Invariantes de Riemann

Definici´on 4.13.Una funci´on escalar suave (al menos de claseC¹)w:N ⊂Ω→R, definida en una vecindadN deΩ se denomina un p-invariante de Riemann local, con 1≤p≤n, si satisface

Dw(u)·r_p(u) =0, (4.36)

para todou∈N.

Observaci´on 4.14.(a) Unp-invariante de Riemannwes constante sobre una curvav:R→ Rⁿsi y s´olo si

d

dξw(v(ξ)) =Dw(v(ξ))·v⁰(ξ) =0,

lo cual se cumple si en particularves una curva integral del campor_p, es decir, siv⁰(ξ) = r_p(v(ξ)). Esto implica que unap-invariante de Riemann es constante a lo largo de las trayec- torias del campo vectorialr_p.

(b) Si el p-campo caracter´ıstico es linealmente degenerado, entonces la funci´onw(u) = λp(u)es unp-invariante de Riemann global.

Una propiedad inmediata pero ´util de los invariantes de Riemann es la siguiente.

Lema 4.15.Sobre una p-onda de rarefacci´on, con1≤p≤n, todo p-invariante de Riemann es constante.

Demostraci´on. La conclusi´on es consecuencia inmediata de la observaci´on4.14(a) y el he- cho de que toda curva de rarefacci´on es una curva integral del campor_ppor construcci´on

(teorema4.12). ut

Definici´on 4.16.Se dice que el sistema de leyes de conservaci´on (4.1) est´a dotado de un sistema completo de invariantes de Riemann (globales) enΩ ⊂Rⁿsi existen nfunciones escalaresw₁, . . . ,w_nenΩ tales que para todo par 1≤i,j≤n, coni6=j,w_jes uni-invariante de Riemann enΩ.

Como consecuencia inmediata de esta definici´on tenemos el siguiente

Corolario 4.17.Las funciones w_j:Ω →R, con j=1, . . . ,n forman un sistema completo de invariantes de Riemann si y s´olo si

Dwi(u)rj(u)

(=0, sii6=j,

6

=0, sii=j, (4.37)

es decir, si y s´olo si para todo 1≤i≤n, Dw_i(u) es un vector propio izquierdo l_i(u) de A(u) con velocidad caracter´ıstica λ_i(u). (Equivalentemente, el hiperplano tangente a la superficie de nivel de w_i en cualquier punto u∈Ω est´a generado por los vectores r1(u), . . . ,ri−1(u),r_i+1(u), . . . ,rn(u).)

Observaci´on 4.18.Es posible demostrar (ver el ejercicio4.7) que todo sistema de dos leyes de conservaci´on est´a dotado con un sistema completo de invariantes de Riemann. Por otro lado, sin≥3 entonces el sistema de ecuaciones (4.37) est´a, por lo general, sobredetermi- nado. Sin embargo, existen excepciones. Cuando un sistema den≥3 leyes de conservaci´on tiene una base completa de invariantes de Riemann se dice que el sistema esrico o semi- Hamiltoniano.

A continuaci´on vamos a demostrar la existencia local de(n−1)invariantes de Riemann cuyos gradientes son linealmente independientes. Primero necesitamos la siguiente

Definici´on 4.19.Una hipersuperficie deRⁿ,S ={u∈Rⁿ :ψ(u) =0}dondeψ :Rⁿ→R es diferenciable, se denominap-caracter´ısticasi

Dψ(u)·rp(u) =0, (4.38)

para todau∈S, es decir, sirpes tangente aS. Lema 4.20.Supongamos que el hiperplano

S ={u∈Rⁿ:u_n=0}

no es p-caracter´ıstico. Entonces existe un cambio suave de coordenadas, invertible, u= Θ(v), definido en una vecindad deS, tal que la condici´on(4.36)es equivalente a

∂z

∂v_n =0, (4.39)

donde z(v):=w(Θ(v))para todo p-invariante de Riemann. Mas a´un, las n−1funciones w_j(u):=z_j(Θ⁻¹(u)), j=1, . . . ,n−1, (4.40) donde z_j:=v_jpara cada j, son p-invariantes de Riemann cuyos gradientes son linealmente independientes.

Demostraci´on. Sea{eˆ_j}ⁿj=1la base can´onica deRⁿ. Para toda funci´onz:Rⁿ→Rdiferen- ciable

∂z

∂v_n=Dz(v)·eˆ_n.

Supiniendo que dicho mapeoΘ existe, definimosz:=w(Θ(v)), dondew:Rⁿ→Res una funci´on diferenciable, de manera que

∂z

∂vn

=Dz(v)·eˆ_n=Dw(Θ(v))DΘ(v)·eˆ_n=Dw(u)∂Θ

∂vn

.

