son variables uniformes en [0 , 1] independientes.

Probabilidad II

Tercero de Matem´aticas UAM, curso 2007-2008 Examen final, 20-6-2008

1. (1 punto) Calcula la media de la variable aleatoria Z = m´ın( U

₁

, U

₂

) , donde U

₁

y U

₂

son variables uniformes en [0 , 1] independientes.

Soluci´on. • La funci´on de distribuci´on deZ viene dada por

FZ(z) =P(Z≤z) = 1−P(Z > z) = 1−P(m´ın(U1, U2)> z) = 1−P(U1> z, U2> z)

= 1−P(U1> z)P(U2> z) = 1−

1−P(U1≤z)₂

= 1− 1−z₂

= 2z−z² para 0≤z≤1. Derivando, obtenemos quefZ(z) = (2−2z)

1

{0≤z≤1}(z). As´ı que la media de Z es

E(Z) = _∞

−∞zfZ(z)dz= ₁

0 z(2−2z)dz= 1 3.

• Alternativamente, observamos que la funci´on de densidad con-

junta del par (U1, U2) viene dada por 6

- u1

u2

m´ın(u1, u2) =u1

m´ın(u1, u2) =u2

1

1 fU1,U2(u1, u2) =

1

(u1, u2),

donde representa el cuadrado unidad [0,1]×[0,1]. Mientras que la funci´onZ(u1, u2) = m´ın(u1, u2) valeu1 por encima de la diagonal, yu2 por debajo. As´ı que la media deZ es

E(Z) = _∞

−∞

_∞

−∞

m´ın(u1, u2)fU1,U2(u1, u2)du1du2

= ₁

0

₁

0

m´ın(u1, u2)du1du2= 2 ₁

0 u1

0 u2du2

du1= 2

₁

0

u²₁

2 du1=1 3.

2. (1 punto) Sean X

₁

e X

₂

dos variables aleatorias. Las dos tienen media 0 y sus desviaciones t´ıpicas son σ

1

y σ

2

, respectivamente. Considera ahora la variable aleatoria Z = X

1

+ bX

2

, donde b

∈R

. La correlaci´ on entre X

1

e X

2

es ρ . ¿Qu´ e valor de b hace que

V

( Z ) sea m´ınima?

Soluci´on. Obs´ervese queE(Z) = 0 para cualquierb. Por otro lado, V(Z) =E(Z²) =E

X₁²+b²X₂²+ 2bX1X2

=E(X₁²) +b²E(X₂²) + 2bE(X1X2)

=σ₁²+b²σ₂²+ 2b σ1σ2ρ ,

puesto que σ²₁ = V(X1) = E(X₁²), σ₂² = V(X2) = E(X₂²) y ρ = corr(X1, X2) = ^E(X_σ^1X2)

1σ2 . Ahora, derivando con respecto abe igualando a 0,

0 = 2b σ₂²+ 2σ1σ2ρ =⇒ b=−σ1

σ2ρ

(compru´ebese que la derivada segunda es positiva). Ese valor m´ınimo de la varianza es m´ınb

V(X1+b X2) =σ₁²(1−ρ)²,

una cantidad menor queσ²₁ siρ= 0 (´este es un ejemplo de la t´ecnica de “reducci´on de varianza”).

Nota: siσ2= 0, entonces la varianza deZ no depende deb.

3. (1,5 puntos) El resultado de un cierto experimento es una variable aleatoria que sigue una exponencial de par´ ametro λ = 2. Vamos a repetir (en condiciones exactamente iguales, y de manera independiente) el experimento N veces. Luego anotaremos los resultados obtenidos y calcularemos la

media aritm´etica. ¿A partir de qu´

e valor de N podr´ıamos asegurar que la media aritm´ etica obtenida est´ a entre 0,49 y 0,51 con probabilidad de, al menos, el 98 %?

Soluci´on. Llamemos Xj al resultado del experimento j-´esimo. Las Xj son variables i.i.d., todas con distribuci´on exponencial de par´ametro λ= 2 (tienen, pues, media 1/2 y varianza 1/4). Nos interesa la variable

ZN = 1 N

N j=1

Xj,

cuya media esE(ZN) = ¹₂ y cuya varianza (por la independencia) esV(ZN) = _4N¹ . Y queremos estimar a partir de qu´eN es cierto que

P(0,49≤ZN ≤0,51)≥98 %.

•Podemos, por ejemplo, utilizar la desigualdad de Chebyshev, puesto que

P(0,49≤ZN ≤0,51) =P(−0,01≤ZN−0,5≤0,01) = 1−P(|ZN −0,5|>0,01)

≥1−V(ZN)

(0,01)² = 1−2500 N .

Para que esta estimaci´on sea mayor que 0,98, necesitamosN ≥125000.

