En general, al resolver una ecuación diferencial parcial con diferencias finitas se utilizan dominios rectangulares, donde es más fácil de resolver. Sin embargo, es posible utilizar diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales en geometría irregular. Además, se define una función de fase que tiene como objetivo llevar a cero los valores de las variables de estudio fuera del dominio de interés.
El proceso de catálisis consiste en la reacción de una enzima con un sustrato, lo que forma una enzima y un producto. En este caso, los modelos son de gran ayuda para prevenir la propagación de la enfermedad o una posible epidemia. Un caso especial de propagación de enfermedades es el dengue en una población.
El modelo del dengue implica la interacción de dos poblaciones: mosquitos y humanos. En particular, el modelo propuesto por Gierer y Meinhardt (1972) presenta la formación de patrones espacio-temporales mediante el mecanismo de Turing o condiciones de Turing y se expresa de la siguiente manera.
Modelo Fenton-Karma
La igualdad en la ecuación anterior se obtiene suponiendo que U es una solución exacta de la ecuación en diferencias. En el caso unidimensional, analizaremos el efecto de la función de fase (φ(ξ)(x)) sobre la solución variando un par de parámetros relacionados con φ(ξ)(x). En particular, analizaremos la solución obtenida con el campo de fase en la solución cerca del límite y usaremos estos datos para complementar el caso bidimensional.
Aquí vemos que la solución obtenida con el método del campo de fases también difiere de la solución en diferencias finitas, cerca del límite. Vemos que para los valores de ξ2,N = 512 y Nint = 1500, la función de fase hace que la punta de la solución se mueva a través del límite más lentamente que para diferencias finitas. En este punto es importante mencionar que el método del campo de fases no proporciona soluciones adecuadas cerca del límite [10].
En la gráfica con ξ=ξ2= 0.05 vemos que la solución disminuye en el límite, mientras que en. En esta parte del experimento, encontramos dos resultados para el método del campo de fases.
M´ etodos Num´ ericos 9
Diferencias finitas en dominios con fronteras curvas
En general, el método de diferencias finitas funciona para áreas más generales con variación puntual cerca del límite. Por otro lado, si tiene vecinos en la frontera como en las Figuras 2.3a) yb), procedemos de manera diferente. Por ejemplo, no podemos usar (2.13) para aproximar la segunda derivada con respecto a y en el punto P de la figura 2.3 a).
El valor α se encuentra calculando el punto de intersección del límite con la malla. En a) y b) se muestran los posibles problemas que pueden surgir al calcular la aproximación de la derivada respecto de y o x, respectivamente. 2.19). Los casos en los que el punto P tiene problemas con sus vecinos del sur y del oeste para y y x, respectivamente, son análogos.
Finalmente, en (2.1) necesitamos implementar la condición de frontera de tipo Neumann. Necesitamos el vector normal que apunta a BN en la figura 2.4, o la derivada normal a BN.
Justificaci´ on: M´ etodo de Campo de Fase
- C´ alculo de φ (ξ)
Donde φ(ξ) es la función obtenida por convolución de la función característica Ω y la función gaussiana (2.30). El problema consiste en resolver un sistema de ecuaciones diferenciales parciales del tipo reacción-difusión en un dominio simple (por ejemplo, un rectángulo bidimensional) que contenga el dominio donde se quiere resolver dicha ecuación. Además, se requieren una condición inicial y condiciones de contorno (condición de Neumann), ui(x,0) =u0i(x) y.
Cuando la función φ(ξ) es continua en Ω0, toma el valor 1 en Ω y tiende a 0 fuera de Ω, donde el parámetro ξ se identifica por el ancho de caída. Definimos dos familias de curvas diferenciales γα(+)∈Ω0/Ω y γα(−)∈Ω, cuyos extremos coinciden con los extremos de γ y tienden uniformemente a γ bajo el parámetro α. Para cada valor de α, estas curvas cubren la región Aα, donde su límite es γα(+)∪γα(−) (ver Figura 2.6).
