En este capítulo se analizan los aspectos fundamentales de los sistemas hiperbólicos de leyes de conservación. En vista de la pérdida de unicidad en las soluciones débiles, la sección 2.6 introduce un concepto fundamental en la teoría de las leyes de conservación, que es el par de entropía.
Leyes de conservaci´on y leyes de balance
Aplicando el teorema de la divergencia, para cada componente 1≤k≤n del vector en (2.1) se cumple. 2.3) Un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de la forma (2.3) se conoce como sistema de leyes de equilibrio.
Ejemplos
- Ecuaciones de Euler para un fluido compresible
- Modelo de tr´afico
- Ecuaciones de agua poco profunda
- Materiales hiperel´asticos
- Termoelasticidad adiab´atica unidimensional
- El sistema p
- Ecuaciones de Maxwell
- Magnetohidrodin´amica (MHD)
- Electroforesis
Por supuesto, el sistema (2.12) está escrito en forma conservadora, donde las variables de estado y son la función de flujo. Esta ecuación representa la regulación de la ley de conservación de segundo orden.
Convecci´on nolineal
También podemos suponer que la velocidad es función de la posición, es decir, considere la ecuación. Observación 2.7. La ecuación de Burgers no viscosa (2.34) se puede escribir (cuando la solución es clásica) como una ley de conservación de la forma.
Soluciones d´ebiles y condiciones de Rankine-Hugoniot
- Definici´on de soluci´on d´ebil
- Condiciones de salto de Rankine-Hugoniot
- No unicidad de soluciones d´ebiles
- Condiciones de entrop´ıa
Por supuesto, la solución (2.53) para la ecuación invisible de Burgers satisface la condición de Ole˘ınik, ya que,. La consecuencia más importante de imponer la condición de entropía es la unicidad de la solución débil del problema de Cauchy en la clase de soluciones de entropía.
Hiperbolicidad y simetrizabilidad
- Sistemas hiperb´olicos
- Ejemplos de sistemas hiperb´olicos
- Existencia local
- Sistemas simetrizables
El sistema de ecuaciones de Euler para un fluido compresible en una dimensión (2.10) también es un sistema hiperbólico si se cumplen ciertas hipótesis sobre la función de estado del fluidop=p(ρˆ,e). Dado que W satisface la condición de Legendre-Hadamard, los valores propios de N (ξ, U) son todos reales y estrictamente positivos, por lo que.
Entrop´ıa y flujo de entrop´ıa
Definici´on de funci´on de entrop´ıa
También hay una clase general de ecuaciones donde siempre hay una solución a (2.85) y, por tanto, tenemos una función de entropía: sistemas simétricos (ver Lema 2.40 a continuación). Observación 2.38 El lector puede preguntarse: ¿cuál es la relación entre las “condiciones de entropía” de las ecuaciones escalares que se definieron en la Sección 2.4.4 con el concepto?
Entrop´ıa e hiperbolicidad
Si existe una función de entropía E:Ω →R de clase C2 y estrictamente convexa, entonces el sistema es simetrizable. Observación 2.42 Obsérvese que la existencia de una función de entropía estrictamente convexa E implica que el sistema es simetrizable y, por tanto, hiperbólico. Si E es una función de entropía estrictamente convexa, la matriz de Hesse D2E actúa como simetrizador del sistema según el teorema 2.41.
Aproximaci´on viscosa
La ecuaci´on de Burgers y la transformaci´on de Hopf-Cole
La ecuación no lineal con difusión más simple conocida es la ecuación de Burgers. Al definir w=w(x,t) =exp(−U(x,t)/2ε), esta es una solución positiva de la ecuación del calor, que el lector puede verificar fácilmente. Consideremos ahora el problema de Cauchy para la ecuación de Burgers (2.97) con la condición inicial u(x,0) =u0(x)conocida.
La clase de Kawashima-Shizuta
Por lo tanto, observamos que si se viola la condición de acoplamiento real (hipótesis 3) para un propiovectorl(u∗,N) dado, el sistema (2.107) permite soluciones del tipo de onda viajera hiperbólica que no están debilitadas por la difusión, ya que la derecha- El lado derecho es entonces cero (independiente de la función ϕ). Si incluso en el nivel lineal los tensores de viscosidad no pueden disipar las ondas del sistema hiperbólico, no podemos esperar que el sistema no lineal sea efectivamente disipativo. Vale la pena señalar que el sistema Navier-Stokes para el caso compresible, así como otros sistemas de origen físico (magnetohidrodinámica con viscosidad o sistemas con relajación) pertenecen a la clase Kawashima-Shizuta (ver las referencias allí enumeradas).
El l´ımite de aproximaci´on viscosa
Resuelva la ecuación anterior separando variables y encuentre una función de entropía estrictamente convexa y el flujo de entropía asociado para el sistema (2.17). Finalmente, se demuestra que la condición de entropía generalizada garantiza la unicidad de la solución al problema de Cauchy en el conjunto de soluciones débiles de clase C1 por pieza. La sección 3.5 contiene el resultado de existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy para una función de flujo general.