•Alternativamente, podemos apelar al teorema del l´ımite central y argumentar como sigue:

P(0,49≤ZN ≤0,51) =P(−0,01≤ZN−0,5≤0,01) =P

− 0,01 1/(2√

N) ≤ ZN −0,5 1/(2√

N) ≤ 0,01 1/(2√

N)

La variable de la ´ultima expresi´on (que es un promedio tipificado de variables i.i.d.) es, aproximadamente, una normalN(0,1), as´ı que

P(0,49≤ZN ≤0,51)≈P(−0,02√

N ≤ N(0,1)≤0,02√

N) = 1−2Φ(−0,02√

N) = 98 %. Buscamos entonces el valor deN para el que−0,02√

N = 1 % o, equivalentemente, el valor deN para el que

Φ(0,02√

N) = 99 %. Con ayuda de la tabla de valores de la normal, descubrimos que

0,02√

N ≈2,33 =⇒ N ≈13570, una estimaci´on m´as fina que la de Chebyshev.

• Aunque tambi´en podemos obtener una respuesta exacta recordando que la suma de N exponenciales i.i.d. (de par´ametroλ) es una Gamma de par´ametros (N, λ), cuya funci´on de densidad es

f(x) = 1

Γ(N)λ^Ne^−λxx^N−1, x≥0. As´ı que, en nuestro caso, conλ= 2, buscamosN para el que

0,98 =P(0,49≤ZN ≤0,51) =P(0,49N ≤Γ(N,2)≤0,51N) = _0,51N

0,49N

2^N

Γ(N)e^−2xx^N−1dx

= 2^N (N−1)!

_0,51N

0,49N e^−2xx^N−1dx .

Con ayuda de alg´un paquete de c´alculo (n´otese que los n´umeros involucrados son enormes), descubrimos que la respuesta es N = 13530. Obs´ervese cu´an buena es la aproximaci´on obtenida con el teorema del l´ımite central.

4. (2,5 puntos) (a) Sea ( U

n

) una sucesi´ on de variables aleatorias id´ enticamente distribuidas (uniformes en [0 , 1]), no necesariamente independientes. Sea Z

_n

= U

_nⁿ

. Comprueba que Z

_n−→^P

0 cuando n

→ ∞

.

Soluci´on. • Para cada 0< ε <1 fijo,

P(|Zn|> ε) =P(U_nⁿ> ε) =P(Un> ε^1/n) = 1−ε^{1/n n}−−−−→^→∞ 0, as´ı queZn −→P 0 cuandon→ ∞.

•Podemos argumentar tambi´en apelando a la desigualdad de Markov, que nos dice que

P((|Zn|> ε) =P(U_nⁿ> ε)≤E(|U_nⁿ|)

ε .

El c´alculo concluye observando que

E(|U_nⁿ|) =E(U_nⁿ) = ₁

0 uⁿdu= 1 n+ 1.

•O tambi´en v´ıa la desigualdad de Chebyshev:

P((|Zn|> ε) =P(U_nⁿ> ε)≤E(U_n²ⁿ) ε² = 1

ε² ₁

0 u²ⁿdu= 1 ε²

1 2n+ 1

−−−−→n→∞ 0.

(Nota: en este caso, utilizar la habitual desigualdad de Chebyshev paraP((|Z_n−E(Zn)| > ε), la que involucra la varianza, es bastante m´as aparatoso).

(b) Supongamos ahora que las U

n

son independientes. ¿Es cierto que Z

n−−→c.s.

0 cuando n

→ ∞

?

Soluci´on. LlamemosAn ={ω : (Un(ω))ⁿ > ε}. Ya hemos visto antes queP(An) = 1−ε^1/n. Los An

son, adem´as, independientes. Vamos a aplicar el segundo lema de Borel-Cantelli, y para ello comprobamos si la suma de lasP(An) diverge:

∞ n=1

P(An) = ∞ n=1

(1−ε^1/n). Pero

1−ε^1/n= 1−e^ln(ε)/n= 1− 1 + 1

nln(ε) +1 2

1

n²ln²(ε) +· · ·

= 1 nln

1 ε

+O 1

n²

, de manera que la serie anterior diverge y, por tanto, el segundo lema de Borel-Cantelli nos dice que

P(An i.v.) =P(Zn> ε i.v.) = 1. Lo que impide queZn −−→c.s. 0 cuandon→ ∞.

Nota: arriba hemos utilizado un argumento “a la Taylor”, pero tambi´en se puede comprobar, utilizando la regla de L’Hˆopital, que

n→∞l´ım

1−e^ln(ε)/n 1/n

L’Hˆopital= l´ım

n→∞

e^ln(ε)/nln(ε)/n²

−1/n² = ln 1

ε

n→∞l´ım e^ln(ε)/n

=1

= ln 1

ε

.

5. (1,5 puntos) Las variables Y

j

est´ an normalizadas (tienen todas media µ

j

= 0 y desviaci´ on t´ıpica σ

_j

= 1) y son independientes. ¿Es cierto que

Z

n

= 1 n

²

n

j=1

j Y

j −→P

0 ?

Soluci´on. Obs´ervese que E(Zn) = 0 (pues las variables Yj tienen todas media 0). Adem´as, por la independencia de lasYj,

V(Zn) = 1 n⁴

n j=1

V(jYj) = 1 n⁴

n j=1

j²V(Yj) = 1 n⁴

n j=1

j².

