Matem´atica Discreta
Segundo curso, Grado en Matem´aticas, UAM Curso 2011-2012
Solucionario (breve) del examen ordinario, 19 de enero de 2012
1. a) Elegimos primero los 30 del dominio, luego los 20 de la imagen, para finalmente establecer una aplicaci´onsobreyectiva de aquellos 30 en estos 20. Respuesta:
100 30
50 20
20!S(30,20).
b) Decidir si los n´umeros{1, . . . , n}van aA, aB, aC o a ninguno de ellos. Respuesta: 4n. c) De los 2nv´ertices, la mitad, 2n−1, son pares, y la otra mitad impares. Los pares est´an unidos todos entre s´ı, y de igual manera los impares. As´ı que en total hay
2· 2n−1
2
aristas.
2. a) Recordando la f´ormula de Cayley, y aplicando la regla del producto, 5·86.
b) xf(x) 1−x
c) f(x) = 1 1−2x+ 3x2
1−x+ x2 3−x
3. a)an=an−1+an−3 paran≥4.
b) La longitud m´axima esn; la m´ınima depende del resto denm´odulo 3:
ksin= 3k, k+ 1 sin= 3k+ 1 y k+ 2 sin= 3 + 2.
c)b120=F61 dondeFn denota un n´umero de Fibonacci.
4. a) Solo hay que observar que x4 = 10 (donde x4 denota cu´antas bolas van en la urna 4).
Y, por tanto, 20 bolas en las tres primeras y otras 20 en las tres ´ultimas. Respuesta:22
2
2 . b) Clasificar en funci´on del n´umero de bolas (j) que van en la urna 1:
5 j=0
(20−j+ 1)(15 +j+ 1).
5. a) pC8(4), b) pC16(4), c) (4·3)12.