Por lo tanto la condici´on (4.36) es equivalente a (4.39) si y s´olo si

∂Θ(v)

∂v_n =rp(Θ(v)). (4.41)

Para resolver (4.41) se prescribe la condici´on inicial

Θ(v_∗) =Θ(v1, . . . ,v_n−1,0) = (v1, . . . ,v_n−1,0) =:v_∗, (4.42) sobre cualquierv_∗∈S. Por el teorema de Picard, para cadav_∗∈S existe una ´unica soluci´on local a (4.41) con condici´on inicial (4.42), definida paravncerca devn=0, por ejemplo, para vn∈[−ε,ε], conε>0 suficientemente peque˜no. Por hip´otesis, el hiperplanoS no es p- caracter´ıstico, por lo que

∂Θ

∂v_n(v_∗) =r_p(Θ(v_∗)) =r_p(v_∗)∈/S,

es decir, la componentender_pes distinta de cero para todau∈Ω. Por otra parte,

∂Θ

∂v_j(v_∗) = ∂

∂v_j(v1, . . . ,vn−1,0) =eˆj6=0, donde ˆe_j∈S, para cada j6=n. De este modo, el jacobiano

DΘ(v_∗) = eˆ₁ ···eˆ_n−1 r_p(Θ(v_∗)) ,

(formado por las columnas ˆe_i, . . . ,eˆ_n−1,rp) es no singular. Por lo tanto, el mapeov7→Θ(v), definido en una vecindad dev_n=0, y por ende, paraven una vecindad deS, es inyectivo, sobre y diferenciable, con matriz jacobianaDΘ(v)invertible parav_n∼0. Por construcci´on las funcionesz_j(v):=v_j, j6=nresuelven (4.39), por lo que las correspondientes funciones w_j(u) =z_j(Θ⁻¹(u))sonp-invariantes de Riemann. Tomando una combinaci´on lineal de sus gradientes igual a cero, tenemos que

0=

n−1 j=1

∑

αjDw_j(u) =

n−1

∑

j=1

αj(DΘ⁻¹(u))^>eˆ_j=

n−1 j=1

∑

αjc˜_j(u),

donde ˜c_jdenota a la columna jdeDΘ⁻¹. Dado queDΘ⁻¹tiene rango m´aximo, esto implica queαj=0, para todoj=1, . . . ,n−1 y los gradientes son linealmente independientes.

u t Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 4.21.(El sistema p.) Consideremos el sistemap, v_t−u_x=0,

u_t+p(v)_x=0, (4.43)

dondep:R→Rsatisfacep⁰(v)<0,p⁰⁰(v)>0. Como hemos calculado en la secci´on2.5.2, los valores propios de la matriz jacobiana

A(v,u) =

0 −1 p⁰(v) 0

son

λ1=−p

−p⁰(v)<0<λ2=p p⁰(v), con vectores propios asociados

r1= 1

p−p⁰(v)

, r2=

1

−p

−p⁰(v)

.

El lema4.20garantiza la existencia local de un 1-invariante de Riemann, y un 2-invariante de Riemann. Para encontrar, por ejemplo, el invariante de Riemanw₁=w₁(v,u), calculamos

Dw₁·r₁=w_1v+p

−p⁰(v)w1u. (4.44)

Esta ecuaci´on es lineal y puede resolverse mediante el m´etodo de caracter´ısticas. Claramente, w1es constante a lo largo de curvas de la forma{(v,u(v)ˆ :v∈I}donde ˆu⁰(v) =p

−p⁰(v)e I⊂Res un intervalo. Si(u,v)es fijo, la curva caracter´ıstica que pasa por ese punto es

u(˜ˆ v) =u− Z v

˜ v

p−p⁰(y)dy, v˜∈I.

Dado quew1es constante sobre la caracter´ıstica tenemos que w₁(v,u) =w₁(˜v,u(ˆ v)) =˜ w₁(0,u(0)) =ˆ w₁

0,u− Z _v

0

p−p⁰(y)dy

=w⁰₁

u− Z _v

0

p−p⁰(y)dy ,

donde hemos supuesto que 0∈I y w⁰₁ es cualquier condici´on inicial de w₁. Escogiendo w⁰₁(u) =u, obtenemos

w₁(v,u) =u− Z v

0

p−p⁰(y)dy. (4.45)

En efecto,w1satisface (4.44) para todav∈Ry es un 1-invariante de Riemann.

An´alogamente, el 2-invariante de Riemann tiene la forma w₂(v,u) =u+

Z _v 0

p−p⁰(y)dy. (4.46)

Es importante se˜nalar que los invariantes de Riemann (4.45) y (4.46) est´an definidosglo- balmente, es decir, est´an definidos para todo valor(v,u)∈Ω, en contraste con el Lema4.20, que garantiza existencia local ´unicamente. Esto es posible ya que el sistemapes un sistema dedosleyes de conservaci´on (n=2). Invariantes globales de Riemann no existen en general sin>2.