Pero, atenci´on,Zn noes un promedio de variablesid´enticas (cadajYj tiene una distribuci´on diferente).

Para completar el problema, basta aplicar la desigualdad de Chebyshev:

P(|Zn|> ε)≤ V(Zn) ε² = 1

ε² 1 n⁴

n j=1

j².

La suma de los primerosncuadrados es del orden den³. S´olo hay que observar, por ejemplo, que n

j=1

j²≤ⁿ

j=1

n²=n³

(la f´ormula exacta es_n

j=1j²=n(n+ 1)(2n+ 1)/6). As´ı que P(|Z_n|> ε) tiende a 0 cuandon→ ∞.

6. (1,5 puntos) Sean X

1

, X

2

, . . . variables aleatorias i.i.d. finitas, todas con media µ . Com- prueba que

X

₁

X

₂

+ X

₂

X

₃

+ X

₃

X

₄

+

· · ·

+ X

_2n

X

_2n+1

2 n

−−→c.s.

µ

²

.

Soluci´on. Las variablesXiXi+1 son id´enticas. Todas tienen media E(XiXi+1) =E(Xi)E(Xi+1) =µ², pues lasXj son independientes.

Pero las variablesXiXi+1 no son independientes. Por ejemplo, X1X2 no es independiente de X2X3. As´ı que no podemos apelar directamente a la ley fuerte de los grandes n´umeros. Ahora bien, las variables

An= X1X2+X3X4+X5X6+· · ·+X2n−1X2n

2n y Bn= X2X3+X4X5+X6X7+· · ·+X2nX2n+1

2n ,

cuya suma es la variable de partida, s´ı son promedios de variables i.i.d. Cada una de ellas tiene media µ²/2. La ley fuerte de los grandes n´umeros nos dice queAn yBn tienden casi seguro aµ²/2. Y su suma tiende casi seguro aµ².

7. (1 punto) Considera una sucesi´ on de variables aleatorias i.i.d. ( Y

j

), donde cada Y

j

toma el valor 2 con probabilidad 1 / 3 y el valor

−

1 con probabilidad 2 / 3. Considera ahora

S

_n

= a +

n

j=1

Y

_j

.

a) Comprueba que la sucesi´ on ( S

_n

) es martingala (con respecto a la filtraci´ on asociada a ( Y

_j

)).

Soluci´on. QueE(|Sn|)<+∞y que la sucesi´on (Sn) est´a adaptada a la filtraci´on (es decir, cada Sn

es una funci´on deY1, . . . , Yn) son casi evidentes.

S´olo queda comprobar, entonces, queE(Sn|F_n−1) =Sn−1 para cadan≥1. Pero es que E(Sn|F_n−1) =E(Sn−1+Yn|F_n−1) =E(Sn−1|F_n−1) +E(Yn|F_n−1) =Sn−1+E(Yn),

pues, respectivamente, Sn−1 es Fn−1-medible e Yn es independiente de Fn−1. Terminamos el c´alculo observando queE(Yn) = 2¹₃+ (−1)²₃ = 0.

b) Estamos en un juego en el que, en cada partida, se gana o se pierde la cantidad Y

j

. La fortuna inicial es 0 < a < N . La variable S

_n

anterior recoge la fortuna acumulada hasta la jugada n .

Vamos a jugar hasta este juego hasta que nos arruinemos;

o nuestra fortuna valga N ´ o N + 1;

o lleguemos a la partida M .

Comprueba que la probabilidad de tener ´ exito (llegar a la fortuna N ´ o N + 1) es menor o igual que a/N .

Sugerencia: argumenta sobre

S

T

(esto es, S

^{parada enT}

), el valor de la martingala en el momento en que paramos el juego.

Soluci´on. Obs´ervese queT (la decisi´on de cu´ando paramos) es un tiempo de parada acotado (porM).

Sabemos entonces queE(ST) =a. Pero obs´ervese que, en tiempoT,

o bienST =N ´oST =N+ 1;

o bienST = 0;

o bienT =M y no se ha tocado antes ni el nivel 0, ni los nivelesN ´oN + 1. El valor enT =M ser´a un n´umero entre 0 yN+ 1.

En cualquier caso, si tenemos ´exito,ST ≥N, y si no,ST ≥0. Por tanto, a=E(ST)≥NP(´exito) =⇒ P(´exito)≤ a

N . Con m´as detalle,

E(ST) =NP(ST =N) + (N+ 1)P(ST =N+ 1) + 0P(ST = 0) +

N−1 j=1

jP(ST =j, T=M).

As´ı que

a=NP(ST =N) + (N+ 1)P(ST =N+ 1) +

N−1

j=1

jP(ST =j, T =M)

≥NP(ST =N) + (N+ 1)P(ST =N+ 1)

≥N

P(ST =N) +P(ST =N+ 1)

, de dondeP(´exito)≤a/N.