En este capítulo se presentan los conceptos y resultados estándar para el estudio de complejos simplistas y la teoría Morse discreta. Veremos que una de las aplicaciones de la teoría de Morse discreta es que nos permite calcular los grupos de homología de un complejo simplicial utilizando menos elementos que el cálculo habitual.
Complejos simpliciales
Dado que trabajamos con objetos combinacionales (y sus etiquetas), es natural querer darles una orientación. Si el simplex tiene dimensión d = 0, entonces una orientación consiste en colocar un signo +'o.
Homolog´ıa simplicial
Veamos ahora que Hd es un functor entre las categorías de complejos simples y la de grupos abelianos. Para todo d ≥ 0, Hd es un funtor entre las categorías K (complejos simples) y Ab (grupos abelianos), es decir
Teor´ıa de Morse discreta
Si K es un complejo simple, f ∶K →Res an FMD y c∈R, entonces definimos el subcomplejo de nivel c como. Cuando τ ahora colapsa a través de su lado libre ρ, tenemos un complejo homotópicamente equivalente, por lo tanto K(n) ≃K(n−1).
Campo vectorial gradiente y flujo asociado
El campo ilustrado por las flechas será el campo vectorial asociado con esta función Morse. Sabemos que el complejo Morse-Forman es un complejo de cadena porque es una restricción del complejo de cadena simplista habitual. Por lo tanto, Mes es un complejo simplicial y debido a que es isomorfo a C∗φ también lo llamaremos complejo de Morse.
Ahora, una FMD (o un campo vectorial gradiente algebraico) induce un acoplamiento en P(K), que llamaremos acoplamiento Morse. Tenemos que existe un complejo Morse M con una (p−1)−celda para cada gráfico en M con p aristas tal que M ≃Γ Nn, de hecho, un gráfico con p aristas en Nn tiene p vértices (por Por definición, los vértices son los bordes), por lo que es un (p−1)−símplejo, es decir, una celda p−1. Por lo tanto, no habría relación entre las gráficas correspondientes a las (n -3) celdas del complejo Morse.
Presentaremos un algoritmo que calcula una coincidencia Morse generalizada para un complejo simplicial finito K. Considere la siguiente estructura simplicial con la coincidencia Morse generalizada ilustrada por las flechas.
Emparejamientos generalizados 31
Emparejamientos generalizados de Morse
Recíprocamente, a partir de tal emparejamiento, podemos recuperar el campo vectorial gradiente algebraico definiendo en sus componentes distintos de cero V(σ) = τ siempre que haya un emparejamiento de σ a τ. Es natural preguntar, dado un emparejamiento en P(K), si existe un emparejamiento Morse (y por tanto produce un complejo Morse). Una coincidencia M en P(K) es una coincidencia Morse si y sólo si P(K) /M no tiene caminos dirigidos cerrados.
¿Se pueden llevar estos argumentos a P(K) /∼ para una partición ∼ que no es un par? Para responder a esta pregunta, presentaremos otro tipo de partición usando el siguiente conjunto. El caso clásico ocurre cuando cada intervalo tiene rango 1 o 2 (por rango nos referimos al número de elementos en el intervalo), es decir, cuando ∼ es un par. Vimos en la prueba anterior que una coincidencia Morse generalizada se puede refinar a una coincidencia Morse normal.
Se puede observar que si la codimensión en EMG es menor o igual a 3, cada refinamiento produce una coincidencia Morse. Finalmente, hay particiones ∼ P(K) que no son EMG pero que se pueden mejorar para que coincidan con Morse.
Acciones de grupos en complejos simpliciales
Sea K un complejo, supongamos que Gacts en Vert(K) de tal manera que envía simplex a simplex. Definición 2.3.4. Sea G una acción simple sobre K. a) Supongamos que, cuando gv /=v, no hay ningún simplex que contenga v y gv(al mismo tiempo) para todo g∈G. Entonces diremos que K se llama complejo G semirregular. Una acción simple de G sobre K que satisface esta condición (⋆) para la acción de cada subgrupo de G se llama regular, y K se llama complejo G regular.
Está claro para todo v ∈ Vert(K) siempre que gv /=v implica que v, gv no están en el mismo complejo, por lo tanto K es un complejo semirregular C3. Ahora supongamos que K es un complejo G-semiregular, entonces también es un complejo H-semiregular para cada subgrupo H de G. Si K es un complejo G-semiregular, entonces los símplex G-invariantes de K forman un subcomplejo KG de K , y∣K∣G= ∣KG∣.
Pero como K es un G-complejo regular, tenemos que existe g∈G tal que∑aivi = ∑aigui y por lo tanto ∑aivi=g∑aiui y entonces, [∑aivi] = [∑aiui]. Hasta ahora hemos demostrado que ϕ es una biyección continua, por lo que como ∣K∣ es compacto, ∣K∣ /G también será compacto, además ∣K/G∣ es Hausdorff, por lo tanto ϕ es un homeomorfismo.
G-complejos CW modelados por productos torcidos
Aquí, ∆mα son m-simples (con m posiblemente diferentes entre sí y de n), donde Hα actúa sobre X0 con restricción y se extiende a una acción lineal. Dividamos el conjunto n-simple de K en sus órbitas G,Onα= {g∆nα∣g∈G}(recordemos que tenemos una acción sobre G×K→K). Sea ∆nα un representante de Onα, y sea Hα el subgrupo de G que consta de aquellos elementos que dejan ∆nα sin cambios, es decir
Luego obtenemos un n-esqueleto pegando G×Hα∆nα para todas las inclusiones αaKn−1v´ıa de sus límites. Estas inclusiones serían G-equivariantes, por lo que la construcción del esqueleto Kn sigue fielmente la del complejo G-CW. Sea K como en el ejemplo 2.3.9; Describiremos cómo el complejo G simplicial K puede tratarse como un complejo G CW modelado en representaciones de disco.
