Malgrat això, després d'una primera mirada al contingut teòric que es pot estudiar en el treball, ja vaig intuir que les transformacions de Möbius poden existir fora de la geometria complexa plana. L'obra s'estructura en dos blocs temàtics: d'una banda, les transformacions de Möbius al pla, d'altra banda, a l'espai.
El pla completat
El model de l'esfera
La projecció estereogràfica φ: Cb →S2, on l'esfera S2 té radi R, des d'un punt z=x+iy del pla, té la forma. Definició i propietats de la transformada de Möbius Veiem que és una funció contínua en el pla completat.
Denició i propietats de la transformació de Möbius
- El grup de les transformacions de Möbius
- Propietats de composició
- Propietats d'inversa
- Pol i punt límit
Definició i propietats de la transformada de Möbius i l'altra, la composició de les dues transformades de Möbius corresponents és. Una transformació de Möbius és meromòrfica en el pla complex amb un pol a−dc, ja que és analítica en tot el pla complex excepte al pol.
Conformalitat i orientació
En canvi, aquesta funció és analítica BC, ja que la imatge del punt polar és En canvi, la imatge de ∞, com que són funcions bijectives, és el punt polar de la inversa.
Punts xos
Punts xosPer tant, l'angle entre les dues tangents de les corbes és independent de les corbes, ja que.
La raó simple
La raó doble
Denició i propietats
També podeu observar com, donat un mapa homogramàtic arbitrari T, i R(z) = (z, z2, z3, z4), el teorema 15 ens permet escriure això. Pel que hem vist a l'apartat sobre els punts xos, siz2, z3, z4 hi ha tres punts diferents iw2, w3, w4 i tots diferents punts, de manera que hi ha una aplicació que porta awi, i= 2,3,4 , llavors és únic.
Imatges de circumferències i rectes per homograes
Com a conseqüència directa d'aquest lema, i com que la raó doble és un homògraf, direm que (z, z2, z3, z4) és un nombre real o∞ si i només si els punts z, z1, z2, z3 són en un esquema generalitzat. Com que un cercle està definit per tres dels seus punts, i sempre hi ha una única aplicació homogramàtica que porta tres punts a altres punts determinats, es conclou que, donats dos cercles, sempre hi ha un homograma que els relaciona.
Orientació
Ara, si la raó dual és un nombre real, sota l'acció d'una transformació conjugada de Möbius romandrà com a nombre real. Per a les transformacions conjugades de Möbius diem que un punt x és aquell que verifica z= az+b.
Simetria respecte a un cercle
Simetria respecte a una recta
En valor absolut obtenim |z−z3|=|z∗−z3|, de manera que la distància dez iz∗ a qualsevol punt de la recta serà la mateixa. Com que z i la seva simètrica estan a la mateixa distància dez3, independentment del seu valor, obtenim que la bisectriu dels punts z i iz∗ seria el rectangle.
Simetria respecte a un cercle euclidià
Això ens diu que qualsevol reflex relativa a una línia recta és un moviment de la mètrica.
Distorsió de diàmetres
Si B està completament fora del cercle (respectivament dins del cercle), aleshores el cercleEva es trobarà dins (respectivament fora) del cercle, i la tangent B0 dins d'ell, és a dir. E0 delimitarà aB0 (per exemple, SiB té una part dins del cercle i una part fora del cercle, E tangent a B a l'interior del cercle.
Classicació del grup M
1)Λ és parabòlica si i només si té un sol punt x aR;b. 2)Λ és el·líptica si i només si té un punt x al semipla superior i un punt x al semipla inferior; Vegem ara els dos casos restants: D'una banda, si Λ és el·líptic, aleshores es conjuga a una rotació, A.
Classicació de les transformacions de Möbius conjugades
Comportament
- Xarxa circular
- Propietats dels cercles de Steiner
- Xarxa degenerada de cercles de Steiner
- Concepte de Superfície de Riemann
- Forma innitesimal de l'esfera
- Longitud i àrea d'un cercle a l'esfera
- Moviments de l'esfera
Com que cada C2 es transforma en si mateix per reflexió, enC2 és un automorfisme holomorf de restricció de reflexió. Aleshores, és possible trobar una cobertura que s'apliqui a totes les regions de la superfície. Considerem l'ús de la projecció estereogràfica i tinguem en compte les coordenades de l'esfera (θ, ϕ) i les coordenades polars (r, ϕ), on r denota el mòdul d'un punt del pla.
