar geométrico requerido. Sean (x1 m y1) las coordenadas de cada punto P, que satisfacen (5) de tal manera que la Ec. Encuentra la ecuación geométrica de lugar de un punto que se mueve de tal manera que siempre permanece igual desde los dos puntos A (1, -2) y B (5, 4).
Encuentre la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos A(2, -2) y B(4,1) es siempre igual a 12 (dos casos ). Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos A (3,0) y B(-3, 0) es siempre igual a 8. Encuentra la ecuación del Geometría del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos a (0, 3) y B (0, -3) es siempre igual a 8.
LA LÍNEA RECTA
Ecuación de la recta que asa por un punto y tiene una pendiente dada Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por un des sus puntos y su
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto a(-6, -3) y tiene una inclinación de 45°. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC 16. Derive la ecuación a partir de la recta cuya pendiente es my que define el segmento a en el eje X.
Si el punto de tangencia es , encuentre la ecuación de la tangente en forma normal. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 6) y tal que la suma algebraica de los segmentos que define en los ejes coordenados (la intercepción) es igual a 2. La ecuación (9) representa la familia de todos líneas que pasan por la intersección de las líneas (4) y (5) con la única excepción de la línea (5).
Por el método del parámetro, encuentre la ecuación de la recta si debe pasar por el punto (6, -4). Encuentra la ecuación de la recta si forma un triángulo de área 12 con los ejes coordenados. Obtén otra forma de ecuación de la misma familia, que incluya la recta 2 = 2.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Encuentra la ecuación del círculo cuyo centro es el punto C(7, -6) y que pasa por el punto A(2, 2). Encuentra la ecuación del círculo que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo. Encuentra la ecuación del círculo cuyo centro está en el eje X y que pasa por los puntos A(1, 3) y B(4, 6).
Encuentre la ecuación del círculo centrado en el eje Y y que pasa por los puntos A(2, 2) y B(6, -4). Escribe la ecuación de la familia de circunferencias concéntricas cuyo centro común es el punto (-3,5). Escribe la ecuación de la familia de todos los círculos que pasan por el origen.
Encuentre la ecuación de la tangente a un círculo dado en un punto de contacto dado. Encuentre la ecuación de la tangente a un círculo dado que pasa por un punto externo dado. Demuestre que la ecuación de la tangente a la circunferencia x2 + y2 = r2 en la proposición del punto de contacto.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Luego, al girar el eje utilizando las ecuaciones de transformación del Teorema 2 (Art. 51), obtenemos la ecuación (6). La Figura 73 muestra el lugar geométrico de la ecuación (8), la elipse y todos los sistemas de ejes de coordenadas. Veremos que la ecuación de una parábola toma su forma más simple cuando su vértice está en el origen y su eje coincide con uno de los ejes coordenados.
Encuentra la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. La ecuación de dirección y la longitud del lado recto para la ecuación dada, y analice el lugar geométrico correspondiente. Encuentra la ecuación de la parábola con el vértice en el origen y enfoca en el punto (3,0).
Encuentra la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado derecho. Encuentra la ecuación del perímetro que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola x2-4y=0. En cada uno de los ejercicios 22-25, aplicando la definición de parábola, encuentre la ecuación de la parábola basándose en los datos dados.
Ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo a un eje coordenado
Encuentra la longitud del radio vector del punto de la parábola y2-9x=0, cuya ordenada es igual a 6. Demuestra que si tenemos la ecuación de la parábola en la forma (y –k)= 4p(x-h) , las coordenadas de su foco son (h+p, k) y la ecuación de su directriz es x= h y p. Determine la ecuación de la familia de parábolas que tienen un foco común (3,4) y un eje común paralelo al eje Y.
Determinar la tangente a una parábola no requiere la introducción de ningún concepto nuevo. Consideremos ahora el problema general de determinar la ecuación de la tangente de la pendiente m a la parábola (1). Demostrar que la intersección de las tangentes del ejercicio 7 está en la directriz de la parábola (ver ejercicio 19 del grupo 23, artículo 55).
