RELACI ´ON DE PROBLEMAS MATEM ´ATICAS I
Curso 2022/2023
Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Agron´omica Departamento de Matem´atica Aplicada I
Tema 6. Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales
6.1. Clasificar las siguientes ecuaciones como ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) o ecuaciones en derivadas parciales (EDP), indicando el orden y las variables depen- dientes e independientes.
a) 3d2x
dt2 + 4dx
dt + 9x= 2 cos 3t, (vibraciones mec´anicas, circuitos el´ectricos, sismolog´ıa).
b) d2y
dx2 −2xdy
dx + 2y= 0, (ec. de Hermite, mec´anica cu´antica, oscilador arm´onico).
c) dy
dx = y(2−3x)
x(1−3y), (competencia entre dos especies, ecolog´ıa).
d) ∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2 = 0, (ec. de Laplace, teor´ıa de potencial, electricidad, calor, aerodin´amica).
e) dp
dt =p(a−bp), a y b constantes, (curva log´ıstica, epidemiolog´ıa, econom´ıa).
f) dx
dt = (4−x)(1−x), (velocidad de reacci´on qu´ımica).
g)y(1 + (dy
dx)2) =c, c constante, (braquistocrona, c´alculo de variaciones).
h)√
1−yd2y
dx2 + 2xdy
dx = 0 (ec. de Kidder, flujo de un gas en un medio poroso).
i)xd2y dx2 + dy
dx +xy= 0, (aerodin´amica, an´alisis de tensi´on din´amica).
j) 8d4y
dx4 =x(1−x), (deflexi´on de vigas).
k) ∂N
∂t = ∂2N
∂r2 +1 r
∂N
∂r +kN, k constante, (fisi´on nuclear).
l) d2y
dx2 −0.1(1−y2)dy
dx + 9y= 0, (ec. de van der Pol, v´alvula triodo).
6.2. Determinar si la funci´on dada es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial correspon- diente.
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2 Matem´aticas I
a) y= senx+x2, d2y
dx2 +y=x2 + 2.
b) x= 3 cost−5 sent, x′′+x= 0.
c) x= cos 2t, dx
dt +tx= sen 2t.
d) θ= 2e3t−e2t, d2θ
dt2 −θdθ
dt + 3θ =−2e2t. e) y=e2x−3e−x, d2y
dx2 − dy
dx −2y = 0.
f) y= 3 sen 2x+e−x, y′′+ 4y= 5e−x.
6.3. Averiguar si las siguientes funciones son soluci´on de la ecuaci´on dada para cualquier elecci´on de las constantes.
a) y=c1senx+c2cosx, d2y
dx2 +y = 0.
b) y=ce3x+ 1, dy
dx −3y =−3.
c) y= 2
1−cex, dy
dx = y(y−2)
2 .
6.4. Demostrar que la ecuaci´on (dy
dx )2
+y2 + 3 = 0 no tiene soluci´on (con valores reales).
6.5. Determinar los valores de m para los que la funci´on ϕ(x) es una soluci´on de las ecuaciones dadas.
a) ϕ(x) =emx, d2y
dx2 + 6dy
dx + 5y= 0.
b) ϕ(x) =emx, d3y
dx3 + 3d2y
dx2 + 2dy dx = 0.
c) ϕ(x) =xm, 3x2d2y
dx2 + 11xdy
dx −3y= 0, d) ϕ(x) =xm, x2d2y
dx2 −xdy
dx −5y= 0.
6.6. Verificar que la funci´on y = c1ex +c2e−2x es una soluci´on de d2y dx2 + dy
dx −2y = 0, para cualquier elecci´on de las constantes c1 y c2. Determinar estas constantes para que se satisfagan las siguientes condiciones iniciales:
a) y(0) = 2, y′(0) = 1. b)y(1) = 1, y′(1) = 0.
Introducci´on a las Ecuaciones Diferenciales 3
6.7. Averiguar el valor de la constantek para que la funci´ony= 3 sen (2x) +e−x+k sea soluci´on de la ecuaci´on diferencial
d2y
dx2 + 4y= 5e−x+ 2.
6.8. Determinar los valores de la constantecpara que la funci´on xseny−ysenx+csea soluci´on de la ecuaci´on diferencial
y∂z
∂y +x∂z
∂x −z =xy(cosy−cosx).
6.9. Hallar los valoresc > 0 para los que la funci´onf(x, y) = ln(cx+y) es soluci´on de la ecuaci´on
∂2f
∂x2 −4∂2f
∂y2 = 0 (ecuaci´on de onda).
6.10. Se considera la ecuaci´on diferencial dy
dx =x+ seny.
a) Una curva soluci´on pasa por el punto (1,π
2). ¿Cu´al es su pendiente en ese punto?
b) Justificar que cada curva soluci´on es creciente para x >1.
c) Mostrar que la segunda derivada de cada soluci´on satisface d2y
dx2 = 1 +xcosy+ 1
2sen 2y.
d) Una curva soluci´on pasa por (0,0). Demostrar que la curva tiene un m´ınimo relativo en este punto.
6.11. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) dy
dx = 1−x2
y2 b) dy
dx = 1 xy3 c) dy
dx =y(2 + senx) d) dx
dt = 3xt2 e) dy
dx = sec2y
1 +x2 f) xdv
dx = 1−4v2 3v
6.12. Calcular la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial dada en el punto que se indica:
a)y′ =x3(1−y), y(0) = 3 b) dy
dx = (1 +y2) tgx, y(0) = √ 3 c) dy
dθ =ysenθ, y(π) =−3 d) dy
dx = 3x2+ 4x+ 2
2y+ 1 , y(0) =−1 e) dy
dx = 2√
y+ 1 cosx, y(π) = 0 f) x2dx+ 2ydy= 0, y(0) = 2
4 Matem´aticas I
6.13. La variaci´on del precio y respecto de la cantidad demandada x de un determinado producto est´a dado por
dy
dx = −2xy+ 24x x2+ 16 .
Determinar el precio en funci´on de la cantidad demandada sabiendo que el precio es de 7.5 euros cuando la cantidad demandada es 4.