Usando el teorema de Green (ver Apéndice B.1). 2.26) Resolviendo el primer término del lado izquierdo y tomando el límite cuando ξ tiende a cero. La última igualdad es una de las hipótesis del problema inicial, flujo cero en la frontera (2.22). Implementar diferencias finitas en dominios con límites curvos implica considerar múltiples casos para nuestras aproximaciones.
Por otro lado, resolver (2.1) con diferencias finitas bajo el esquema de campo de fase facilita la programación del código. En este trabajo queremos descubrir bajo qué condiciones el esquema de campo de fases resuelve el problema original. La función de fase toma el valor de uno dentro del dominio de interés y cero fuera de él, y decae abruptamente a cero en el límite Ω.
El segundo método, que usaremos para este trabajo, es calcular φ(ξ) mediante una convolución de las dos funciones. La convolución de dos funciones se define como la integral del producto después de mover una de ellas una distancia z [18]. En nuestro caso trabajamos con un dominio discretizado (Ω0), por lo tanto si tenemos una grilla de N divisiones calcularemos N integrales, en el caso unidimensional; para el bidimensional tendremos integrales Nx ×Ny.
Error de truncamiento, consistencia, estabilidad y convergencia
- Error de truncamiento local
- Consistencia
- Estabilidad
- Convergencia
En la Figura 3.1 a) mostramos la evolución de la condición inicial dada por la ecuación (3.2) para el tiempo de integración total t∗ = 330, es decir, la solución UN,t∗( x) para diferentes valores de N, donde N da el número de puntos en la malla. Presentamos un análisis de la velocidad de convergencia de soluciones en diferencias finitas. La Figura 3.3 b) muestra la caída de la función φ(ξ) obtenida con estas funciones, donde la caída está asociada con el valor ξ.
Por lo tanto, cuando trabajamos con esta función necesitamos una mayor cantidad de puntos en la malla espacial y para la integración de convolución. En el caso bidimensional las soluciones de (3.1) pueden no desaparecer en la frontera y por lo tanto, como se verá en experimentos posteriores, estaremos interesados en la interacción de la solución con la frontera. Las soluciones mostradas representan líneas de contorno de la función U en 0,5; se obtienen con diferencias finitas modificadas y Euler para integrarse en el tiempo.
Para el caso de diferencias finitas obtenemos una órbita espiral de la forma que se muestra en la Figura 3.7 a), mientras que para el caso del campo de fase obtenemos un resultado similar, Figura 3.7 b). Notemos que obtenemos resultados diferentes, donde la solución en b), la velocidad de arrastre de la onda espiral es menor. Las trayectorias en espiral representan el camino seguido por la punta de la onda de solución hasta el tiempo T = 5000.
Para el caso bidimensional utilizaremos los mismos valores de ξ que en una dimensión: ξ1 = 0,1, ξ2 = 0,05 y ξ3 = 0,01; Para integrar la convolución en φ(ξ), usamos Nint = 5000. Las curvas en cada figura representan el camino tomado por la punta de la espiral de solución. En este caso, es posible ver a través de la trayectoria de la punta de la onda espiral hasta dónde avanza la solución con ambos métodos para el tiempo de integración T = 5000. La Figura 3.11 c) muestra ambas soluciones. para el tiempo t∗ = 2025 observamos que la solución obtenida con el campo de fase resulta en un retraso de la onda espiral respecto a las diferencias finitas.
Las trayectorias en espiral representan el camino trazado por la punta de la onda de disolución. Este hecho se refleja en el caso bidimensional de las trayectorias espirales seguidas por el pico de la onda espiral, Figura y 3.16. Esta función depende de dos parámetros, uno relacionado con la caída en la frontera y otro con la integración numérica de la convolución.
Al cambiar el parámetro de integración de convolución del valor más bajo al más alto, no se observó ningún cambio significativo en el error interno y externo. De esta manera, reducimos los cálculos al integrar la función de fase en dos dimensiones y podemos usar un valor mayor en el parámetro de malla auxiliar para la integración de la convolución. Por lo tanto, sólo trabajamos con soluciones donde la punta de la espiral interactúa con el límite.
Se confirmó que para el valor más pequeño de este parámetro existe un efecto significativo sobre la dinámica de la solución.
Estudios num´ ericos 29