Existencia local de soluciones cl´asicas
Para comprobar si se construye una solución de clase C1, consideramos que la función G(x,¯t,¯y):=. Como u es una solución de clase C1 de la ecuación, tenemos queut+ a(u)ux=0, lo que implica, después de derivar con respecto a x, que El fenómeno de ruptura de la solución en un tiempo finito está excluido para ecuaciones no lineales, ya que T∗<+∞ significa que α0(x) =a0(u0(x))u00(x)<0.
Condiciones de entrop´ıa
Soluci´on entr´opica
Dado que la función de entropía no es necesariamente diferenciable, podemos considerar el siguiente par de entropía en particular. Entonces para cada α >0 existe una función convexa Eα, con flujo de entropía asociado Ψα:[a,b] →R, tal que. La forma de Ψα resulta de resolver (3.12) para cada función de entropía Eα (ver ejercicio 3.2).
Condici´on de entrop´ıa generalizada
Dado que la solución clásica está fuera de Σ, con la desigualdad (3.11), por convergencia uniforme y usando el teorema de la divergencia en ORyOL, obtenemos Entonces u es una solución débil y entrópica de (3.1) y (3.2) si y sólo si u es una solución clásica fuera de Σ que satisface la desigualdad (3.20) sobre cada Σj para todo k∈ Ω. Sustituyendo el par de Kruˇzk en la desigualdad de entropía (3.18), obtenemos la desigualdad (3.20).
Consecuencias de la condici´on de entrop´ıa generalizada
De esta forma, obtenemos la condición de entropía de Lax-Ole˘ınik (3.29) para allum med uRyuL. Si (x,t) es un punto de discontinuidad de u, entonces el salto debe ser negativo según la condición de Lax. En este caso, yk(t) denota la curva de discontinuidad que satisface la condición de entropía.
Soluci´on entr´opica para f convexa: la f´ormula de Lax-Hopf
El teorema de Lax
Observación 3.19. La desigualdad (3.36) es una condición más general que la desigualdad de entropía de Ole˘ınik, ya que esta última se deriva de (3.36). La fórmula explícita (3.37) fue expresada por primera vez en el caso especial del flujo de Burgers por E. Observación 3.21 La fórmula explícita de Lax-Hopf es posible gracias a que cuando la función de flujo es convexa, todas las características se originan desde un punto en el eje. reales cuando t=0.
Demostraci´on del teorema de Lax
Esto muestra que la solución de Lax (3.50) satisface la condición (3.36) y, por tanto, es una solución de entropía. La solución es absolutamente continua (x,t)∈R×[0,1), como el lector puede verificar fácilmente, y la condición inicial se satisface trivialmente. El teorema de Lax (Teorema 3.18) garantiza la existencia y unicidad de la solución entropía para este problema.
El problema de Riemann
Soluciones autosimilares
También observamos que por definición de onda N tenemos la relación de decaimiento. La ecuación (3.34) se reduce en este caso a una ecuación ordinaria; seaξ :=x/t, de modo que la ley de conservación. Definición 3.34 Una onda de rarefacción centrada en (x0,t0), cont0≥0, es una solución autosemejante de la forma.
El caso estrictamente convexo
Observación 3.37. El caso en el que la función de flujo es estrictamente cóncava se resuelve de forma similar. Gracias al teorema anterior sabemos que cuando la función es estrictamente convexa (o estrictamente cóncava), la solución al problema de Riemann es una onda de choque o una onda de rarefacción. En el caso general donde f tiene cambios de convexidad, la solución puede incluir ambos tipos de soluciones.
El caso general
Es decir, la solución al problema de Riemann en el caso (ii) consiste en una onda de rarefacción "montada" en una onda de choque. 3La unicidad es una consecuencia de la unicidad de la solución entrópica en la clase de soluciones por partes C1 (proposición 3.16). La unicidad es consecuencia de la unicidad de la solución entrópica de clase.
![Figura 3.12 Gr´afica de la funci´on f = 1 3 u 3 − u y de su envolvente convexa h (en rojo) en un intervalo arbitrario [u L ,u R ] que incluye a u = 0.](https://thumb-us.123doks.com/thumbv2/123dok_es/12428604.0/139.918.426.746.118.418/figura-afica-funci-envolvente-convexa-intervalo-arbitrario-incluye.webp)
Teor´ıa de Kruˇzkov-Ole˘ınik
El problema viscoso
El siguiente teorema garantiza que para cada ε>0 existe una solución suave al problema viscoso (3.115) que satisface el principio de máximo (3.116) uniformemente en ε>0. Sean uε y u¯ε para todoε>0 las soluciones del problema viscoso de Cauchy (3.115) con condición inicial u0 y u¯0 respectivamente.
El teorema de Kruˇzkov: unicidad
Simétricamente, para (x,t)∈R×(0,+∞)fix, sustituimos la constante k=u(x,t)∈[a,b] en la definición de solución de entropía para ¯u, para adquirir . Ejemplo 3.50. En este ejemplo, veamos nuevamente la ecuación de Burgers (3.72), ahora con una condición inicial. Claramente, esta discontinuidad es admisible ya que satisface la condición de entropía de Lax.
