1. Si la divisi´ on

Edumate

Asesor´ıa de ´ Algebra:Divisi´ on de Polinomios Matem´ atica

Problemas para la clase

1. Si la divisi´ on

x ³ + ax ² + bx − 27 x − 3 es exacta. Calcular:

E =  a − b a + b

 3

− a ² + b ² 4a ² − b ²

a) -2 b) -4 c) -8

d) -6 e) -10

2. Si el residuo de dividir (x + 1) ⁵¹⁵ − 2x + 3  por (x ² + 2x + 2) es (mx + n). Obtener: m + n

a) 1 b) -1 c) 2

d) -2 e) -3

3. Si el resto de dividir

x ⁵⁵ − 5 ⁵⁵ x ⁵ − 5 ⁵

se iguala a 4m − 8, entonces el valor de m es:

a) 1 b) 3 c) 2

d) -2 e) 0

4. ¿Qu´e binomio de primer grado debe sustraerse de (x ⁷ + 9x + 1) ² para que la diferencia sea divisible por (x ² + 2)?

a) x + 1 b) x − 1 c) 2x + 1

d) 2x − 1 e) x − 2 5. Determine el resto de dividir:

2x ¹¹⁹ + 1 x ² − x + 1

a) x − 3 b) 4 − 2x c) 3 − 2x

d) 2x − 3 e) 3 − x

6. Si P (x) = 19x ⁴ + 19x ³ + ax ² − bx + c es divisible por Q _(x) = x(x − 1)(x + 1), se˜nale el valor de P (a+b+c) .

a) 0 b) 1 c) 2

d) -b e) 2a

7. Determine el valor de a + b si se sabe que al dividir A x = ax ³ + bx ² + 2x − 3 entre x + 1 el resto es -5 y al dividirlo entre x − 2 el residuo es 37.

a) 9 b) 3 c) 6

d) 5 e) 8

8. El resto de la divisi´ on de P (x) entre x ³ + x ² + x + 1 es x+ 2. Halle el resto de la divisi´ on de P (x) entre x ² + 1.

a) 2x + 1 b) x − 2 c) 2x

d) 3x e) x + 2

9. Al dividir un polinomio P _(x) ² entre (x − 2) el resto es 5 y al dividirlo entre (x − 3) el resto es 7. Calcule el resto de dividir P _(x) ² entre (x − 2)(x − 3)

a) 2x b) 2x − 1 c) 2x + 1

d) 6x + 1 e) 5x + 7

10. Determine un polinomio P (x) de tercer grado que sea divisible separadamente entre (x − 5) y (x − 3), sabiendo adem´ as que la suma de sus coeficientes es -8 y que el t´ermino independiente es -45.

a) 2x ³ − 19x ² + 54x − 45 b) 2x ³ − 2x + 1

c) x ³ − 2x − 45 d) 3x ³ − 7x + 1 e) 2x ³ − 7x ² + 4x − 45

11. Determine el t´ermino lineal de un polinomio P (x) de tercer grado, tal que al dividirlo por (x − 1)(x − 2) y por (x − 3) se obtenga el mismo resto -36; y que se anule para x = 4.

a) 66x b) 2x c) 54x

d) 16x e) 28x

12. Sea P (x) un polinomio de tercer grado cuyo coeficiente principal es 2, al dividirlo entre (x − 5) se obtiene co- mo resto 3. Luego al dividir P _(x) entre (x −7) tambi´en se obtiene el mismo resto 3. Calcule P (1) si al dividir P (x) entre (x − 4) el resto es 12.

a) 69 b) 72 c) -24

d) -72 e) -69

13. Si ψ (x) = √

2 − 1
x ⁶ − x ⁵ − x ² + √ 2x + √

2 determine ψ ₍₁₊ ^√ ₂₎

a) -4 b) -2 c) 3

d) 0 e) -1

14. Al dividir un polinomio P (x) por (x − 1 − √ 3) y (x − 1 + √

3) se obtiene como resto 1 y √

3 respectiva- mente. Si ambas divisiones tienen el mismo cociente, hallar el resto de dividir P _(x) por (x − 1).

