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S OBRE EL H IPERESPACIO

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Academic year: 2023

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Siempre le estaré agradecido por toda la ayuda, todo el apoyo, que me brindó durante la maestría y en el trabajo de tesis. Florencio Corona Vázquez por la revisión de este trabajo de tesis y por su valioso aporte en la corrección del mismo, además por brindarme siempre su confianza y amistad. Hugo Villanueva quien fue mi profesor en la maestría, por su confianza y apoyo que me brindó y por su amistad.

También me gustaría agradecer a mis amigos Alexander López y Claudia López por la confianza y ayuda que me han brindado.

Homotopía

Decimos que A es una contracción de deformación de X si hay una contracción de deformación de X alrededor de A. Decimos que A es una contracción de deformación fuerte de X si hay una contracción de deformación fuerte de X alrededor de A. La banda de Moebius y S1 tienen homotopía del mismo tipo, ya que S1 es atraído por la deformación de la cinta de Moebius; pero no son homeomorfos, como se ve en la Figura 1.2.

Tenga en cuenta que {x} es un retroceso de deformación fuerte cuando X se puede deformar hasta un punto que lo mantiene fijo durante la transformación.

Figura 1.1: Homotopía.
Figura 1.1: Homotopía.

Espacios CW

Tenemos que ClX(en) y f r(en) son compactos y F:Dn−→ClX(en) es una función cociente. Sn es CW -espacio complejo; como sabemos que S es un espacio filtrado por celdas Z ={e0,en}, la función característica, F :Dn−→Sn, es el punto Dna de identificación de frontera, aquí está el punto e0. Tenemos que X0 es un espacio complejo CW si y solo si X0⊂X es cerrado en X. y por lo tanto X0=∪e∈Z0 es cerrado por uno, debido a la propiedad W), tenemos que X0 es cerrado en X .

Un par CW es un par (X,A) donde X es un espacio CW y A es un subespacio CW de X.

Propiedades de homotopía de espacios CW

Si (X,A) es un par CW, entonces X× {0} ∪A×I es una tensión-atracción de X×I y, por lo tanto, (X,A) tiene la propiedad de extensión homotópica. Si (X,A) es un par CW y A es contractiva, entonces la función cociente q:X−→X/A es una equivalencia homotópica. El espacio adyacente de X con Y adyacente a lo largo de f es el espacio de coeficientes de X∪Y que identifica los puntos de a∈A con sus imágenes f(a)∈Y.

Si (X,A) es un par CW y f :A−→B es una equivalencia homotópica, entonces g:X −→XSfB es una equivalencia homotópica.

Grupo fundamental y cubrientes

Se dice que π1(Rn,x0) es un grupo trivial (consiste solo del neutro) porque si f es un bucle en Rn basado en x0, entonces la homotopía de línea (el caso anterior de homotopía) es la homotopía de camino entre f y la trayectoria constante x0. Si f :X −→Y es una equivalencia homotópica, entonces el homomorfismo inducido f∗:π1(X,x0)−→π1(Y,y0) es un isomorfismo para todo x0∈X. La existencia de ascensores cuando p es una función de cobertura es una herramienta importante en el estudio de la cobertura de espacios y grupos fundamentales.

Entonces b p◦Fb es una homotopía de caminos en B entre f y g, entonces [f] = [g]; con esto φ es biyectiva.

Figura 1.6: Homotopía de caminos en R 2 . Proposición 1.4.3. La relación
Figura 1.6: Homotopía de caminos en R 2 . Proposición 1.4.3. La relación ' c es una relación de equivalencia.

Homología

Los elementos de Ker∂p se denominan p-ciclos y los denotamos por Zp(X) =Ker∂p, que es un subgrupo de ∆p(X). Los elementos de Im∂p+1 se denominan p-límite y se denotan por Bp(X) = Im∂p+1, este es un subgrupo de ∆p(X). Por lo tanto, para cualquier espacio X, H0(X) es la suma directa de Z0s, uno para cada componente de X conectado por arco.

