Postulados de la Mecánica Cuántica

(1)

Introducci´ on: Funciones

Una función puede definirse como una regla que permite obtener un único número dado un conjunto inicial odominiode existencia de la funciónf :A−→B,a−→f(a), dondeA es el dominio de la funciónf, su primer conjunto o conjunto de partida; yBes el codominiodef, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Porf(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrarioadel dominioA, es decir, el (único) objeto deBque le corresponde.

producto internode dos funciones: (f,g) =<f|g>=R f^∗g dτ No esconmutativo:<f|g>=R

f^∗g dτ= R fg^∗dτ∗

=<g|f >^∗ NormaNde una funci´on: <f|f >=N, por tanto, ^√^f

N ser´a una funci´onnormalizada.

Productos internos con constantes, otras dos propiedades interesantes son (dondeaes una constante, en general, compleja): <af|g>=R

a^∗f^∗gdτ=a^∗R

f^∗gdτ=a^∗<f|g>,

<f|ag>=R

f^∗agdτ=aR

f^∗gdτ=a<f|g>

funcionesortogonales:<f|g >= 0, hay varios m´etodos para ortogonalizar funciones, Gram-Schmidt, Householder, Givens, L¨owdin,...

Conjuntoortonormalde funciones: <fi|f_j>=δij, dondeδijes la funci´on delta de Kronecker;δij= 0 sii6=j,δij= 1 sii=j

Conjunto completode funciones:{f_i}_i=1,...,n, tal que cualquier funci´on de las mismas variables y dominio de existencia puede ser combinaci´on lineal de ellas: g=Pn

i cifi, los coeficientesci se obtienen mediante

<fi|g>=<fi|c₁f1+c2f2+...+cnfn>=Pn

jcj<fi|f_j>=Pn jcjδij=ci

Prof. M. Paniagua (Qu´ımica F´ısica III) Lecci´on 6 Grado en Qu´ımica 2019–2020 1 / 6

(2)

Introducci´ on: Operadores I

Losoperadoresson unos entes matemáticos que resumen una o varias operaciones que se van a realizar sobre cierta función a la que se aplican, y que, en general, están asociados a variables dinámicas. Ejemplos de operadores son las derivadas: c^d

dx, c^∂

∂x, d∂²

∂x²

Sumade operadores: (bA+Bb)f =Afb +Bfb

Productode operadores:Pb=Ab·Bbtal quePfb =Ab·Bfb =bA(Bfb ) =Agb =h, este producto, en general,NOes conmutativo, por ejemplo: bxc^d

dx(f) =bx f⁰=xf⁰mientras que:

c^d

dxbx(f) =c^d

dx(x·f) =f +xf⁰

Conmutadorde dos operadores se define como: [bA,B] =b bABb−BbbA, que ser´a cero si ambos operadores conmutan. Usando el ejemplo anterior tenemos:

[bx,cd dx]f =bxcd

dxf−cd

dxbx f =xf⁰−(f+xf⁰) =−f, luego: [bx,cd dx] =−1 Operadornulo:Ob·f = 0

Operadorunidad:bI·f =f Operadorinverso:bA·Ab⁻¹=bI Operadorlineal:

A(fb +g) =Afb +Agb A(cb ·f) =c·Afb

(3)

Introducci´ on: Operadores II

Funciones propias y valores propios:bA·f =a·f, entonces se dice quef es funci´on propia (o autofunci´on) del operadorbAyaes su valor propio (o

autovalor). Por ejemplo: supongamos la funci´onf = senkx,Db=c^d

dx yDb²=dd²

dx², entonces:

Dfb =_dx^dsenkx=kcoskx, Db²f = ^d²

dx²senkx=−k²senkx=−k²·f luego, la funci´on senkxes autofunci´on del operador derivada segunda con autovalor−k² Productointerno:<f|bAf >=R

f^∗bAf dτ

Operadoradjunto:<f|bA^†f >=<f|bAf >^∗, una propiedad de estos operadores es:

<f|bA^†g>=<Afb |g>=<g|bAf >^∗, tambi´en otras propiedades son:

(bA+B)b ^†=Ab^†+Bb^† y (bA·B)b ^†=Bb^†·Ab^†

Operadoresherm´ıticosoautoadjuntos:Ab=Ab^†tienen la importante propiedad de que sus autovalores sonn´umeros reales. Esto es f´acilmente demostrable

<f|bAf >=<f|af >=a<f|f >

<f|bA^†f >=<Afb |f >=<af|f >=a^∗<f|f >

<f|bAf >=<f|bA^†f >=⇒a=a^∗=⇒aes un n´umero real Algunaspropiedades importantes de los operadores herm´ıticosson:

siAfba=afaybAfb=bfbentonces las dos funcionesfayfbson ortogonales

seanbAyBb herm´ıticos yfayfbson funciones propias debAcon valores propiosayb distintos entre si, y si ambos operadores conmutan entonces<fa|bBfb>= 0 seanbAyBb herm´ıticos y su conmutador nulo, entonces ambos tienen un conjunto completo de funciones propias comunes

(4)

Postulados I

Postulado I

El estado de un sistema viene descrito por una función de las coordenadas de posición y de esp´ın de las part´ıculas que forman el sistema y del tiempo. Dicha función recibe el nombre defunción de estadoofunción de onda, y debe cumplir ciertos requisitos: ser uniforme y continua, sus derivadas primeras deben ser continuas (salvo en los posibles puntos en que el potencial se haga infinito), y la función debe ser de cuadrado integrable (esta condición sólo es exigible en sistemas ligados).

Postulado II

A cada observable del sistema se asocia un operador lineal y herm´ıtico definido en el espacio de las funciones aceptables.

Postulado III

La medida de un observable cualquiera en un sistema s´olo puede dar como resultado uno de los autovaloresadel operador correspondiente a dicho observableA:b

AΨ =b aΨ

(5)

Postulados II

Postulado IV

Si el sistema se encuentra en un estado definido por una función de onda, Ψ, que no es autofunción de un operador, Â, asociado a un observable,a, una medida del observableadará como resultado un autovalor de Â, pero no se puede predecir cuál de todos los posibles será. No obstante, si se hacen repetidas mediciones de ese observable, la media de los valores obtenidos vendrá dada por:

a≡<Ab>=

RΨ^∗AΨdτb

RΨ^∗Ψdτ =<Ψ|A|Ψb >

<Ψ|Ψ>

donde las integrales se extienden a todo el espacio de definici´on de Ψ.

Postulado V

La evoluci´on de un sistema viene dada por la ecuaci´on:

HΨ =b i~∂Ψ

∂t

Esta es la llamada ecuaci´on de Schr¨odinger dependiente del tiempo.

(6)

Postulados III

Postulado VI

El operador mecano-cuántico asociado a una magnitud fisica se obtiene expresando la ecuación clásica correspondiente en términos de las variables de posición y momento y sustituyendo estas variables por los correspondientes operadores, de acuerdo a las siguientes reglas:

Posici´on:x −→ bx −→ x·

Momento:px −→ pbx −→ −i~ ∂

∂x

Postulado VII

La función de onda correspondiente a un sistema de fermiones idénticos (esp´ın semientero) debe ser antisimétrica respecto al intercambio de las coordenadas de dos de ellos(Principio de Exclusión de Pauli). Para un sistema de bosones idénticos (esp´ın entero), debe ser simétrica respecto de dicho intercambio.