Desde el foco de una parábola se traza una línea recta perpendicular a cualquier tangente a la parábola. Demuestre que la cuerda común de las circunferencias pasa por el vértice de la parábola. Encuentra la ecuación del diámetro de la parábola y² = 16x para un sistema de cuerdas paralelas con pendiente 2.
Un punto en una curva continua cuya ordenada es algebraicamente mayor que la ordenada de cualquier punto adyacente se llama punto máximo de la curva. De manera similar, un punto cuya ordenada es algebraicamente menor que la ordenada de cualquiera de sus puntos vecinos se llama punto mínimo de la curva. Si consideramos los signos de ambas formas del primer término de esta desigualdad, vemos que se cumple para todos los valores de x incluidos en el intervalo -2 < x < 3. Algunos usos de la parábola.
Si el arco parabólico se coloca de tal manera que su vértice esté en el origen y su eje coincida con el eje Y, y si la longitud del tramo es 2s y la altura es h, entonces podemos demostrar fácilmente que la ecuación de la parábola toma forma. La normal a la parábola en cualquier punto P1 (x1, y1) de la parábola forma ángulos con el vector radio de P1 y la recta que pasa por P1 y es paralela al eje de la parábola. El teorema no se especifica si tomamos la forma canónica como ecuación de la parábola.
Si un rayo de luz h incide en una superficie lisa m en el punto P, se refleja a lo largo de otra línea, digamos h, como se muestra en la figura. 85(a). En física está demostrado que la ley de la reflexión determina: 1) que h, n y l2 sean iguales, y 2) que u= b. Como el Sol se encuentra tan lejos de la Tierra, sus rayos, sobre la superficie terrestre, son prácticamente paralelos entre sí.
LA ELIPSE
Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de modo que las coordenadas de los focos son (0, c) y (0, -c), la ecuación de la elipse es la misma. En cada uno de los ejercicios 24 a 26, utilizando la definición de elipse, encuentre la ecuación de la elipse basándose en los datos dados. Ahora consideraremos la determinación de la ecuación de una elipse cuyo centro no está en el origen y cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas.
Encuentra la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes mayor y menor, las coordenadas de sus focos y su excentricidad. Encuentra la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus ejes mayor y menor y de cada lado recto. Si la longitud de cada lado recto es 4, encuentra la ecuación de la elipse, su excentricidad y las coordenadas de sus focos.
Encuentra la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la de cada lado recto. El teorema no pierde generalidad al tomar la ecuación de la elipse en su forma canónica. Demuestre que la ecuación del lugar de los centros de cualquier sistema de series paralelas con pendiente m de la elipse.
LA HIPÉRBOLA
Luego, al definir la hipérbola, el punto P debe satisfacer la siguiente condición geométrica, que establece que el valor absoluto de la diferencia de las distancias del punto al foco es una cantidad constante. A la inversa, podemos demostrar que si P1(x1, y1) es cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (8), entonces P1 satisface la condición geométrica (1) y, por lo tanto, se encuentra en la hipérbola. La ecuación (8) muestra que la hipérbola es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas y el origen.
De la ecuación (9) y la relación (7) vemos que la longitud de cada lado recto es 2b/a. En cuanto a la elipse, la excentricidad e de una hipérbola está definida por la relación. De manera similar, si el centro de la hipérbola está en el origen, pero el eje focal coincide con el eje Y, encontramos que la ecuación de la hipérbola también lo está. La ecuación de la hipérbola con centro en el origen, el eje focal coincidente con el eje X y los focos de los puntos (c, 0), es.
Si el eje focal coincide con el eje Y, entonces las coordenadas de los focos son (0, c) y (0, - c), entonces la ecuación es. La posición de la hipérbola está determinada por los signos de los coeficientes de las variables en la forma canónica de su ecuación. La variable de coeficiente positivo corresponde al eje de coordenadas que contiene el eje transversal de la hipérbola.