Para cualquier espacio topológico X tenemos que H0(X) es isomorfo al grupo abeliano libre basado en los componentes conectados por arco. Como resultado de la invariancia homotópica de la homología y de las propiedades funtoriales tenemos lo siguiente. Más precisamente, si f :X −→Y es una equivalencia homotópica, entonces Hp(f):Hp(X)−→Hp(Y) es un isomorfismo.

Un par de espacios es un par ordenado de espacios topológicos (X,A) tal que A⊂X es un subespacio. De esto tenemos una secuencia exacta de morfismos de complejos de cuerdas, es decir, tenemos. Se dice que dos funciones de pares espaciales f,g:(X,A)−→(Y,B) son homotópicas con respecto al par si existe H :X×I−→Y una homotopía de f a g tal que H (a, t)∈B para todo a∈A y todo t∈I.

Dado Z⊂A⊂X subespacio de X tal que el cierre de Z está contenido en el interior de A, entonces tenemos inclusión. En particular, si X tiene dimensión finita, entonces requiere Hp(X) = 0 para p>dim(X). ), para definir un concepto de orden exacto largo de un triplete de espacios (X,A,B), donde B⊂ A⊂X son subespacios.

Figura 1.9: Frontera de un simplejo.
Figura 1.9: Frontera de un simplejo.

Orientación en variedades

Está claro que Rn es una n-variedad topológica y que cada hueco no vacío de Rnes también es una n-variedad. Se puede demostrar que todo hueco no vacío de una variedad topológica es una variedad topológica de la misma dimensión. Por lo tanto, S es una n-variedad topológica. e) Veamos que, RPn, el espacio proyectivo real de dimensión n es una variedad topológica de dimensión n.

Como M es una no variedad, se sigue que existe V ⊂M cerrada en M que es homeomorfa a una lan-ball cerrada, Dn, en Rn, tal que x0∈int(V)con(V, x0)homeomorfa a (Dn,0). Decimos que un conjuntoUb⊂M es abierto si pb α(Ub∩Bα)⊂M) es abierto en M, para toda α∈Hn(B,∂B)clase fundamental y para toda n-bola B. Por la definición de topología, queremos ver que pα0(Bα∩B0 . α0) está abierto en M, para todas las clases fundamentales α0 de Hn(B0,∂B0) y B0⊂M n-ball.

Sea x∈U, es decir, x∈intB∩intB0, existe un eje que contiene an-ballB00 en su interior tal que B00⊂intB∩intB0. La condición αy =αy0 es entonces independiente de y∈intB00, y dado que para y=x ya tenemos αx=αx0, se sigue que αy=αy0 para todo y∈intB00, es decir intB00⊂U. Como B⊂M tenemos que intB es conexo, es decir, s(intB)⊂Bα para alguna clase fundamental α (Bα es una de las 2 hojas ya que Bα∩B−α = /0), esto significa que hay una clase fundamental clase α ∈Hn(B,∂B)tal que(x) = (x,αx)para todo x∈intB, es decir,o(x) =αxfor.

Si Mes es orientable, existe una orientación o, y por el teorema anterior existe:M→Mb una sección de p:Mb→M. Para una n-variedad M conectada por arco, se sigue que si π1(M) no contiene subgrupos de índice 2, entonces M es orientable.

Algunas palabras sobre la conjetura de Poincaré

Como A es cerrado, tenemos que A=A, donde A denota el cierre de A en X, por lo que basta ver que b∈A, es decir para todo δ > 0 tenemos que Bδ(b)∩ A6=/0. Tenemos entonces una función continua cuya imagen es un triángulo T como en el ejemplo anterior. De ello se deduce que existe un subconjunto cerrado R de Fn(S1) que es homeomorfo a Dn−1 tal que Fn(S1)\R es homeomorfo al cono abierto co(ΣDn−2) sobre ΣDn−2.

Tenemos que F3(S1)\r3(∆3(1/2)) es homeomorfo a R3, y F3(S1) es una compresión de R3 cuyo resto es homeomorfo al tonto D2. Es entonces cuando hay un ajuste de la n-esfera Sn en Fn(S1) si y sólo si n=1.3.