L'operació φ: (θ, ϕ)→(r, ϕ) és un canvi de coordenades, i vericaϕ7→ϕi, per la denició geomètrica de la cotangent, veiem a g. Observem que ρ=π ens dóna la longitud de la part plana de l'esfera i la superfície de l'esfera, que com s'esperava són respectivament lπ = 2π, σπ = 4π.
El pla hiperbòlic
- El model de Poincaré
- Isomorsmes entre dos models hiperbòlics
- Isometries i automorsmes
- Model de Klein
Podem veure que la conservació de l'angle ens permet veure que les línies hiperbòliques del mig pla superior tenen imatges que són línies hiperbòliques al disc. Si tenim dos punts al mig pla superior z1iz2 la línia hiperbòlica dels quals té punts nalsaib, conservant la relació dual proporcionada pels homògrafs s'assegura que ρ(ze 1, z2) = log(a, b, z2, z1) = ρ( T z1, T z2) = log (T a, T b, T z2, T z1), que indica la mètrica del mig pla superior i on les imatges deai b corresponen al límit del disc unitat. Amb la terminologia d'isometria de disc hiperbòlica ens referirem a aquells homomorfismes disc a disc que en conserven la distància.
És evident que la conjugació a partir d'un autohomograma del disc es pot suposar que xa0. Per a qualsevol model de pla hiperbòlic, el conjunt d'isometries hiperbòliques pròpies respecte a la seva mètrica és el seu conjunt d'automorfismes holomòrfics, que és precisament el seu conjunt d'automorfismes homogràfics.
Forma innitesimal del model de Poincaré
- Mètrica de Lobatxevski. Pseudoesfera
- Projecció estereogràca de la pseudoesfera
- Isometries del model de Poincaré
- Mètrica hiperbòlica
La projecció estereogràfica del disc de Poincaré a la pseudosfera és una aplicació de la forma. Els punts del límit estan infinitament llunyans, ja que la seva distància hiperbòlica des d'un punt del disc és infinita. Amb els canvis de coordenades adequats, la matriu (gij) de la mètrica pseudo-euclidiana es transforma en la mètrica (hij) de la pseudoesfera en coordenades planes.
És bastant senzill veure que els homògrafs que verifiquen aquestes condicions són de la forma següent. Cada isometria pròpia (o cada automorfisme holomòrfic) del disc de Poincaré és un homògraf de la forma.
Forma innitesimal del model de Klein
Forma innitesimal del model de Klein Gràcies a aquest teorema, si tenim en compte la funció que és l'automortització del disc, és a dir. Com que el grup Aut(H2) =SL(2,R)/±1 ha de preservar la distància (hiperbòlica), és a dir. és isomètrica, llavors per a cada funció w=L(z) tindrem això. Hem observat anteriorment que el grup SL(2,R)/±1 és el grup de moviment del model de Klein de la geometria de Lobachevsky.
Ja hem dit abans que el grup SO(1,2) és el grup de moviments de la pseudoesfera (és tal que ATGA = G, és a dir, G. El grup homogràfic de moviments en la mètrica de Lobachevsky és isomorf al grup SL ( 2, R)/±1 en el model de Klein, en el grup SO(1,2) a la pseudoesfera i en el grup SU(1,1)/±1 en el model de Poincaré.
Polígons hiperbòlics
Fórmula de Gauss-Bonnet
Ara suposem que, en un polígon P2, el vèrtex que era at1 descansa en un punt del cercle unitari centrat en O, és a dir, eiβ. 3.5.1) Ara suposem que en un polígon P3 no hi ha cap vèrtex a la recta completa, i que aquest que estava a ∞ ara es troba en un punt p de manera que Imp=Imeiβ (g. Observeu que els triangles euclidians no són triangles hiperbòlics (no existeixen), ja que els seus angles sumen π i, per tant, σ(P) = 0. Tingueu en compte que aquesta fórmula és vàlida per a tots els models del pla hiperbòlic de la geometria de Lobachevsky, i l'àrea dels polígons és la igual en tots els casos.
Subconjunts convexos
Cercles hiperbòlics
Les transformacions de Möbius del pla completat es poden derivar amb l'isomorfisme M ≈SL(2,C)/±1, amb les coordenades homogènies. El grup general de transformacions de Möbius Mf del pla completat és el grup generat per la composició de sèries (inversions) respecte a cercles i rectes estesos. El subgrup que conserva l'orientació és el grup de transformacions de Möbius (homogràfiques) M, mentre que els elements de M \ Mf s'anomenen transformacions de Möbius conjugades.
