Tema 5. Intervalos de confianza

Tema 5 - Introducci´ on

Tema 3. Estimaci´ on puntual

Tema 4. Estimadores de m´ axima verosimilitud

Generalizaci´ on

Tema 5. Intervalos de confianza

Definici´on.

Intervalos de confianza para medias y varianzas en poblaciones normales.

Intervalos de confianza en muestras grandes.

Determinaci´on del tama˜no muestral.

Distribuci´ on temporal del temario

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tema 1 T T T P

Tema 2 T T T P T T T P P

Tema 3 T T T P T T T P P

Tema 4 T T T P T T T P P

Tema 5 T T T P T T T P P

Tema 6 T T T P T T T P P

Tema 7 T T T P T T T P P

7 7 7 7 6 6 6 6 6 58

0 0 0 7 0 0 0 6 6 19

T denota una hora de clase de teor´ıa P denota una hora de clase pr´actica

Tema 5. Intervalos de confianza

Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes:

Definici´on e interpretaci´on frecuentista.

Intervalos de confianza para medias y varianzas en poblaciones normales:

casos de una y dos poblaciones.

Intervalos de confianza en muestras grandes.

Determinaci´on del tama˜no muestral.

Lecturas recomendadas: Secciones 8.1 a 8.10 del libro de Pe˜na (2005) y el cap´ıtulo 8 de Newbold (2001).

Estimador por intervalos de confianza

Definici´on 1. Sea XXX = (X₁, X₂, . . . , X_n) una muestra aleatoria de una poblaci´on X con funci´on de distribuci´on F_θθθ donde θθθ = (θ₁, θ₂, . . . , θ_k) es un vector de par´ametros. Un estimador por intervalos de confianza de θ_i al nivel de confianza 1 − α es una funci´on que a la muestra xxx = (x₁, x₂, . . . , x_n) le hace corresponder un intervalo (T₁(xxx), T₂(xxx)) =

T₁(x₁, x₂, . . . , x_n), T₂(x₁, x₂, . . . , x_n)

que satisface:

Pr{θ_i ∈ (T₁(XXX), T₂(XXX))} = 1 − α, para cada θ_i ∈ Θ_i.

Observaci´on 1: Notar que (T₁(XXX), T₂(XXX)) 6= (T₁(xxx), T₂(xxx)).

Observaci´on 2: Se dice (T₁(xxx), T₂(xxx)) es un intervalo de confianza de θ_i.

Ejemplo 1. Sea XXX = (X₁, X₂, . . . , X_n) una muestra aleatoria simple de una poblaci´on X ∼ N(µ, σ²) con σ² conocida. Hallar un estimador por intervalos de confianza para la media, µ.

Sabemos que X¯ ∼ N(µ, ^σ_n²).

Por tanto, ^X¯√^−µσ n

∼ N(0,1).

Entonces, Pr n

− z_α/2 < ^X¯√^−µσ n

< z_α/2o

= 1 − α.

I Un intervalo de confianza para µ es:

X¯ − z_α/2^√σ_n,X¯ + z_α/2^√σ_n .

I Otros intervalos son:

X¯ − z_α^√σ_n,+∞

y

−∞,X¯ + z_α^√σ_n

.

Cantidad pivotal

Definici´on 2. Sea XXX = (X₁, X₂, . . . , X_n) una muestra aleatoria de una poblaci´on X con funci´on de distribuci´on F_θθθ donde θθθ = (θ₁, θ₂, . . . , θ_k) es un vector de par´ametros. Una cantidad pivotal para θ_i es una funci´on C(X₁, X₂, . . . , X_n, θ_i) tal que su distribuci´on no depende de θ_i.

Ejemplo 1.

Sabemos que ^X¯√^−µσ n

∼ N(0,1).

Entonces, ^X¯√^−µσ n

es una cantidad pivotal para µ.

M´ etodo de la cantidad pivotal

Si tenemos una cantidad pivotal, para construir intervalos de confianza se puede utilizar el siguiente procedimiento:

1. Obtener la distribuci´on de la cantidad pivotal.

2. Obtener C₁ y C₂ tales que Pr {C₁ < C(X₁, X₂, . . . , X_n, θ_i) < C₂} = 1−α.

3. Despejar θ_i de las desigualdades C₁ < C(X₁, X₂, . . . , X_n, θ_i) < C₂, esto es, lograr T₁(X₁, X₂, . . . , X_n) < θ_i < T₂(X₁, X₂, . . . , X_n).