El hiperespacio producto simétrico de un continuo 55

Hiperespacios

En esta sección estudiaremos algún hiperespacio de un continuo y algunas de sus propiedades; que, dotado de una métrica, resulta ser un continuo. Un hiperespacio de un continuo X es una colección de subconjuntos de X que satisfacen una determinada propiedad. BXd(ε,p) se llama esfera de radio ε con centro en p y NdX(ε,A) se llama nube de radio ε con centro en A.

Dado que B⊂X es cerrado y X es compacto, Bes es compacto, por lo que Bes está acotado, por lo que existe x∈X y δ >0 tal que B⊆Bδ(x). Entonces A=B. e) Antes de probar la desigualdad del triángulo, primero probaremos el siguiente hecho. Para entender un poco más sobre el hiperespacio 2X con la métrica de Hausdorff, veamos una de sus propiedades.

Productos simétricos

  • Algunos ejemplos de productos simétricos

Por tanto, tenemos que f|T es una función biyectiva y continua que va de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff, lo que implica que f|T es un homeomorfismo. Ahora el teorema de Perelman-Poincaré (Teorema 1.7.2) nos dice que la única 3-variedad compacta y conexa con el mismo tipo de homotopía que S3 es S3; por lo tanto lo tenemos F3(S1).

Figura 3.1: Gorro de Bufón
Figura 3.1: Gorro de Bufón

Sobre el hiperespacio producto simétrico del círculo 69

Una compactación de un espacio topológico X es un espacio topológico compacto Y tal que X⊂Y y X=Y, es decir X es denso en Y; Llamamos Y\X al resto de X. Aquí podemos identificar conoc(∆n0,1(t)) con el cono geométrico de ∆n0,1(t) con vértice 0(t) y así escribir. Por el Lema del exceso (la propiedad universal del cociente) sólo hay una función continua.

Ahora damos una prueba alternativa del teorema de Bott, basada en el teorema de Perelman-Poincaré (Teorema 1.7.2). En cierto sentido, tal prueba es alternativa y moderna, ya que en los años cincuenta la conjetura de Poincaré aún no había sido demostrada hasta recientemente en 2006. Estudiar el tipo de homotopía y la orientabilidad de la variedad ha sido muy importante para conocer las propiedades de Fn (S1), con esto hemos visto, por ejemplo, que F2n(S1) no es una 2n-variedad cerrada.

No daremos la demostración del teorema anterior, ya que se requieren construcciones más complejas; el lector interesado puede consultar [7, Teorema 6.4]. La demostración del teorema anterior requiere técnicas de cohomología, por lo que no damos la demostración, pero el lector interesado puede consultar [7, teorema 7.1]. Por el contrario, si n6=1,3, el teorema anterior nos dice que para todo intrón≥4, SnenFn(S1) no se puede embeber.

Para lograr los objetivos principales de esta tesis ha sido muy importante haber revisado las herramientas de la topología algebraica, por ejemplo el grupo fundamental, la orientabilidad y la homología, entre otras, ya que muestra la relevancia de este campo de estudio. Matemáticas dentro de la teoría de los continuos y el hiperespacio. Hemos conseguido conocer las propiedades de Fn(S1) de forma general, es decir, conocemos sus tipos de homotopía y cuando es una variedad o no; aunque no se han encontrado explícitamente sus modelos geométricos para cadan≥4. Sabiendo que F3(S1) es una 3-variedad y que es del mismo tipo de homotopía que S3 nos ha permitido proporcionar una demostración alternativa y moderna del teorema de Bott a través del teorema de Perelman-Poincaré.

Nos hemos centrado principalmente en Fn(S1), pero ciertamente el tema de los productos simétricos, en general, el de los hiperespacios de un continuo es muy amplio en el campo de la teoría de continuos e hiperespacios. Topología a través de las edades: variedades de baja dimensión BOLETÍN (nueva serie) DE LA SOCIEDAD MATEMÁTICA AMERICANA Volumen 52, número 4, octubre.

Figura 3.10: La Banda de Moebius M
Figura 3.10: La Banda de Moebius M

Figure

Figura 1.1: Homotopía.
Figura 1.3: Peine.
Figura 1.2: Tipo de homotopía de la banda de Moebius.
Figura 1.6: Homotopía de caminos en R 2 . Proposición 1.4.3. La relación ' c es una relación de equivalencia.
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Referencias

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