La escala de tiempo [0, T] depende de la aparición de los llamados puntos críticos en la evolución temporal de Λ0. Tenga en cuenta que la derivación de la condición (13) no es transparente y se basa en procedimientos. Entonces la condición de cuantificación (13) establece el hecho de que para x fijo el producto J(α)12exp.
Tenga en cuenta que la representación de ψ por el operador canónico de Maslov se puede obtener de (14) aplicando el método de fase estacionaria.
Sistemas Hamiltonianos. Propiedades B´ asicas
Localmente, una subvariedad lagrangiana Λ puede describirse en términos de coordenadas de Darboux dependiendo de Λ [17]: en una vecindad de cada punto de Λ existe un sistema de coordenadas local (p, x) = (p1, .., pn, x1 , .., xn) tal que. En el caso de que la subvariedad Λ sea una subvariedad isotrópica con dimΛ < 12dimM, las propiedades (a) y (b) en general no son equivalentes. La expresión (1.4) es la forma del corchete de Poisson que se ve comúnmente en la mecánica clásica.
Si ahora consideramos las curvas integrales def, podemos ver que las ecuaciones de Hamilton se pueden escribir en términos del corchete de Poisson de la siguiente manera.
Integrabilidad y Simetr´ıa
3.4) Ahora usemos las fórmulas de conmutación de la función exponencial con los operadores ˆ. Además, la definición de la clase Masl es independiente de la matriz A [29]. La fórmula (5.94) se obtiene mediante la siguiente elección de la polarización de K¨ahler.
De manera similar, podemos probar (B.2) para el caso en que H es una función analítica.
MODELOS CU ´ ANTICOS B ´ ASICOS 20
Oscilador Arm´ onico. Operadores de Creaci´ on y Aniquilaci´ on
Bajo la condición (3.33), como resultado de la fórmula (3.37), también derivamos la siguiente representación para la solución de la ecuación de transporte. La siguiente observación explica el significado de la regla de cuantificación (4.9) en términos de la dependencia de Γα(x,~) con α. De la propiedad (5.5) tenemos que los campos hamiltonianos de las funciones de acción satisfacen.
Debido a la posición de R(z1) y(z0) con respecto a B, al integrar con respecto a z1 obtenemos un factor (A+B) a la izquierda de B para cada potencia de z1; e integrar.
Ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi
Conectaremos la ecuación de Hamilton-Jacobi dependiente del tiempo para S =S(x, t) a esta función. No olvidemos que la idea de la solución de la ecuación no lineal (3.11) con derivadas parciales se reduce al estudio del sistema no autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir 3.16) Luego, según la función implícita teorema, existe una función inversa suave. En el caso autónomo, las hipótesis del Lema 3.1 pueden reformularse geométricamente de la siguiente manera.
El supuesto anterior implica que la trayectoria de . La principal característica de la familia {Λt} es que la subvariedad Λt se proyecta difeomorficamente en el espacio x Rnx para todo t ∈ [0, T]. El primer T0 > T en el que se rompe esta propiedad se denomina momento de aparición de los puntos focales.
Ecuaci´ on de Transporte
Paquetes de onda WKB
En este capítulo presentamos uno de los principales resultados de la tesis sobre la representación integral de Karasev para cuasimodos [24] [25]. En particular, presentamos una demostración completa y detallada de la llamada fórmula de conmutación, que prácticamente no se encuentra en la literatura.
Cuasimodos. Definici´ on y propiedades generales
El espectro puntual o espectro discreto σp( ˆA) que consta de todos los λ ∈C tales que Rλ( ˆA) no existe, es decir, λ∈ σp( ˆA) significa que λ es un valor propio de A,ˆ Au =λu , por un cierto vector u∈D( ˆA), kuk= 1;. Se dice que un operador simétrico (ˆA, D(ˆA)) es inherentemente autoadjunto si su cierre (A, D(¯ˆ A)) es autoadjunto.¯ˆ. Sea Aˆ un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert (H,h,i) y 0< ε1, un parámetro pequeño.
Si (λ, u) es un ε-cuasimodo A, entonces la distancia entre el espectro ˆ Aˆ y λ es de orden ε, es decir En esta parte, nuestro objetivo es presentar algún método para construir cuasimodos para operadores ~-pseudodiferenciales de Weyl. Por tanto, el problema de cuantificación semiclásico consiste en construir un cuasimodo (λ, ψ∈L2) de Hˆ mod(~N) para N >1, es decir,.
Como mencionamos anteriormente, un método general para construir tales cuasimods es el operador canónico de Maslov [36], [37]. Nuestro objetivo es discutir algunos aspectos analíticos y geométricos del método alternativo al método de Maslov, basado en la representación integral para cuasimodos gracias a Karasev.
Operador de Schrodinger Unidimensional
Obsérvese que con respecto al potencial V, las condiciones para la existencia de órbitas periódicas se verifican de la siguiente manera. Como se sabe, la cuantificación semiclásica de las órbitas periódicas γE en R2 en el sistema hamiltoniano (4.7) produce los siguientes cuasimodos (λk, ψk) mod~2 del operador Schorodinger unidimensional ˆH, donde los valores son propios. Ahora estableciendo un nivel de energía E ∈ ∆, introduciremos los siguientes objetos asociados con la órbita periódica γ =γE.
Usando la parametrización (4.8), definimos una función suave J ("jacobiana") distinta de cero y 2π periódica en α by. La propiedad de no degeneración se deriva de la regularidad de la curva parametrizada y (es decir, la tasa de y es distinta de cero en cada punto). Aquí, la integral toma un segmento de la curva γ con los puntos extremos correspondientes a los valores α0 y α.