Finalmente, (T₁(x₁, x₂, . . . , x_n), T₂(x₁, x₂, . . . , x_n)) es un intervalo para θ_i.

Volvamos al Ejemplo 1

Ejemplo 2. Supongamos que los rendimientos de las acciones de la empresa SEGURA.SL siguen una distribuci´on normal de media µ euros y varianza σ² = 1.

Se toma una m.a.s. de 20 rendimientos y se tiene:

5,29 3,66 5,71 6,62 4,30 5,85 6,25 3,40 3,55 5,57 4,60 5,69 5,81 5,71 6,29 5,66 6,19 3,79 4,98 4,84

(a) Calcular un intervalo de confianza al 90 % para el rendimiento promedio de esta empresa.

¯

x = 1

20 (5,29 + 3,66 + · · · + 4,84) = 5,188,

¯

x − z_α/2 σ

√n,x¯ + z_α/2 σ

√n

= (5,188 − 1,645 × 1

√10, 5,188 + 1,645 × 1

√10)

= (4,6678, 5,7082) I ¿Pr(µ ∈ (4,6678, 5,7082))? ¿µ ∈ (4,6678, 5,7082) ?

Interpretaci´ on frecuentista del intervalo de confianza

Tema 5. Intervalos de confianza

Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes:

Definici´on e interpretaci´on frecuentista.

X

Intervalos de confianza para medias y varianzas en poblaciones normales:

casos de una y dos poblaciones.

Intervalos de confianza en muestras grandes.

Determinaci´on del tama˜no muestral.

Distribuciones asociadas a la distribuci´ on normal - χ χ χ

Definici´on 3. Sean X₁, X₂, . . . , X_n variables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas N(0,1). La distribuci´on χχχ²²² con n grados de libertad es la distribuci´on de la v.a. S =

n

P

i=1

X_i².

E[S] = n.

Var(S) = 2n.

χ²_α

α

Distribuciones asociadas a la distribuci´ on normal ttt de Student

Definici´on 4. Sean Y , X₁, X₂, . . . , X_n variables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas N(0,1). La distribuci´on ttt de Student con n grados de libertad es la distribuci´on de la v.a. T = Pn^Y

i=1 X_i².

E[T] = 0.

Var(T) = _n−2ⁿ .

− t_α ⁰ t_α

α α

Distribuciones asociadas a la distribuci´ on normal F F F de Fisher

Definici´on 5. Sean X₁, X₂, . . . , X_n e Y₁, Y₂, . . . , Y_m variables aleatorias in- dependientes e id´enticamente distribuidas N(0,1). La distribuci´on FFF_n,mn,mn,m de Fisher–Snedecor con n y m grados de libertad es la distribuci´on de la v.a.

F =

1 n

Pn

i=1 X_i²

1 m

Pm

i=1 Y_i².

E[F] = _m−2^m .

Var(F) = _n(m−2)^2m2(n+m−2)_2(m−4). 1/T ∼ F_m,n.

F_n,m,α = 1/F_m,n,1−α.

F_n,m,α

α

Cantidades pivotales en la distribuci´ on normal

Lema de Fisher: Sean X₁, X₂, . . . , X_n v.a. i.i.d. N(µ, σ²). Entonces:

(i) X¯ ∼ N(µ, ^σ_n²).

(ii) ⁽ⁿ⁻¹⁾_σ2 S² ∼ χ²_n−1.

(iii) X¯ y S² son independientes.

Corolario:

X¯−µ

√σ n

es una cantidad pivotal para µ. W Util si conocemos^´ σ². X¯−µ

√S n

es una cantidad pivotal para µ.

(n−1)

σ² S² es una cantidad pivotal para σ².

I.C. en la distribuci´ on normal

Intervalos de confianza de nivel 111 −−− ααα para µµµ:

(a) Con σ conocida:

I =

¯

x ∓ z_α/2 σ

√n

(b) Con σ desconocida:

I =

¯

x ∓ t_n−1;α/2 s

√n

Intervalo de confianza de nivel 111 −−− ααα para σσσ²²²: I =

"

(n − 1)s²

χ²_n−1;α/2 , (n − 1)s² χ²_{n−1;1−α/2}

#

Ejemplo 2. Supongamos que los rendimientos de las acciones de la empresa SEGURA.SL siguen una distribuci´on normal de media µ euros y varianza σ²,

ambas desconocidas .

(b) Calcular un intervalo de confianza al 90 % para el rendimiento promedio de esta empresa.

¯

x = 1

20 (5,29 + 3,66 + · · · + 4,84) = 5,188, s² = 1

19 (5,29 − 5,188)² + (3,66 − 5,188)² + · · · + (4,84 − 5,188)²

= 0,9929.

