2.7. Aproximaci´on viscosa
2.7.1. La ecuaci´on de Burgers y la transformaci´on de Hopf-Cole
La ecuaci´on nolineal con difusi´on m´as simple que se conoce es la ecuaci´on de Burgers
ut+uux=εuxx, (2.97)
dondeε>0 es constante, la cual se obtiene agregando un t´ermino lineal de difusi´on a la ecuaci´on de transporte nolineal. En virtud de que las soluciones son regulares (ver la teor´ıa de regularidad parab´olica de Friedman [72]), (2.97) es equivalente a la ecuaci´on
ut+ 12u2
x=εuxx,
que es la regularizaci´on con viscosidad artificial (laplaciano) de la ley de conservaci´on (2.51) (ecuaci´on de Burgers no viscosa). La ecuaci´on (2.97) es tambi´en una versi´on simplificada del modelo para un fluido viscoso. Como en el caso de la ecuaci´on del calor, el coeficiente de difusi´onε>0 debe ser positivo para que el problema de valores iniciales est´e bien planteado.
Las soluciones m´as simples a la ecuaci´on (2.97) tienen forma de onda viajera u(x,t) = v(x−st), dondes∈Res la velocidad de propagaci´on. Denotamos a la variable galileana comoξ =x−st, con0=d/dξ. Sustituyendo en (2.97) obtenemos la ecuaci´on diferencial
−sv0+vv0=εv00. Integrando enξ obtenemos
k−sv+12v2=εv0, (2.98)
dondekes una constante de integraci´on. Dado que estamos interesados en soluciones acota- das, ´estas deben aproximarse cuandoξ → ±∞a las ra´ıcesvdel polinomio del lado izquierdo de la ecuaci´on (2.98). Para que dichas ra´ıces sean reales se requiere ques2>2k. Suponiendo que esto se cumple, escribimos la ecuaci´on como
2εv0= (v−uL)(v−uR), (2.99)
dondeuL=s+√
s2−2k>uR=s−√
s2−2k. Por lo tanto, buscamos soluciones acotadas de (2.99) con l´ımites asint´oticosv(ξ)→uR,uLcuandoξ → ±∞. Podemos suponer, por ende, queuR<v<uL. Es importante hacer notar que la velocidad de la onda viajera es el promedio de los l´ımites asint´oticos,
s=12(uR+uL),
la cual coincide con la velocidad determinada por las condiciones de Rankine-Hugoniot de la soluci´on d´ebil discontinua a la ecuaci´on de Burgers no viscosa (ver expresi´on (2.59)), dada por la onda de choque:
u(x,˜ t) =
(uL, x<st,
uR, x>st, (2.100)
cons=12(uL+uR). Por lo tanto, la onda “viscosa”, soluci´on de la ecuaci´on de Burgers, viaja con la misma velocidad de propagaci´on que la onda de choque (discontinua) de la ley de conservaci´on (ecuaci´on de Burgers no viscosa).
Integrando la ecuaci´on (2.99) obtenemos 2ε
uL−uRlnul−v v−uR
=ξ−α,
conα ∈Runa constante de integraci´on que representa una traslaci´on de la onda viajera (u(x,t) =v(x−st+α)tambi´en es soluci´on para cualquierα∈R). Resolviendo paravobte- nemos
v(ξ) =uR+ uL−uR 1+exp
(uL−uR)ξ 2ε
=uR+1
2(uL−uR)
1−tanh(uL−uR)ξ 2ε
,
que representa el perfil de la onda con l´ımitesv(ξ)→uLsiξ→ −∞, yv(ξ)→uRsiξ→+∞.
El resultado es una soluci´on de tipo onda viajera con forma expl´ıcita u(x,t) =uR+1
2(uL−uR)
1−tanh(uL−uR)(x−st) 2ε
, (2.101)
mon´otona decreciente en la variableξ =x−st, que viaja a la derecha con velocidad s=
1
2(uR+uL), y que conecta a los estadosuLconuRde izquierda a derecha.
En la figura2.10se muestran los distintos perfiles dev(ξ) =u(x−st), tomandouR=0, uL =1, para diferentes valores del coeficiente de difusi´onε=1,0,5,0,25,0,05. Notamos que cuandoε→0+, la onda viajera tiende a la onda de choque no viscosa (2.100). A las soluciones (2.101) para cadaε>0 se les conoce comoperfiles viscosos de la onda de choque (2.100).
