Tema 2. Introducci´ on a la teor´ ıa de la probabilidad

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SOLUCIONES DE LA RELACI ´ON DE PROBLEMAS MATEM ´ATICAS II

Curso 2022/2023

Escuela Técnica Superior de Ingenier´ıa Agronómica Departamento de Matemática Aplicada I

Tema 2. Introducci´ on a la teor´ ıa de la probabilidad

2.1. (a)A∪B∪C (b)A¯∩B¯∩C¯ (c)A∩B∩C (d)(A∩B∩C)¯ ∪(A∩B¯∩C)∪( ¯A∩B∩C) (e)(A∩B∩C)¯ ∪(A∩B¯∩C)∪( ¯A∩B∩C)∪(A∩B∩C) = (A∩B)∪(B∩C)∪(A∩C) 2.2. (a) A∪B = {1,2,3,5}, A∩B = {1,3}, A y B no son incompatibles (b) A¯ = {2,4},

A¯ ={1,3,5} = A (c) A∪B ={4}, ¯A∩B¯ ={2,4} ∩ {4,5} ={4} (d) A∩B ={2,4,5}, A¯∪B¯ ={2,4} ∪ {4,5}={2,4,5}

2.3. (a)Incompatibles(b) A y B compatibles, A y C incompatibles, B y C incompatibles.

2.4. Tiene 8 elementos. A={(M, M, H), (M, H, H), (H, M, H), (H, H, H)};

B ={(M, M, M),(M, M, H), (M, H, M), (M, H, H)};C={(H, M, H),(H, H, H)};

A∪B =“la primera cr´ıa es macho o la ´ultima es hembra”

={(M, M, H),(M, H, H), (H, M, H), (H, H, H), (M, M, M), (M, H, M)}; A∩B =“la primera cr´ıa es macho y la ´ultima es hembra”={(M M H), (M HH)}; A∩C=C, luego no son incompatibles, B∩C =∅, luego son incompatibles.

2.5. La probabilidad de sacar 7 es 1/6, independientemente de si el dado est´a trucado o no, por lo que no merece la pena hacer trampa. En cambio, la probabilidad de sacar 8 con un dado trucado es 1/6, mientras que si los dados son correctos es de 5/36, por lo que en este caso si merece la pena hacer trampa.

2.6. (a)1/9 (b) 2/9

2.7. (a)1/12 (b) 5/36 (c)7/36 (d)1/4 (e)11/36

2.8. P(1) = 0.117; P(2) = 0.302; P(3) = 0.038; P(4) = 0.234; P(5) = 0.196; P(6) = 0.113;P(par) = 0.649; P(menor que 6) = 0.887; P({1,2}) = 0.419

2.9. (a)P(A∪B) = 0.6 (b)P( ¯A∪B¯) = 0.9(c) P( ¯A∩B) = 0.4¯ 2.10. P(A∪B) = ²₃,P(A∩B) = ₁₅¹

2.11. P( ¯A∩B) =¯ P(A∪B) = 1−P(A∪B) = 3

10, de dondeP(A∪B) = 7

10. Por otra parte, P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)⇒ 7

10 = 2 5+1

5−P(A∩B)⇒P(A∩B) = −1 10 <0, por lo queP no puede ser probabilidad.

2.12. (a)0.6 (b)0.4 (c) 0.2 (d)200000 ´arboles.

2.13. (a)0.3 (b)0.2(c) 0.5(d)0.4

2.14. (a)0.65 (b)0.31 (c)0.19 (d)0.29(e) 0.06(f) No son independientes.

2.15. (a)2/3 (b) 1/3

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2 ^Matem´^{aticas II}

2.16. (a)0.5 (b)0.25 (c) 0.6(d) 0.375 (d) No son independientes.

2.17. (a)0.9 (b)0.1 (c) 0.83 (d) No son independientes.

2.18. (a)0.75 (b)0.2(c) 0.8(d) 0.35 (e) 0.2 (f)0.55 (g)0.5 2.19. 0.027

2.20. (a)Seap=P(A) yq =P(B), se tiene queP(A∩B) =pq. Adem´as,A= (A∩B)∪(A∩B¯) mutuamente excluyentes, luego P(A) =P(A∩B) +P(A∩B)¯ ⇒ P(A) = P(A)P(B) + P(A|B)P¯ ( ¯B)⇒p=pq+P(A|B)(1¯ −q) de dondeP(A|B¯) = ^p(1−q)_1−q =p. (b)P( ¯A∩B) =¯ P(A∪¯B) = 1−P(A∪B) = 1−[P(A)+P(B)−P(A∩B)] = 1−p−q−pq= (1−p)(1−q) = P( ¯A)P( ¯B).

2.21. (a) No son independientes (b) Son independientes (c) Son independientes (b) Son independientes.

2.22. (a)No (b)S´olo son independientes siP(B) = 0.

2.23. SiA, B 6=∅,P(A)P(B)6= 0. Si son incompatibles, P(A∩B) = 0, entonces P(A∩B) 6=

P(A)P(B) y por tanto no son independientes.

2.24. (a)0.3 (b)0.9 (c) 0.15 (d) 0.45 (e) 0.6 (f)0.75 2.25. 0.752

2.26. 0.15

2.27. (a)0.4 (b)0.3(c) 0.46(d) 0.56(e) 0.9(f)No 2.28. (a)Falsa (b) Falsa (c)Verdadera

2.29. 25 jud´ıas blancas y 75 pintas.

2.30. (a)0.1575 (b) 0.057 (c) 0.943 (d) 0.9988 2.31. (a)0.885 (b)0.288

2.32. (a)0.51 (b)0.20

2.33. (a)0.786 (b)La mezcla de piensos, 0.4682 (c)0.571 2.34. (a)75% (b)18%(c) 55%

2.35. (a)4% (b)0.22 (c) 61.54%