En otras palabras, estas relaciones muestran que en el límite semiclásico, la variable a, Γα(x, h) se ubica en x sobre el intervalo [x−, x+] que es la proyección de la curva γ ⊂R2p,x a lo largo de x . eje. Si la trayectoria periódica γ =γEk (o su nivel de energía E = Ek . ) está cuantificada, en el sentido de que se cumple la regla de cuantificación (4.9), entonces se puede definir el operador Kγ :C∞ (γ)⊗C−→C ∞(Rx)⊗C dado por. Así, llegamos a nuestro resultado principal para la construcción de cuasimodos para el operador de Schrödinger unidimensional.
Aquí presentamos una derivación directa de los cuasi-modernos que ilustra las ideas principales de la construcción. De esto se deduce que ϕ= 1 es una función propia del operador ˆLγ asociado con el valor propio λ=Ek.
Cuantizaci´ on semicl´ asica de toros cuasiperi´ odicos
- Objetos Principales y sus Propiedades
- Operador Integral de Karasev
- Resultados Principales
- Demostracion de los Resultados Principales
La clase de cohomología de µ se llama clase de Maslov de la subvariedad lagrangiana Λ. De manera similar, como en el caso unidimensional, se muestra que esto sucede bajo la condición de cuantificación. Primero, usando las notaciones de la subsección anterior, formularemos un resultado sobre el operador de conmutación.
Evaluando ambos términos de la ecuación en las formas ηs=d(xs+ips) y teniendo esto en cuenta. En esta sección utilizamos los resultados presentados en las Secciones 4.2 y 4.3 para obtener cuasimodos para varios modelos de mecánica cuántica. En general, la polarización de K¨ahler Π se define como una distribución de subespacios complejos en TCM que satisface la siguiente condición: la restricción de la forma 2i1ω(·,·) es definida positiva (ver [29]).
4 Entonces los resultados del Lema 5.3 siguen siendo válidos para tal elección de la polarización de K¨aler Π. En este trabajo aplicaremos los resultados de la Sección 4.3 a algunas clases de sistemas que no son necesariamente integrables. A > es un campo tensorial invariante S1 del mismo tipo que el A original. Está claro que la función de frecuencia$ y el hamiltonianoH son invariantes S1.
Para entender cómo la regla de cuantificación depende del parámetro adiabático ε, debemos reescribirlo en términos de la primitiva de la forma simpléctica. Obsérvese además que la fórmula (5.94) para el campo vectorial dependiente de ε vH se puede calcular de la siguiente manera.
APLICACIONES 76
Calculo del Indice de Maslov
Sean TCΛ y TΛCM las complejizaciones del radio tangente de Λ y el radio tangente TΛM del espacio de fase limitado a Λ. Entonces la descomposición (5.24) implica un morfismo (complejo) de haces de vectores definido como proyección. Considerando que la distribución Π es lagrangiana, de esta descomposición se deduce que la matriz de proyección C= (Cjk) (5.25) está dada por.
Entonces se puede colocar una base u= (uj) en Λc, tomando las restricciones de los campos hamiltonianos de F1, .., Fn en Λc,. Luego, en el caso integrable, el índice de Maslov se puede calcular en términos de primeras integrales usando las fórmulas (5.28) y (5.30). Por otro lado, es útil recordar una relación del índice de Maslov con el número de devanado [29], [14].
En el caso n = 1, tenemos un sistema hamiltoniano definido por un campo hamiltoniano XH = J∇H en el plano R2.
Modelos con S 1 -Simetr´ıa
Entonces, por la Proposición 5.1, el espectro semiclásico del operador de Schrodinger (5.35) en este caso se define como Si ε= 0, obtenemos el potencial de Coulomb correspondiente al modelo de Kepler en el plano. Con (5.38) y (5.39) tenemos que el espectro semiclásico del operador de Schrodinger en este caso viene dado por
Sistemas de tipo adiab´ atico
A continuación se da una definición más precisa del operador pseudodiferencial de Weyl~ dependiente de ε ˆH en (5.42). Por otro lado, podemos pensar en el sistema hamiltoniano como una perturbación del siguiente sistema en R2sp,x, que depende de las variables (ξ, y) como parámetros. Logramos esto bajo algunos supuestos de simetría para el sistema que nos permiten usar los resultados en forma normal presentados en [6].
Llamamos a este caso un caso no integrable porque el sistema hamiltoniano clásico correspondiente al operador (5.46) no es necesariamente integrable en el sentido de Liouville. Por otro lado, como mostraremos más adelante (ver Lema 5.4), la acción S1 en general no preserva el lento soporte de Poisson {,} 1. La acción S1 asociada con el flujo periódico XH(0) es hamiltoniana con respecto al corchete de Poisson rápido {,} 0,.
Como consecuencia del Lema 5.8, derivamos la siguiente información sobre el sistema hamiltoniano original. Utilizando los toros de Liouville del sistema hamiltoniano integrable (5.71), definimos la siguiente familia de 2 parámetros de toros lagrangianos. Considerando que el generador infinitesimal Υ (5.70) es un campo vectorial hamiltoniano de J con respecto a la estructura simbólica <ω >, concluimos que la acción a lo largo de ˜γ2 es justamente J,.
El supuesto de compacidad (ii) significa que, para un valor fijo de J, el nivel establecido de. Considerando que la transformación Tε es un simplectomorfismo, concluimos que la regla de cuantificación sobre el toro Λc(ε) está escrita en la forma. En el caso analítico, la demostración se basa en el Lema 4.9 y el siguiente resultado algebraico.