La ecuaci´on de Burgers (2.97) est´a dotada de una propiedad muy notable, a saber, la exis- tencia de una transformaci´on nolineal que la convierte en la ecuaci´on del calor con difusi´on ε>0. (Es decir, es una transformaci´on que convierte una ecuaci´on nolineal en una ecuaci´on lineal.) Descubierta independientemente por Hopf [94] y Cole [37] dicha transformaci´on se conoce comola transformaci´on de Hopf-Cole, en su honor, y tiene la forma
u=−2εwx
w. (2.102)
En efecto, es posible demostrar quew=w(x,t)satisface la ecuaci´on del calor
wt=εwxx. (2.103)
De esta forma tenemos el siguiente lema cuya demostraci´on se deja al lector como ejercicio (ejercicio2.11).
Lema 2.45.Si w=w(x,t)>0 es una soluci´on positiva de la ecuaci´on del calor (2.103) entonces la funci´on u=u(x,t), definida por la transformaci´on de Hopf-Cole(2.102), es so- luci´on de la ecuaci´on de Burgers(2.97).
El enunciado inverso del lema tambi´en es cierto, es decir, cada soluci´on de la ecuaci´on de Burgers proviene de una soluci´on positiva de la ecuaci´on del calor. Para confirmar esto, sea
U(x,t) =˜ Z x
0
u(y,t)dy,
dondeu=u(x,t)es soluci´on de la ecuaci´on de Burgers. Integrando esta ´ultima obtenemos
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x−st u
ǫ=1 ǫ=0.5 ǫ=0.25 ǫ=0.05
Figura 2.10 Perfil de las soluciones de tipo onda viajera de la ecuaci´on de Burgers, para diferentes valores del coeficiente de difusi´onε>0. Los estados asint´oticos sonuL=1 yuR=0, por la izquierda y por la derecha, respectivamente. El eje de las abcisas corresponde a la variable galileanaξ=x−st mientras que el eje de las ordenadas representa al perfilu=u(x−st)determinado por la ecuaci´on (2.101). Se observa que cuandoε→0+el perfil se aproxima a la onda de choque (no viscosa) ˜u=u(x,t), dada por la ecuaci´on˜ (2.100), conuR=0,uL=1 ys=12.
U˜t+12U˜x2=εU˜xx+c(t),
dondec(t)es una constante de integraci´on que depende det. Definimos ahora U(x,t) =U(x,t˜ )−
Z t
0c(τ)dτ.
De este modo nos deshacemos de la constante de integraci´on, ya queUx=uyUsatisface la ecuaci´on
Ut=εUxx−12Ux2.
As´ı, definiendow=w(x,t) =exp(−U(x,t)/2ε), ´esta es una soluci´on positiva de la ecuaci´on del calor, como el lector puede verificar f´acilmente.
Consideremos ahora el problema de Cauchy para la ecuaci´on de Burgers (2.97) con condi- ci´on inicialu(x,0) =u0(x)conocida. Gracias a la transformac´on de Hopf-Cole, este problema se reduce a resolver la ecuaci´on de calor (2.103) con condici´on inicial
w(x,0) =w0(x) =exp
− 1 2ε
Z x 0
u0(y)dy
. (2.104)
Por el principio del m´aximo para la ecuaci´on del calor, la soluci´onw=w(x,t)es positiva para todot>0 ya que la condici´on inicial es positiva. La soluci´on est´a determinada por el
n´ucleo del calor mediante la f´ormula w(x,t) = 1
√4π εt Z +∞
−∞
e−(x−y)2/(4εt)w0(y)dy.
Aplicando nuevamente la transformaci´on de Hopf-Cole obtenemos la soluci´on al problema de Cauchy para (2.97) con condici´on inicialu(x,0) =u0(x):
u(x,t) = Z +∞
−∞
x−y t
exp G(x,t,y) dy Z +∞
−∞
exp G(x,t,y) dy
, (2.105)
donde
G(x,t,y) =−1 2ε
Z y 0
u0(ζ)dζ−(x−y)2 4εt .
Para ilustrar la relaci´on entre las soluciones de tipo onda viajera y la soluci´on general al problema de Cauchy, consideremos como condici´on inicial
u(x,0) =
(uL, x<0, uR, x>0, conuL>uR. En este caso tenemos que
G(x,t,y) =−(x−y)2
4εt −
−uLy
2ε , y<0,
−uRy
2ε, y>0.
La soluci´on puede escribirse de la siguiente forma (ejercicio2.12):
u(x,t) =uR+ uL−uR 1+h(x,t)exp
(uL−uR)(x−st) 2ε
, (2.106)
dondes=12(uR+uL), y
h(x,t) = Z +∞
−(x−uRt)/√ 4εt
e−θ2dθ Z +∞
(x−uLt)/√ 4εt
e−θ2dθ .
Parax/tfijo, conuR<x/t<uL,h(x,t)→1 sit→+∞, por lo que la soluci´on al problema de Cauchy con condici´on inicial de salto tiende a la onda viajera (2.101) que conecta a ambos estados con la misma velocidad de propagaci´on.