¯

x − t_n−1,α/2 s

√n,x¯ + t_n−1,α/2 s

√n

= (5,188 ∓ 1,729p

0,9929/10)

= (4,6432,5,7328)

I ¿Pr(µ ∈ (4,6432,5,7328))? ¿µ ∈ (4,6432,5,7328)?

Ejemplo 2.

(c) Calcular un intervalo de confianza al 90 % para la varianza del rendimiento.

s² = 1

19 (5,29 − 5,188)² + (3,66 − 5,188)² + · · · + (4,84 − 5,188)²

= 0,9929.

(n − 1)s²

χ²_n−1;α/2 , (n − 1)s² χ²_{n−1;1−α/2}

!

=

19 × 0,9929

30,14 , 19 × 0,9929 10,12

= (0,6259,1,8641)

I ¿Pr(σ² ∈ (0,6259,1,8641)? ¿σ² ∈ (0,6259,1,8641)? ¿1 ∈ (0,6259,1,8641)?

I.C. en muestras grandes - 1

Sean X₁, X₂, . . . , X_n variables aleatorias independientes siendo el tama˜no de muestra suficientemente grande (n > 30). Entonces la distribuci´on de X¯ es aproximadamente una N(µ, ^S_n²).

X¯−µ

√S n

es una cantidad pivotal para µ.

Intervalos de confianza de nivel 111 −−− ααα para µµµ (con n > 30):

I =

¯

x ∓ z_α/2 s

√n

Ejemplo 3. Aplicar el resultado anterior para obtener un intervalo de confianza de una proporci´on.

Ejemplo 4. Un partido pol´ıtico pretende conocer la intenci´on de voto de cara a las pr´oximas elecciones. Para ello encarga un sondeo sobre un total de 230 personas, de las que 69 contestan que le votar´ıan.

a) Hallar un intervalo de confianza al 90 % para la verdadera proporci´on poblacional, indicando las hip´otesis asumidas.

pb= ₂₃₀⁶⁹ = 0,3.

α = 0,1 ⇒ ^α₂ = 0,05 ⇒ z^α

2 = 1,645.

Hip´otesis asumidas: M.A.S de una Bernoulli(p), y n grande.

pb± z^α

2

q

p(1−b p)b

n = 0,3 ± 1,645 × 0,0302 = 0,3 ± 0,049679.

I Con lo que el intervalo resultante es (0,2503,0,3497).

b) Si el intervalo result´o ser (0,243,0,357), ¿cu´al fue el nivel de confianza elegido?

La longitud del intervalo = 0,357 − 0,243 = 0,114.

0,114 = 2z^α

2

q0,3×(1−0,3)

230 ⇒ z^α

2 = 1,8874

α

2 = 1 − 0,9706 ⇒ 1 − α = 0,9412.

I Se trata de un intervalo al 94,12 %.

Cantidades pivotales en dos poblaciones con distribuci´ on normal

Proposici´on 1: Sean X₁, X₂, . . . , X_n v.a. i.i.d. N(µ₁, σ₁²) e Y₁, Y₂, . . . , Y_m v.a. i.i.d. N(µ₂, σ₂²) e independientes entre si. Entonces:

(i) ^X¯−r^{Y¯−(µ1−µ2)}

σ2 n1+^σ

22 m

∼ N(0,1).

(ii) Si σ₁ = σ₂, ^X¯−q^{Y¯−(µ1−µ2)} S_p²(_n¹+_m¹ )

∼ t_n+m−2 donde S_p² = ^(n−1)S

2

1+(m−1)S₂² n+m−2 . (iii) Si σ₁ 6= σ₂, ^X¯−r^{Y¯−(µ1−µ2)}

S2 n1+^S

22 m

∼ t_f donde f es el entero m´as pr´oximo a

(s²₁/n₁+s²₂/n₂)²

(s2

1/n1)2 n1−1 +^(s

2

2/n2)2 n2−1

.

Cantidades pivotales en dos poblaciones con distribuci´ on normal

Corolario 1:

X¯−Y¯−(µ₁−µ₂) r

σ2 n1+^σ

22 m

es una cantidad pivotal. W Util si conocemos^´ σ₁ y σ₂.

X¯−Y¯−(µ₁−µ₂) q

S_p²

(

)

X¯−Y¯−(µ₁−µ₂) r

S2 n1+^S

22 m

es una cantidad pivotal para µ₁ − µ₂.