Ejemplo 4.22.(Ecuaciones de Euler para un gas ideal.) La ecuaci´on de estado de un gas ideal es

p=p(ρ,ˆ e) = (γ−1)ρe, (4.47)

dondeγ>1 yρ,pyeson la densidad, presi´on y energ´ıa interna espec´ıfica del gas. Considere- mos el sistema cuasilineal equivalente (4.16) en t´erminos de las variables(ρ,v,s), dondevys son la velocidad y la entrop´ıa espec´ıfica, respectivamente. As´ı, existe una funci´onp=p(ρ,ˇ s) que satisface las condiciones (4.17) - (4.20). Probaremos que las funciones

w⁽¹⁾₁ (ρ,v,s) =s, w⁽¹⁾₂ (ρ,v,s) =v+ 2

γ−1c(ρ,s),

son invariantes de Riemann globales asociados al campo caracter´ıstico j=1. Aqu´ı la velo- cidad del sonidoc=c(ρ,s)>0 est´a definida porc²=pˇ_ρ. Recordando las expresiones para los vectores propios asociados (4.22) obtenemos

Dw⁽¹⁾₁ ·r1=



 0 0 1



·



 ρ

−c 0



≡0,

Dw⁽¹⁾₂ ·r₁=







2 γ−1c_ρ

1

2 γ−1c_s





·



 ρ

−c 0



= 2

γ−1ρc_ρ−c.

Sin embargo, dado que ˇp(ρ,s) = (γ−1)ρe(ρ,ˇ s) y que ˇe_ρ = p/ρ² (ver ejemplo 4.7), se cumple que

2ccρ=pˇρ ρ=(γ−1)

ρ pˇρ=(γ−1)c² ρ , y por lo tanto

Dw⁽¹⁾₂ ·r₁= 2

γ−1ρc_ρ−c≡0, para todo(ρ,s). As´ı, tenemos dos 1-invariantes de Riemann globales.

An´alogamente, es f´acil probar que las funciones

w⁽³⁾₁ (ρ,v,s) =s, w⁽³⁾₂ (ρ,v,s) =v− 2

γ−1c(ρ,s), son 3-invariantes de Riemann globales. Finalmente, sean

w⁽²⁾₁ (ρ,v,s) =v, w⁽²⁾₂ (ρ,v,s) =p(ρ,ˇ s).

Claramente tenemos que

Dw⁽²⁾₁ ·r₂=



 0 1 0



·



 ˇ p_s

0

−c²



=0,

Dw⁽²⁾₂ ·r₂=



 ˇ pρ

0 ˇ p_s



·



 ˇ p_s

0

−c²



=pˇ_s(pˇ_ρ−c²) =0, por lo que la presi´on y la velocidad son 2-invariantes de Riemann globales.

Ejemplo 4.23.(Ecuaciones de Euler en el caso barotr´opico.)Consideremos nuevamente las ecuaciones de Euler en el caso barotr´opico (2.79), en el que la presi´on no cambia con la energ´ıa interna. La presi´on est´a determinada por una funci´on de la densidad,p=p(ρ)que satisfacep⁰(ρ)>0. Los valores propios de la matriz asociada al sistema, dada por (2.81), son

λ₁=v−p

p⁰(ρ)<λ₂=v+p p⁰(ρ).

Denotamos ac(ρ) =p

p⁰(ρ)>0 como la velocidad del sonido, de modo queλ₁=v−c yλ₂=v+c. Los vectores propios asociados son

r1= 1

v−c

, y r2=

1 v+c

,

respectivamente. Verificaremos que las funciones w₁:=

Z ρ

1

c(τ)

τ dτ +v, y w₂:=

Z ρ

1

c(τ) τ dτ −v,

son 1- y 2-invariantes de Riemann, respectivamente. En efecto, dado que la matriz jacobiana (2.81) se calcul´o con respecto a las variables conservadas(u1,u2) = (ρ,ρv), debemos escribir las funcionesw1yw2en t´erminos deu, es decir,

w1= Z _u1

1

c(τ)

τ dτ +u2

u₁, w2= Z _u1

1

c(τ)

τ dτ −u2

u₁,

y calcular sus gradientes derivando con respecto a las variables conservadas. Por ejemplo, Dw₁(u) =

c(u₁) u1 −^u_u²²

1 1

u₁

!

=

c−v ρ 1 ρ

! ,

de modo que

Dw₁·r₁= 1

ρ(c−v+v−c) =0.

An´alogamenteDw2·r2=0. Notamos nuevamente quew1yw2son invariantes de Riemann globales definidos para todou= (ρ,ρv).

In document Sistemas Hiperb´olicos de Leyes de Conservaci´on (página 175-181)