Els moviments definits per la matriu A= (aij), de dimensió+ 1, que deixa inalterada la mètrica de l'esfera, comproven que el producte escalar hξ, ξi=hAξ, Aξi, es conserva per a cada vector ξ= (ξi) i on el grup matriu ATA de dimA = n+ 1 es denota amb O(n+ 1) i és el grup ortogonal, mentre que el subgrup amb detA= 1 es denota SO(n+ 1) i s'anomena grup ortogonal especial.
Reexions respecte a esferes generalitzades
El grup de transformacions de Möbius
Denoteu l'espai euclidià n-dimensional completat (amb notació Rb . n), o simplement, com l'anomenarem a partir d'ara, l'espai completat pel qual la unió de l'espai euclidià n-dimensional amb un punt nocturn Six2 és prou densa. a l'eix1, llavors el segment que representa la distància de la corda roman a la superfície de l'esfera. Un pla (o hiperpla) (complet amb un punt de l'innit) H(a, λ) de dimensió−1a l'espai dimensional euclidià, ona= (aj) és un vector de l'espai i λ és un escalar, és un conjunt de punts.
El grup general de transformacions de Möbius de l'espai completat, que denotem per Mfn, és el grup generat per la composició de reflexions respecte a esferes generalitzades. El subgrup que conserva l'orientació és el grup de transformacions de Möbius, i el denotem amb Mn.
Propietats de composició
Teorema de Liouville
Suposem que la funció yα = ϕα(x1, . . . , xn) transforma la regió U en la regió V de l'espai euclidià tancat, que són diferents del buit. Com que és conforme, el jacobià defineix una aplicació conforme, el que significa que les dues mètriques són proporcionals. Com que hAηi, Aηji= 0 per a tot x, la derivada direccional al llarg del vectorηk de la funció és F(x) = hAηi, Aηjiés.
Com que la funció F(x) és constant (sempre zero), aleshores la derivada direccional és zero, de manera que podem posar (4.3.4) a zero. Permutant els índexs 1,2,3 es dedueix que la derivada de ω és zero i, per tant, és una constant.
Inversa, pol i punt límit
Imatges d'hiperesferes
Extensió de Poincaré
Extensió de Poincaré de M 2
La raó doble
Principi de simetria
És en la direcció i sentit del vector que uneix l'origen (centre) i el punt. Si llancem una línia (n'hi ha moltes) perpendicular al punt, talla l'esfera. en el punt x0, llavors el mòdul del vector és Com que la recta que creua x i x0 es converteix en una circumferència, i amb la interpretació adequada de la simetria respecte al pla, tenim el teorema següent:
Distorsió de diàmetres
El model de Poincaré
Forma innitesimal del model de Poincaré
Espai de Minkowski
Projecció estereogràca de la pseudoesfera
És evident que φ és un homeomorfisme, ja que establim una correspondència ambigua entre els punts de la bola de Poincaré i la pseudoesfera tancada. Mentre que a la pseudosfera avaluem la longitud amb la mètrica de Minkowski, és a dir, dl2=dt2− (dx1)n−. De manera anàloga a com hem construït la mètrica al disc de Poincaré, tornem a obtenir que les fórmules de la projecció estereogràfica en el cas pla i en el cas n-dimensional són equivalents.
A partir d'aquests càlculs veiem que cada corba suau en el model de Poincaré n-dimensional de la forma y(τ) = (y1(τ),.
Moviments de la mètrica hiperbòlica
El model de Klein
En primer lloc, vam presentar una col·lecció organitzada de propietats i característiques de les transformacions de Möbius, juntament amb les seves aplicacions en geometria hiperbòlica. Podem constatar, sense anar més lluny, com les propietats de les transformacions planars i espacials són gairebé les mateixes quant a propietats de composició, superfície on les hem estudiat, propietats de preservació d'angles, imatges d'esferes generalitzades i la seva classificació, així com l'analogia entre un gran nombre de propietats de mètriques hiperbòliques. En tercer lloc, podem dir que les connexions entre la geometria complexa i l'anàlisi complexa són òbvies.
Al final, obtenim que les transformacions de Möbius, d'una banda, ens ajuden a simplificar la geometria en dues dimensions i, d'altra banda, ens ajuden a demostrar proposicions que impliquen superfícies a l'espai. En conclusió, cal afegir que les transformacions de Möbius segueixen sent un camp de recerca actual i es continuen publicant articles a intervals regulars.