I.C. en dos poblaciones con distribuci´ on normal

Intervalos de confianza de nivel 111 −−− ααα para µµµ₁₁₁ −−− µµµ₂₂₂: (a) σ₁ y σ₂ conocidas:

I =

¯

x − y¯ ∓ z_α/2 q

σ₁²/n + σ₂²/m

.

(b) σ₁ y σ₂ desconocidas e iguales:

I = h

¯

x − y¯ ∓ t_{n1+n2−2;α/2} s_pp

1/n + 1/mi .

(c) σ₁ y σ₂ desconocidas y diferentes:

I =

¯

x − y¯ ∓ t_f;α/2 q

s²₁/n + s²₂/m

.

Proposici´on 1: (continuaci´on)

(iv)

S2 1 σ2 1 S2 2 σ2 2

∼ F_n−1,m−1.

Corolario 1: (continuaci´on)

S2 1 σ2 1 S2 2 σ2 2

es una cantidad pivotal para el cociente ^σ

2 1

σ²₂.

Intervalos de confianza de nivel 111 −−− ααα para σσσ₁²₁₁²²/σ/σ/σ₂²₂²₂²: I =

s²₁/s²₂

Fn−1,m−1;α/2

, s²₁

s²₂Fm−1,n−1;α/2

.

Ejemplo 5. Queremos ver mediante un intervalo de confianza si los pa´ıses emergentes tienen en media la misma inflaci´on que los pa´ıses desarrollados.

Para eso, tomamos la inflaci´on en 10 pa´ıses emergentes y en 10 pa´ıses desarrollados.

Desarrollados 3,99 4,07 3,70 1,79 5,30 3,47 2,39 3,33 4,14 3,11 Emergentes 4,73 5,01 5,07 4,66 4,49 4 4,33 5,14 3,15 3,46

a) Calcular un intervalo de confianza para el cociente de varianzas.

b) ¿Es posible calcular un I.C. para la diferencia de medias? ¿a qu´e conclusiones llegamos?

c) Comentar los supuestos que hay que hacer.

Ejemplo 5. a)

Comparison of Standard Deviations ---

Desarrollados Emergentes

--- Standard deviation 0.976632 0.680199

Variance 0.95381 0.462671

Df 9 9

Ratio of Variances = 2.06153 95.0% Confidence Intervals

Standard deviation of Desarrollados: [0.671762;1.78295]

Standard deviation of Emergentes: [0.467865;1.24178]

Ratio of Variances: [0.512055;8.2997]

Ejemplo 5. b)

Comparison of Means ---

95.0% confidence interval for mean of Desarrollados: [2.83036,4.22764]

95.0% confidence interval for mean of Emergentes: [3.91741,4.89059]

95.0% confidence interval for the difference between the means

assuming equal variances: -0.875 +/- 0.790708 [-1.66571,-0.0842918]

Comparison of Means ---

95.0% confidence interval for mean of Desarrollados: [2.83036,4.22764]

95.0% confidence interval for mean of Emergentes: [3.91741,4.89059]

95.0% confidence interval for the difference between the means

not assuming equal variances: -0.875 +/- 0.797578 [-1.67258,-0.0774224]

I.C. en muestras grandes - 2

Sean (X₁, X₂, . . . , X_n) e (Y₁, Y₂, . . . , Y_m) variables aleatorias i.i.d. e inde- pendientes entre si, siendo los tama˜nos de muestra suficientemente grandes (n, m > 30). Entonces la distribuci´on de X¯ − Y¯ es aproximadamente una N(µ₁ − µ₂, ^S

2 1

n + ^S

2 2

m).

X¯−Y¯−(µ₁−µ₂) S2

n1+^S

22 m

^1/2 es una cantidad pivotal para µ₁ − µ₂.

Intervalos de confianza de nivel 111 −−− ααα para µµµ (con n, m > 30):

I =

"

¯

x − y¯ ∓ z_α/2

rS₁²

n + S₂² m

#

Ejemplo 6. Aplicar el resultado anterior para obtener un intervalo de confi- anza para la diferencia de dos proporciones.

Ejemplo 7. En un sondeo de opini´on llevado a cabo en el a˜no 2002 con 1000 individuos en las ciudades de Murcia y Cartagena se encontr´o que el 55 % de ellos eran favorables a la construcci´on de un nuevo aeropuerto.