Sistemas de leyes de conservaci´on en una dimensi´on
Hiperbolicidad e hiperbolicidad estricta
De esta forma, es posible derivar una expresión explícita y única para la solución del problema de Cauchy. La interpretación de la solución (4.10) es la siguiente: la discontinuidad inicial (4.7) se divide en continuidades que se propagan con diferentes velocidades características λj∈R. Por lo tanto, la solución es constante por partes con discontinuidades que coinciden con las curvas características asociadas con el sistema.
Nolinealidad genuina y degeneraci´on lineal
Como vimos en la Sección 2.5.2, los valores propios de la matriz de Jacobi asociados con el sistema (2.24) son Estudiaremos los campos característicos de la matriz de Jacobi asociada al sistema (2.70) para determinar las condiciones bajo las cuales son verdaderamente no lineales o linealmente degenerados. De esta forma, a partir de la primera ley, podemos definir la ecuación de estado del gas en términos de ρ y des y la función ˇp, de modo que.
Normalizaciones
Aplicaremos el teorema de la función implícita al mapa de clase C1,G:Rn×R×Ω → Rn+1, definido por. Por lo tanto, según el teorema de la función implícita, existe una vecindad Odeu0 tal que es posible encontrar funciones λp:O → R,rp:O → Rn×1, de clase Cm, que satisfagan las conclusiones del teorema. Si la característica p-campo, con1≤p≤n, es verdaderamente no lineal, entonces es posible seleccionar los vectores propios derechos{rj(u)}nj=1e e izquierdo{lj(u)}nj=1, de clase Cm , como eso.
Ondas de rarefacci´on e invariantes de Riemann
Existencia local de ondas de rarefacci´on
Entonces, dado un estado uL∈Ω, existe una curva de estados Rp(uL)inΩ que puede conectarse desde la derecha a uL mediante una onda de enrarecimiento p, es decir, para allu˜∈Rp(uL) ,λp ( u) ˜ ≥λp(uL)y existe una función v∈C1([λp(uL),λp(u)];˜ Rn)que satisface el sistema (4.30) con condiciones. Para todoξ0∈R, según el teorema de Picard existe una solución única a la ecuación. Para estudiar el caso en el que el campo característico no es verdaderamente no lineal, es necesario introducir el concepto de invariantes de Riemann.
Invariantes de Riemann
Definición 4.16 Se dice que el sistema de leyes de conservación (4.1) está equipado con un sistema completo de invariantes (globales) de Riemann enΩ ⊂Rn si existen funciones escalaresw1. A continuación demostramos la existencia local de (n−1) invariantes de Riemann cuyos gradientes son linealmente independientes. El lema 4.20 garantiza la existencia local de un invariante de 1-Riemann y un invariante de 2-Riemann.
Ondas simples
La idea central es interpretar la ecuación (4.56) como una ley de conservación escalar una vez resuelto el sistema (4.55). Ejemplo 4.30 (Ondas simples para campos verdaderamente no lineales). Si el campo es verdaderamente no lineal, podemos considerar la normalización (4.24), de modo que. Ejemplo 4.31 (Ondas simples para campos linealmente degenerados). Si el campo es linealmente degenerado, entonces no es posible encontrar p-ondas simples centradas en (x0,t0) ya que no hay solución para la ecuación del sistema (4.29) que implica no . , en ese caso, una contradicción).
Ondas de choque y discontinuidades de contacto
- El conjunto de Hugoniot
- Curvas de choque
- Discontinuidades de contacto
- Ejemplos
Definición 4.32 Dado un estado constante u0∈Ω, el conjunto Hugoniot u0 es el conjunto de estados su∈Ω tales que existe σ(u0,u)∈R que satisface. 4.61) Denotaremos el conjunto Hugoniot deu0 como H(u0)⊆Ω. Si el campo característico p es verdaderamente no lineal (o convexo), entonces podemos usar la normalización (4.24) de modo que Dλp(u0)·rp(u0) =1 y la velocidad de conexión de los elementos sea deSp(u0)es. Por otro lado, la velocidad característica en el estado Ψp(ε)(para ε∼0), gracias al desarrollo (4.62), se puede escribir como.
Condiciones de entrop´ıa
La condici´on de entrop´ıa de Lax y el teorema de representaci´on
El teorema de Lax
Según el teorema de la función inversa, existe una vecindad O⊂ΩdeuL tal que, para alluR∈O, la ecuación (4.76) tiene una solución única.
El problema de Riemann para el sistema p Ejercicios
Demuestre que el campo característico p de (4.1), con 1≤p≤n, es verdaderamente no lineal (respectivamente linealmente degenerado) si y sólo si el campo característico p del sistema (4.81) es verdaderamente no lineal (respectivamente lineal) degenerado ). Demuestre que el nuevo sistema para las variables (u,v)>∈Rn×Res es hiperbólico con exactamente las mismas velocidades características que el sistema original, pero con el múltiplo de λp(u) aumentado en uno.