a) 1 + √

3 b) √

3 c) 2 √

3 d) ¹⁺ ₂ ^{√ 3} e) 2 + √

3

15. Al dividir el polinomio P (x) por 6x ² + 18x el residuo es 2x + 1. Si se divide P (x) por −4x ² − 20x el residuo es 6x + 1, hallar el residuo de la divisi´ on P (x)

por −x ² − 8x − 15.

a) 10x + 33 b) 15x + 28 c) 13x + 30 d) 14x + 29 e) 12x + 31

Prof. Carlos Torres P´ ag.1

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Problemas propuestos

16. El polinomio P (x) = x ³ + bx ² + cx + d es divisible por x ² − 9, al dividir P ^(x) por x + 1 el resto es -8. Hallar el resto de dividir P (x) por x + 2.

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 6

17. Si P (x) = ax ⁴ + bx ² + c es divisible por M _(x) = (x ² − 1)(x − 1). Hallar el valor de ^4ac b

a) 1 b) 2 c) 4

d) 8 e) ¹ ₂

18. En la siguiente divisi´ on

3x ²ⁿ⁺⁴ + 2x ² + 2 x ² − 1

la suma de coeficientes del cociente es 125. Calcule el valor de n.

a) 60 b) 120 c) 37

d) 39 e) 8

19. Sea P (x) un polinomio de cuarto grado y m´onico, al dividir P (x) entre x − 4 el resto es 8 y al dividir P (x)

entre x − 3 el resto es 6. Adem´as, P (x) es divisible por x − 5 y por x − 6. Calcule P (8)

a) 216 b) 210 c) 240

d) 250 e) 214

20. Un polinomio P (x) de grado 16 al dividirlo en forma separada por (x + 1); (x − 2); (x − 3); . . . ; (x − 8) ofrece siempre el mismo resto 5, ¿cu´ al ser´a el resto de efec- tuar la siguiente divisi´ on?

P _(x)

(x − 1)(x − 2)(x − 3) . . . (x − 8)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

21. Un polinomio P (x) al ser dividido entre 2x + 3 admite como residuo 5 y un cociente que al ser dividido por 3x − 2 nos permite obtener como residuo 7, halle el resto luego de efectuar

P _(x) (2x + 3)(3x − 2) su residuo es ax + b calcule ab.

a) 2x + 15 b) 14x + 26 c) 7x + 24

d) 3x + 1 e) 34x + 2

22. Si la divisi´ on algebraica

x ⁶ + x + 1 (x − 1)(x − 2) deja resto R (x) = Ax + B, eval´ ue R ₍₋₁₎

a) 3 b) -125 c) -115

d) -3 e) -7

23. Calcule el resto de la siguiente divisi´ on:

x ^{n +2} + 3x ^{n +1} + 6x ⁿ + 9x ^{n −1} + . . . 3nx ² + (3n + 6)x + 3n x ² + x + 1

si la suma de coeficientes es 66.

a)15x + 19 b) 12x + 4 c) 7x + 2

d) 0 e) 15x + 14

24. Dado el polinomio P (x) de tercer grado, si P _(x) ÷ (x ² + x − 6)

deja resto R (x) = x + 1, halle el resto de P (x) ÷ (x − 2).

a) 3x − 1 b) 3 c) 3x + 1

d) 3x e) x − 1

25. Encuentre el valor num´erico del polinomio P (x) = ( √

3 + √

2)x ⁴ − x ³ + x ² + 2 √ 2x cuando x = √

3 − √ 2.

a) √ 10 + √

6 b) 1 c) -1

d) 5 √ 3 + 4 √

2 − 10 e) √ 3 − 4 √

2 + 1

Prof. Carlos Torres P´ ag.2