Dicho sondeo se repiti´o en el a˜no 2003 tras una intensa campa˜na publicitaria, encontr´andose esta vez un 60 % de individuos favorables a esta opci´on, entre 1500 encuestados. Se pide:

a) Construir un intervalo de confianza de nivel 95 % para la proporci´on p₁ de individuos favorables a la construcci´on del nuevo aeropuerto, de entre los encuestados en el a˜no 2002. ¿Podr´ıa afirmarse al nivel de significaci´on del 5 % que s´olo la mitad de los encuestados prefer´ıan un nuevo aeropuerto?

b) Planteando los supuestos necesarios, construir un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia p₂ − p₁ de las proporciones de individuos favorables en los a˜nos 2003 y 2002. ¿Podr´ıa afirmarse al nivel de significaci´on del 5 % que la campa˜na publicitaria en favor de la construcci´on del nuevo aeropuerto pudo tener efecto?

a) IC(p₁,95 %) = ˆp₁ ± 1,96

rpˆ₁(1 − pˆ₁)

n₁ = [0,5192, 0,5808]

Como dicho intervalo no contiene el valor p=0.5 no podemos afirmar al nivel de significaci´on del 5 % que s´olo la mitad de los encuestados eran favorables al nuevo aeropuerto.

b) Si suponemos que las muestras de encuestados en los a˜nos 2002 y 2003 son independientes, se tendr´a:

IC(p₂ − p₁,95 %) = ˆp₂ − pˆ₁ ± 1,96

rpˆ₁(1 − pˆ₁)

n₁ + pˆ₂(1 − pˆ₂)

n₂ =

= 0,6−0,55±1,96

r0,55(0,45)

1000 + 0,6(0,4)

1500 = 0,05±0,0396 = [0,0104,0,0896].

Como este intervalo s´olo contiene valores positivos, podemos afirmar al nivel de significaci´on del 5 % que la campa˜na publicitaria en favor del nuevo aeropuerto pudo tener efecto.

Tema 5. Intervalos de confianza

Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes:

Definici´on e interpretaci´on frecuentista.

X

Intervalos de confianza para medias y varianzas en poblaciones normales:

casos de una y dos poblaciones.

X

Intervalos de confianza en muestras grandes.

X

Determinaci´on del tama˜no muestral.

C´ alculo del tama˜ no muestral

Definici´on 6. El error de una estimaci´on por intervalos de confianza de nivel 1 − α es la semiamplitud del intervalo obtenido.

Ejemplo 8. Volviendo al Ejemplo 1, supongamos que Var(X) = 25, ¿cu´al debe ser el m´ınimo tama˜no muestral para que el error de estimaci´on no sea superior a 0.5 con nivel de confianza del 95 %?

Sabemos que la semiamplitud el intervalo es: z_α/2^√σ_n. Imponemos que z_α/2^√σ_n < 0,5.

Sustituyendo los valores: 1,96^√5_n < 0,5.

Por tanto, 384,16 ≤ n. W n_minimo = 385.

Ejemplo 9. Volviendo al Ejemplo 4

c) Si el partido quisiera un intervalo de confianza al 90 % cuya longitud no excediera de 0.15, ¿cu´al ser´ıa el tama˜no muestral necesario?

La longitud del intervalo = 2z^α

2

q

p(1−b p)b n .

El intervalo de confianza alcanzar´a su longitud m´axima cuando pb= ¹₂, de modo que calcularemos n para este caso que es el m´as desfavorable.

En ese caso, longitud = 2z^α

2

q 1 4n

1 − α = 0,9 ⇒ ^α₂ = 0,05 ⇒ z^α

2 = 1,645.

0,15 = 2 × 1,645

q 1

4n ⇒ √

n = ^1,645_0,15 = 10,967 ⇒ n = 10,967² = 120,28.

Por tanto se tomar´ıa n = 121.

Recapitulaci´ on

Tema 5. Intervalos de confianza

Definici´on e interpretaci´on frecuentista. W ¿Qu´e es un I.C.?

Intervalos de confianza para medias y varianzas en poblaciones normales.

Intervalos de confianza en muestras grandes.

W Ejemplos de inter´es pr´actico.

Determinaci´on del tama˜no muestral. W ¿Cuando y por qu´e?

Tema 5. Intervalos de confianza

Definici´on.

Ejemplos de intervalos de confianza.

Determinaci´on del tama˜no muestral.

¿Esta θ en el intervalo de confianza?

Tema 6. Contraste de hip´ otesis

Conceptos fundamentales.

Contrastes para la media y la varianza en poblaciones normales.

Contrastes con muestras grandes.

Relaci´on entre los intervalos de confianza y los contrastes de hip´otesis.

Determinaci´on del tama˜no muestral.