De hecho, si el grupo de invariancia de ∆ es H, entonces g∆ tendrá un grupo de invariancia gHg−1 (es decir, serán conjugados). Ahora se determinarán los subgrupos Hα < G excepto la clase de conjugación, y para determinar esto exactamente debemos establecer un ∆nα representativo.
Consecuencias para G-complejos simpliciales
La idea es que cada simplex τ se colapsa en algo de menor dimensión, y en este caso será Pτ(σ), para alguna superficie propia σ. Si τ es un n-símplex y σ es un lado real de τ, entonces Pτ(σ) es un disco topológico (n−1) (podemos ver esto intuitivamente en el ejemplo 2.5.4). Pero todas las celdas máximas tienen dimensión n−1, ya que K es pura y solo hay una, lo que significa que K ⊆δ, por lo tanto K=δ.
Ahora una celda máxima típica de K es ∆/σ para un v=vr dado, por lo que podemos escribir. Pero los planos propios de dimensión n−2 son planos propios de ∣K′∣ y, por lo tanto, todos estos planos propios están contenidos en ∂∣K′∣. Por lo tanto, [σ, τ] ∈G[σ0, τ0] =v0 implica que [σ, τ] contiene todos los subplanos de τ y dado que [σ, τ] es un intervalo, σ debe ser un plano 0 de τ.
En un emparejamiento Morse clásico, σ en simplex siempre se empareja con una cara inmediata τ =σ/{v} para algún v ∈Vert(σ). Ahora bien, en una EMG podemos emparejar σ con cualquier cara ρ de σ, es decir, una con codimensión diferente a uno.
Aplicaciones en teor´ıa de gr´ aficas
Esto claramente nos da más posibilidades de hacer coincidencias equivariantes que en el caso de las coincidencias clásicas en Morse y obtener menos críticas. Suponiendo que las gráficas en el nivel n son (n−1)!, mostraremos que para el nivel n+1 son n. Tendremos que las gráficas en el nivel n serán n para cada gráfica en el nivel n−1 (es decir, para cada gráfica podemos hacer una nueva rama etiquetada con n+1 en cada vértice del árbol), por lo tanto son ( n−1)!=n!.
Deseamos construir un par Morse que respete las simetrías de Nn, y el complejo Morse tiene un primo 0 y (n−1). Cada una de estas gráficas tiene dimensión (n−3) ya que cada gráfica tiene (n−2) aristas, lo que implica que el símplex en Nn que representa dicha gráfica tiene (n−2) vértices, es decir, es un (n−2). ) −1= (n−3) simplex (recordemos que en general un simplex con k+1 vértices es un k-símplex por definición). Sabemos por la teoría de Morse que para calcular los grupos de homología de un complejo simple podemos usar el complejo de Morse, que consta de los elementos críticos que deja un par.
Entonces el algoritmo devolverá una estructura simple con una función inyectiva en sus vértices. De manera similar, la función ExtractRaw.test calcula cuántos símplex críticos devuelve el algoritmo ExtractRaw.
Resultados 71
Ejemplos
Consideremos un toro con la siguiente estructura simplicial y con los siguientes valores en sus vértices. Para ilustrar la función Other.Critics, solo aplicaremos el algoritmo al punto 1∈ K, ya que este es el único punto en este ejemplo donde usamos esta función.
Complejo de Morse para un emparejamiento de Morse generalizado
Tenga en cuenta que la definición de ruta no es compatible con la estructura de intervalo. Por lo tanto, será necesario realizar algunas mejoras para cada intervalo y de esta manera calcular κ′(σ, τ) como en la teoría Morse habitual.
EMG vs. ExtractRaw
Primero, analicemos la duración del algoritmo para símplex de dimensión máxima 5 y 10 en la Figura 3.1, podemos ver que a medida que aumentamos el número de símplex máximos, la duración del algoritmo ExtractRaw aumenta exponencialmente. Ahora, analizando el número de símplex críticos devueltos por ambos algoritmos para los símplex más grandes de dimensión 5 y 10 en la Figura 3.2, podemos ver que la tasa de crecimiento de los valores críticos es similar para ambos algoritmos, y ExtractRaw realiza menos críticos. Primero damos el código principal y luego paso a paso mostramos cada función utilizada.
La función Vert calcula los vértices del complejo simplicial y en caso de que hayamos hecho un par, esta función nos dice qué vértices están disponibles para continuar el emparejamiento. La función Candidatos toma simplesx máximos de Maxlink para garantizar una coincidencia con un simplex de mayor dimensión. La función Queue.Simplex toma el último par usado y lo elimina de Maxlink para que sepa cuáles son los siguientes simples posibles que podemos combinar.
A continuación presentamos una función List.Joint que nos permite realizar la operación. Las listas A, B, C describen la partición del complejo simple K, donde las listas A y B representan "inicios de flecha" y "finales de flecha" respectivamente del campo vectorial generado, la lista C representa los símbolos cr simplex y la función r. ∶ B → A establece las relaciones entre el inicio y el final de la flecha.
C´ odigos 87
ExtractRaw
EMG vs. ExtractRaw
Donde representa la dimensión del complejo simplicial que usaremos, el número de símplex más grandes yr el número de repeticiones del experimento por complejo.
